2021年高考数学压轴卷(文科)(五)含解析

1、研乱文档2021年高考数学压轴卷（文科）（五）含解析一、选择题（每题5分）1.已知集合 A二1, x, B=1, 2,且 AUB二1, 2, 3,则 x=（）A. 3 B. 2 C. 1 D. 02 .设复数z满足（2z- i） （2- i） =5,则复数z在复平面内对应点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3 .已知双曲线-=1 （a>0, b>0）经过点（2, 3）,且离心率为2,则它的焦距为（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 84 .已知 a=2, b=log2, c=log,则（）A. a>b>c B. a>c>b C.

2、 c>a>b D. c>b>a5 .已知单位向量与的夹角为a , A cos a =-,若=2-, =+3,则=（）A. -2 B. 2 C. - D.6 .若x, y满足不等式组，z二x-y的最大值为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 47 .已知命题p:若x>0,则函数y=x+的最小值为1,命题q:若x>1,则x?+2x-3>0,则下列命题是其命题的是（）A. pVq B. pAq C. C-'p） A Lq） D. pV Lq）8 .某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（俯视图中弧线是圆弧）（）笫A. 4-nB. n-2C. 1

3、 - D. 1 -9 .设各项都是正数的等差数列aj的公差为d,前n项和为Sn，若az, S3, az+Ss成等比数 列，则=（）A. 0 B. C. D. 110 .将函数y=sin （2x-）的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间-,上单调递减 B.在区间-,上单调递增C.在区间-,上单调递减 D.在区间-,上单调递增11 .已知四棱锥PABCD的外接球的表面积为12n, ABCD是边长为2的正方形，PA=PB, 平面PAB_L平面ABCD,则aPCD的面积为（）A. B. C. D. 412 .已知函数f （x） =ax3+2x2 - 1有且只有两个零点，则实数a的取

4、值集合（）A. -1, 0, 1 B. 0, C. 0, D. -, 0, 二、填空题（每题5分）13 .如图是一批学生的体重情况的宜方图，若从左到右的前3个小组的频率之比为1： 2： 3, 其中第2小组的频数为2%则这批学生中的总人数为.14 .已知数列aj是公比为2的等比数列，且a2=-l,则a6=15 .执行如图所示的程序框图，输出的】值为.I16 .已知偶函数f （x）在0, +-）是增函数，则满足f （2x-3） <f （x2）的实数x的取值范 围是.三、解答题17 .在ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且a>c,已知二3, cosB= "

5、 , b=2, 求：(1) a和c的值；(2) sin (A - B)的值.18 .在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1, 2, 3, 4的四个大小相同的小球，现从这个 盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为x, y(1)求事件x+y=5的概率；(2)求事件2x+|x-y|=6的概率.19 .如图正四棱住ABCD-AiBiQDi中，点E是AA上的点，M是AC、BD的交点.(D若AiC平面EBD,求证：点E是AAi中点；(2)若AB=L ZkEBD的面积S=,点F在CCi上，FM1EM,求三棱锥体积Vf.ebd的 大小.匕 一 ", M 2"AB20 .已知函数f

6、(x)=(1)若f (x) >0对其定义域内任意x成立，求a的值；(2)当a=0时，求f (x)在区间e, e上最值.21 .已知椭圆C： +=1 (a>b>0)经过点A (2, 1),且直线1：、-21=0过椭圆(：的一个 焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线平行于直线1,且与椭圆C交于不同的两点M, N,记直线AM的倾斜角为6b 直线AN的倾斜角为出，试探先的+。2是否为定值，并说明理由.选修与1几何证明选讲I22 .如图，AB是。O的直径，BE为。O的切线，点C为OO上不同于A, B的一点，AD 为NBAC的平分线，且分别与BC交于H,与。O交于D,与BE交于E,

7、连接BD, CD.(1)求证：BD平分NCBE；(2)求证：AHBH=AEHC.选修Q4坐标系与参数方程23 .选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，动点A的坐标为(2 - 3sina,女osa-2),其中a£R.在极坐标系(以原点。为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线C的方程为pros (6-) =a.(I )判断动点A的轨迹的形状；(H)若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值.选修4-5不等式选讲|24 .设函数 f (x) = |x - 2a|, aGR.(1)若不等式f (x) VI的解集为x|lVxV3),求a的值；(2)若存在XotR,使

8、f (xo) +x0<3,求a的取值范围.实用文档XX年湖南省高考数学压轴卷（文科）（五）参考答案与试即解析一、选择题（每题5分）1 .已知集合人=1, X, B=1, 2,且 AUB=1, 2, 3）,则 x=（）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【考点】并集及其运算.【分析】根据题意，由A与B及AUB,易得x=3.【解答】解：集合 A=1, x, B=L 2,且 AUB=1, 2, 3, «x=3, 故选：A.2 .设复数z满足（2z-i） （2-i） =5,则复数z在复平面内对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算.

9、【分析】直接由（2z-i） （2-i） =5,求得2z-L进一步求出复数z在复平面内对应点的坐 标得答案.【解答】解：由（2z-i） （2-1） =5,得 2z - i=,A2z=2+2i,即 z=l+i.则复数z在复平面内对应点的坐标为（1, 1）,位于第一象限.故选：A.3 .已知双曲线-=1 （a>0, b>0）经过点（2, 3）,且离心率为2,则它的焦距为（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【考点】双曲线的简单性质.【分析】将点（2, 3）代入双曲线的方程，结合离心率公式和a, b, c的关系，解方程可得 a=l, c=2,进而得到焦距.【解答】解：双曲线-=1 （a

10、>0, b>0）经过点（2, 3）,可得-=1,又离心率为2,即e=2,即有 c=2a, b=a,可得-=L解得a=l,则c=2.即焦距2c=4.故选：B.4 .已知 a=2, b=!og2, c=log,则（）A. a>b>c B. a>c>b C. c>a>b D. c>b>a【考点】对数值大小的比较.【分析】利用对数函数和指数函数的单调性求解.【解答】解：0Va=2V2°=l,b=log2<=0,c=log>=l, Ac>a>b.故选：C.5 .已知单位向量与的夹角为a,且cosa=-,若=2

11、- , =+3,贝!j=()A. -2 B. 2 C. - D.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由题意可得I 1 = 1 |=L =l”cosa=由此求得的值.【解答】解：由题意可得11 = 11=1, =llcosa=-, /.= (2 - ) (+3) =2+5-3=2 - 1 - 3= - 2, 故选：A.6 .若x, y满足不等式组，z=xy的最大值为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组表示的可行域，作出直线y=x,由z的几何意义：直线在y轴上截距的 相反数.平移直线厂x,观察即可得到所求最大值.【解答】解：作出不等式组表示的可行域

12、，如右图. 作出直线丫=、，z=xy的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数. 平移直线¥=乂，由、二代入直线x+y - 3=0,可得y=-. 将(，-)代入z=xy, 可得z的最大值为4.故选：D.7 .已知命题P：若x>0,则函数y=x+的最小值为1,命题q：若x>L则x2+2x-3>0,则 下列命题是真命题的是()A. pVqB. pAqC. Lp) A Lq) D. pV Lq)【考点】复合命题的真假.【分析】根据级别不等式的性质判断P，根据二次函数的性质判断q,从而判断复合命题的真 假即可.【解答解：x>0时，y=x+22=,故命题P是假命题，Vy=x

13、2+2x - 3= (x+1) 2 - 4,对称轴 x= - 1,函数在(1, +-)递增, Ax2+2x - 3>0,工命题q是真命题，pVq是真命题，故选：A.8 .某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(俯视图中弧线是圆弧)()A. 4-nB. n-2C. 1 - D. 1 -【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体挖去一个圆柱的而剩下的几何体.【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体挖去一个圆柱的而剩下的几何体.，该几何体的体积V=" XnXl2Xl=l -.故选：D.9 .设各项都是正数的等差数列g/的公差为d,前n项和为Sn

14、,若a2, S3, az+Ss成等比数 列，贝上()A. 0 B. C. D. 1【考点】等差数列的前n项和.【分析】a2, S3, az+Ss成等比数列，可得：(ai+d) (6ai+lld)=,解出即可得出.【解答】解：,飞2, S3, az+S5成等比数列,.*.32* (ai+S?)=，:.(ai+d) (6ai+lld)=,化为：2d2 - aid - 3=0, d, ai>0.:.(2d - 3ai)(d+ai) =0,/ 2d - 3al=0,则=,故选：B.10 .将函数y=sin (2x-)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数()A.在区间-,上单调递减 B.在

15、区间，上单调递增C.在区间-,上单调递减 D.在区间-,上单调递增【考点】函数y=Asin (wx+4>)的图象变换.【分析】利用函数丫=人由1(3*+。)的图象变换规律，求得所得函数的图象对应的函数解析式, 再根据正弦函数的单调性，得出结论.【解答】解：将函数y=shi(2x -)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sin2 (x+) - = - sin (2x -),在区间，±, 2x- G-,函数尸sin(2x-)没有单调性，故排除A、B.在区间上，2x- -,函数y= - sin (2x -)单调递减，故排除D, 故选：C.11 .已知四棱锥P-ABCD的

16、外接球的表面积为12n, ABCD是边长为2的正方形，PA=PB, 平面PABJ_平面ABCD,则4PCD的面积为()A. B. C. D. 4【考点】棱锥的结构特征.【分析】由题意画出图形，设P到AB的距离为d,由球的半径相等列式求得d,进一步求得 APCD的边CD上的高，代入三角形面积公式得答案.【解答】解：如图，设四棱锥P-ABCD的外接球的半径为r,由四棱锥PABCD的外接球的表面积为12n,得4足2=12兀，r=. ABCD是边长为2的正方形，设其中心为M,则MC=,AOM=1,又 PA=PB,平面 PABJ_平面 ABCD,设P到AB的距离为d,贝1J,解得：d=l+.PCD的边C

17、D上的高h=,则4PCD的面积为S=.故选：A.12 .已知函数f (x) =ax3+2x2-1有且只有两个零点，则实数a的取值集合()A. -1, 0, 1 B. 0, C. 0, D. -,0, )【考点】函数零点的判定定理.【分析】当a=0时，函数f(x) =2x2-1有且只有两个零点，满足条件；当a#0时，函数的 极值为0,进而得到答案.【解答】解：当a=0时，函数f(x) =2x2有且只有两个零点，满足条件；当 a#0 时，令 P (x) =3ax244x=0,解得：x=0,或*=-,Vf (0) =1/0,(-)=,解得：a=,故 at - , 0, ,故选：D二、填空题(每题5分

18、)13 .如图是一批学生的体重情况的直方图，若从左到右的前3个小组的频率之比为1： 2： 3, 其中第2小组的频数为2%则这批学生中的总人数为【考点】频率分布直方图.【分析】根据频率和为1,求出前3个小组的频率和，再求出第2小组的频率以及样本容量.【解答】解：根据频率和为1,得：从左到右的前3个小组的频率和为1 - (0.037+0.013) X5=0.75；根据这3个小组的频率之比为1： 2： 3,得：第2小组的频率为0.75X =0.25,又频数为24,所以这批学生的总人数为：=96.故答案为：96.14 .已知数列aj是公比为2的等比数列，且a2=l,则a6= -16 .【考点】等比数列

19、的通项公式.【分析】由等比数列通项公式先求出首项，由此能求出第6项.【解答】解：数列伯/是公比为2的等比数列，且a2=-L'.a产，/.= - 16.故答案为：16.15 .执行如图所示的程序框图，输出的n值为7 .【考点】程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作 用是输出不满足条件SW+1+2+8+.V100时，k+1的值.【解答】解：由框图知，第一次循环的结果为：S=98, n=2；第二次循环的结果为：S=94, n=3；第三次循环的结果为：S=86, n=4；第四次循环的结果为：S=70, n=5；第五次循环的结果为：S=38,

20、n=6；第六次循环的结果为：s= - 26, n=7；满足判断框中的条件，结束循环，输出n的值.故答案为7.16 .已知偶函数f(X)在0, +-)是增函数，则满足f (2x3) <f (x2)的实数x的取值范 围是-3) U (1, +-).【考点】函数单调性的性质.【分析】首先利用单调性建立不等式组，直接求出结果.【解答】解：偶函数f (x)在0, +-)是增函数，所以：满足f (2x-3) <f (x2)的条件为：|2x-3|<|x2|,解得：x< - 3或x>L所以x的取值范围为：-3) U (1, +-),故答案为：-3) U (1, +-)三、解答题1

21、7 .在ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且a>c,已知二3, cosB= " , b=2, 求：(1) a和c的值；(2) sin (A - B)的值.【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算.【分析】(D由平面向量的数量积和余弦定理，列出方程组解方程组即可；(2)根据三角恒等变换和由正弦定理，计算sin (A-B)的值即可.【解答】解：(1) ZiABC中，由=3得cacosB=3,又 cosB=-,所以 ac=7；由余弦定理得b2=a2+c2 - 2ac»cosB,又 b=2,所以 a2+c2=50；解方程组，因为a>c

22、,所以解得a=7, c=l；(3) AABC 中，sinB=,由正弦定理，得sinA=slnB=,因为cosBVO,所以A为锐角，所以 cosA=；所以 sin (A - B) =sinAcosB - cosAsinB=-.18.在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1, 2, 3, 4的四个大小相同的小球，现从这个 盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为x, y 求事件x+y=5的概率；(2)求事件2x+|x-y|=6的概率.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】(D本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中有放回地先后 抽取两张卡片列举出来共包含基本事件

23、16个，满足条件的事件根据前面列举出的事件，得到 有4个结果，根据概率公式得到概率.(2)本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中有放回地先后抽取两张 卡片列举出来共包含基本事件16个，满足条件的事件数可以通过前面的列举得到，根据等可 能事件的概率得到结果.【解答】解：(D由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中有放回地先后抽取两张卡片共包含基本事件16个，分别为:(L 1), (L 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (

24、4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)； 工满足x+y=5有4种，事件x+y=5的概率为二；(2) 2x+|x-y|=, /.2x+|x-y|=6 0t，有(2, 4), (3, 3)两种，事件2x+|x-y|=6的概率为二19.如图正四棱住ABCD-AiBiCiDi中，点E是AiA上的点，M是AC、BD的交点.(1)若AK平面EBD,求证：点E是AAi中点；(2)若AB=1, ZkEBD的面积S=,点F在CQ上，且FM_LEM,求三棱锥体积Vf.EBD的【考点】棱柱、梭锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质.【分析】(1)连结EM,由线面平行的性质可得AiCEM,故E为Ai

25、A中点；(2)由正四棱柱的性质可知BD_L平面ACCiAi，故BD_LMF,结合EM_LMF可得MFJ_平 面BDE,由面积公式可求得EM,进而计算出AE,由R3EAMsR3MCF可得MF的长, 即棱锥的高.【解答】解：(D连结EM, 四边形ABCD是正方形，M是AC的中点， A1C平面 EBD, AiCu 平面 AiAC,平面 AiAS平面 EBD=EM,AAC1/7EM, 点E是AAi中点.(2) 四边形ABCD是正方形，VCCilY® ABCD, BDu 平面 ABCD,ABD±Yffi ACCiAi,MFu 平面 ACCiAi,ABD±MF,又 MF_LE

26、M, EMu 平面 BDE, BDu 平面 BDE, EMnBD=M, ，MF«L 平面 BDE.VAB=1, ABD=, AM=MC=.VSaBDE=,AEM=2,' EA=.VEM1MF, A ZAME+ZCMF=90 ,EAJLAC, A ZAME+ZAEM=90°, AZAEM=ZCMF, ARtAEAMRtAMCF, ,即,解得MF=.AVf.EBD=.Dl20.已知函数f (x)=(1)若f (x) >0对其定义域内任意x成立，求a的值；(2)当a=0时，求f (x)在区间e, e上最值.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最

27、值.【分析】(D先求出函数的定义域，由题意得到不等式组，结合图象从而得到答案；(2)将a=0代入求出函数的表达式，得到f (x)的导函数，从而求出函数的单调区间，进而 求出最值.【解答】解：(D .函数f (x)=,函数f (x)的定义域是(0, 1) U (1, +-),若f (x) >0对其定义域内的任意x成立，需满足则0VXV1时,，x>l时,，画出函数的图象，如图示：显然a=l时符合题意, 故 a=l：(2) a=0 时，f (x) =, f (x)=,令？(x) >0,解得：x>,令 r (x) <o,解得：ovxv且 xri,f (x)在,递减，在,e

28、递增，Af (x)最小值=f () =e,而f O =4Vf (e) =e2,f (x)在区间e, e上的最大值是e2,最小值是e.21.已知椭圆C： +=1 (a>b>0)经过点A (2, 1),且直线1： x-2y-=0过椭圆C的一个 焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线r平行于直线1,且与椭圆C交于不同的两点M, N,记直线AM的倾斜角为6b 直线AN的倾斜角为82,试探究所+82是否为定值，并说明理由.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(D由题意知c=, +=1,求出a, b,由此能求出椭圆方程.(2) 81+025.理由如下：设直线1'的方程为x - 2y+m

29、=0,与+=1联立，WW 8y2 - 4my+m2-8=0,利用韦达定理，由此得到k.M= - kAN，即可得出结论.【解答】解：(1)由题意，c=, +=1, .*.a=2, b=,椭圆C的方程为+=1；(2)直线I'的方程为x - 2y+m=0,与+=1联立，可得8y2 - 4my+m2 - 8=0,设 M (xi, yi), N (x2, y2),Ayi+y2=, yiyz= " b/.Xl+X2= - nb X1X2= - %* am+an=+=,4yly2-(2+m)(打 + 万)一(町 + 玄2)+4=0,/tan6i+tan02=O,.61+025选修几何证明选

30、讲I22 .如图，AB是。O的直径，BE为。O的切线，点C为。上不同于A, B的一点，AD 为NBAC的平分线，且分别与BC交于H,与。O交于D,与BE交于E,连接BD, CD.(1)求证：BD平分NCBE；(2)求证：AHBH=AEHC.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(D由AD为NBAC的平分线得=,得出NDBC=NBCD,再由弦切角定理得到N DBE=NBCD,可得NDBE二NDBC；研乱文档(2)证明ABEsXaCH,得出 AH»BE=AE*HC 即可.【解答】证明：(1);AD为NBAC的平分线，即NDAB=NDAC, ：.二,可得NDBC=NBCD,又BE与圆O相切于点B,.ZDBE=ZBCD,可得NDBE=NDBC,ABD 平分NCBE；(2)由(1)可知 BE=BH,所以 AH*BH=AH*BE 因为NDAB=NDAC, ZACB=ZABE,所以ABEs/kACH,所以，即 AHBE=AEHC,即：AH*BH=AE*HC.选修44坐标系与参数方程23 .选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，动点A的坐标为(2-