各种分布的随机数的生成

1、各种分布的随机数的生成1基本方法在计算机中都备有可直接使用的均匀分布随机函数或程序，一般是用数值转换中 的求余法得到的，这样产生的随机数列，是根据确定的算法递推出来的，严格地讲并 不是随机的，因此称为伪随机数。不过如果计算方法选得恰当，它们近似于相互独立 和均匀分布，在一定的置信度下，能通过统计检验中的参数检验、独立性检验、连检 验等，因此可以把它们当作真正的随机数使用在一般情况下，计算机中的随机函数所产生的数列为0,1区间均匀分布的随机数 列，有时就需要转换成其它分布的随机数列，如正态分布、瑞利分布等，下面讨论如 何从0,1IX间均匀分布的随机数列灵鼻，蔬得到任意分布的随机变量抽样。设所求的

2、任意分布的随机变量的概率密度函数为f（x）,其累积分布函数为 F（x）,且F（x）在0,1区间是单调递增的连续函数，则有随机变量§=F（；7）（1）是0,1|x间上的均匀分布的随机变量。由（1）式可得=訂（2）（2）式表示可用求累积分布函数的反函数的方法来产生任意分布的随机数。若 F（）不是某种典型的分布函数而是由统计得到的数值表，则用数値法作随机抽样的 计算。2均匀分布 2.1定义若连续随机变量彳的概率密度为1f(x)彳匚T当a <x<b 其它则称？服从均匀分布，记为？“(a,b),数学期望Eg二学，方差D訂豊匸。2.2随机数列的生成如果歹为0,1区间均匀分布的随机数列

3、，则令一 a b- a于是得rj= (b- a)f+ a“即为a ,b区间均匀分布的随机数列。3指数分布3.1定义指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间 隔。若连续随机变量？的概率密度为严5 心)，(2>0)Io (xs)则称？服从指数分布，记为纟e(/厶刃,数学期望E加“ +丄，方差A才其累积分布函数为F(x) = ?-e0(X>/Z)(XV")图1指数分布的概率密度函数和累积分布函数3.2随机数列的生成如果歹为0,1区间均匀分布的随机数列，则令g = F () = 1 -于是得即服从指数分布的随机数列。4正态分布4.1定义(I，Q>

4、;o)若连续随机变暈工的概率密度为f(x) =则称？服从正态分布，并记为彳N(/2,cf),并且Eg = ，D=a2持别的，当 =0, <r = l时，称为标准正态分布，记为彳N(0J),此时f(F正态分布的概率密度函数曲线见图2oI图2正态分布的概率密度函数(绿色为标准正态分布)标准止态分布的累积分布函数能够被一个叫做误差函数的特殊函数表示,其中 erf(x)=e-Jy±2E_ 扳 台(2k + l)!正态分布的累枳分布函数图形曲线见图3«10.90.80.70.60.50.40.30.20.10 5-3 -2 -I 0 I 234 5图3正态分布的累积分布函数(颜

5、色与概率密度函数同)它的反函数被称为反误差函数，为F_(x) = JIerf-】(2x-l)正态分布的累积分布函数F(x)没有初等函数表达式，它的值可以通过数值积分、秦勒级数或斤渐进序列近似得到。虽然正态分命函数的积分不能用初等函数表达出来, 但我们还可以采用其它的方法来生成正态分布随机数。4.2根据中心极限定理生成正态分布随机数列中心极限定理为：设刍、冬、久、为相互独立具有相同分布的随机变量序列，E« = “、D< = cr (n = 0丄2,)，则中心极限定理说明，无穷多个具有相同分布的随机变量之和是服从标准正态分布 的。相应的，如果多个随机变量均为0,1区间的均匀分布，则

6、生成标准正态分布的式 子为：其中，k为0,1X间均匀分布的随机变量的个数。k值可以根据计算精度来选取，若12取k=12,则 =£-6o此时算得的"将不超过(-6,6)的范围，这对于一般可靠度的计算已达足够精度。43 Box-MuUer 算法在4.2节给出的方法是一种近似算法，是用多项式估计正态分布，Box-Muller算 法则给出了一种精确的生成方法。Box-Muller算法隐含的原理较为复杂，但结果却是 相当简单：如果？、勺是在0,1IX间上均匀分布的随机变量，则£% = (-2111)3 cos22£rj? = (-2 ln)3 siii W均为服从

7、N(0d)标准正态分布的独立随机变量，它在整个区域上都是精确的，只 取决于尙和區的随机性和独立性。4.4标准正态分布转换为一般正态分布如果随机变量“服从标准正态分布，则令X = 077 + /ZX就是服从N(a6分布的随机变量的抽样。5对数正态分布5.1定义若连续随机变最？的概率密度为(lnx-X：)3f(x) = e &(a>0)兀a2则称？服从对数正态分布，记为？Ln(/z,a),并且=。加(#-1)0肿累积分布函数图4对数正态分布的概率密度函数和累积分布函数5.2随机数列的生成对数正态分布的随机数列的可由正态分布的随机数列生成，对数正态分布和正态分布的关系为：如果X是正态分

8、布的随机变屋，则eX为对数正态分布：同样，如果Y是对数正态分布，则In Y为正态分佈。首先应根据对数正态分布的随机数列的数学期望和方差，求出正态分布的数学期 望和方差。设X服从对数正态分布，均值为/J，方差为天，则Y=liiX服从正态分布，设其均值为“y,方差为<7；。由X和Y的关系，可得方程解得再按照第4节给出的方法生成正态分布的随机数列Y.代入x=ey中，即得服从 对数正态分布的随机数列X。6瑞利分布6.1定义若连续随机变量彳的概率密度为Xf（x）=* x，（x»o）«（）o,（x<0）则称？服从对数止态分布，记为gR（），并且心兰“ ?V 22瑞利分布是最常见的用于描述半坦衰落信号接收包络或独立多径分最接受包络统计时变特性的一种