第1章：函数.

1、第第1章：函数章：函数(第第118页页)经济数学（经济数学（1）1.1函数的概念函数的概念xy500200010005000 10000 200007 .204 .418 .82207414828案例案例1体现了变量取值的对应关系体现了变量取值的对应关系 去银行存钱去银行存钱, 假设一年定期整存整取的年假设一年定期整存整取的年利率为利率为4.14% , 则存款金额则存款金额 与一年到期时与一年到期时的利息的利息 之间的对应关系如下表之间的对应关系如下表: xy一一.函数概念函数概念 一一. 函数概念函数概念 1斤青菜斤青菜3.5元钱，请填写下表。元钱，请填写下表。重量重量x11.21.522.

2、53金额金额y3.54.25.2578.7510.5重量为重量为x斤时，金额为斤时，金额为_y=3.5x(单位：元单位：元)案例案例2气温自动记录仪把某一天的气温变化描绘在气温自动记录仪把某一天的气温变化描绘在记录纸上记录纸上, 如下图所示的曲线如下图所示的曲线. 曲线上某一曲线上某一点点 表示时刻表示时刻 的气温是的气温是 . 0t),(000tP0 时间和气温都是变量，这两个变量之间的对应时间和气温都是变量，这两个变量之间的对应关系是由一条曲线确定的关系是由一条曲线确定的观察这条曲观察这条曲线，可以知线，可以知道在这一天道在这一天内，时间从内，时间从0点到点到24点点气温的变化气温的变化情

3、形情形0to1224ht /0155C/),(000tP案例案例32 rA ).0(r 圆的面积圆的面积 由圆的半径由圆的半径 决定决定. 只要只要 取取定一个数值定一个数值, 面积面积 就有一个确定的值与之对就有一个确定的值与之对应应, 且且 与与 之间有如下关系式之间有如下关系式:AAArrro半径为半径为 . r案例案例4 广州市现行出租车收费标准为广州市现行出租车收费标准为:乘车不超过乘车不超过3km,收费收费10元元;超过超过3 km而不超过而不超过15km,超过的里程超过的里程每每km(不足不足1 km按按1 km计计)加收加收2元元;超过超过15km,超超过的里程每过的里程每km

4、(不足不足1 km按按1 km计计)加收加收3元元.15),15( 3) 315(210,153),3(210, 30,10 xxxxxP 分段函数分段函数 由于乘车里程不超过由于乘车里程不超过3 km、超过、超过3 km而不超过而不超过15km及超过及超过15 km的收费标准不同的收费标准不同,乘客乘车的费乘客乘车的费用用 与乘车的里程与乘车的里程 之间的数量关系应用三个数之间的数量关系应用三个数学式来表示学式来表示,即即Px分析分析 以上列举的案例以上列举的案例, 虽是来自不同的领域虽是来自不同的领域, 而且具有不而且具有不同的表示形式同的表示形式, 有表格、图形、公式，但它们的有表格、图

5、形、公式，但它们的共性共性是是: 都反映了在同一过程中有着两个相互依赖的变量都反映了在同一过程中有着两个相互依赖的变量, 当其当其中一个量在某数集内取值时中一个量在某数集内取值时, 按一定的规则按一定的规则, 另一个量另一个量有唯一确定的值与之对应有唯一确定的值与之对应. 变量之间的这种数量关系就变量之间的这种数量关系就是函数关系是函数关系.1.1.1常量与变量常量与变量气温随海拔而变气温随海拔而变化化汽车行驶路程随行驶时间而变化汽车行驶路程随行驶时间而变化聪明的乌鸦认识到：聪明的乌鸦认识到：1、瓶口的大小不可改变，水的量也不可改变；、瓶口的大小不可改变，水的量也不可改变；2、但瓶中水的高度是

6、可以改变的，投的石块越、但瓶中水的高度是可以改变的，投的石块越多则水面就越高多则水面就越高圆的面积公式为圆的面积公式为 , 取取 的一些不同的值的一些不同的值, 算出相应的算出相应的 的值的值:2SrrS2_Scm_rcm2_Scm_rcm2_Scm_rcm32_rcm2_Scm3259494 在计算半径不同的圆的面积的过程中在计算半径不同的圆的面积的过程中,哪些量哪些量在改变在改变,哪些量不变哪些量不变?5小明在勤工俭学活动中去当钟点工小明在勤工俭学活动中去当钟点工, 工资标准为工资标准为25元元/时时,设他工作时数为设他工作时数为t时时,应得工资额为应得工资额为 m元元, 则则 t =_时

7、时m =_元元m =_元元m =_元元t =_时时t =_时时取一些不同的取一些不同的t的值的值,求出相应的求出相应的m的值的值: 在根据不同的工作时数计算小明应得工在根据不同的工作时数计算小明应得工资额的过程中资额的过程中,哪些量在改变哪些量在改变,哪些量不变哪些量不变?1255327550m=25t.1.在一个过程中在一个过程中,固定不变的量称为固定不变的量称为常量常量.2.可以取不同数值的量称为可以取不同数值的量称为变量变量.若若a，b分别表示父母的身高分别表示父母的身高,h男，男，h女女分别分别表示儿女成人时的身高，则有关系式：表示儿女成人时的身高，则有关系式： h男男0.54（a+b

8、 ）h女女 0.54（0.975a+b）这里常量是什么？哪些是变量？这里常量是什么？哪些是变量？x011234用不等式表示数轴上的实数范围：用不等式表示数轴上的实数范围：把不等式把不等式 1x5 在数轴上表示出来在数轴上表示出来x012345用不等式表示为用不等式表示为 4x0abxabxabxabxx| axbaxbaxbaxbaxbx| axbx| axbx| axba，b(a，b)(a，ba，b)闭区间闭区间开区间开区间半开半闭区间半开半闭区间半开半闭区间半开半闭区间设设 axb其中其中 a，b 叫做区间的端点叫做区间的端点axaxaxaxx ax ax ax ax| x ax| x a

9、x| x ax| x a( ，aa ，)(，a)(a，)对于实数集对于实数集 R，也可用区间，也可用区间( ，) 表示表示 定义域定义域 是自变量是自变量 的取值范围，也就是使函数的取值范围，也就是使函数 有意义的数集由此，若取数值有意义的数集由此，若取数值 时，则称该函数在时，则称该函数在 有定义，与有定义，与 对应的对应的 的数值称为函数在点的数值称为函数在点 的函数值，记的函数值，记作作Dx)(xfy Dx 00 x0 xy0 x)(0 xf或或.0 xxy.)(Dxxfy，y 定义定义1.1 设有非空数集设有非空数集A与实数集与实数集R，如果对于数集，如果对于数集A中的中的任意数任意数

10、x，按照对应关系，按照对应关系f都确定了实数集都确定了实数集R中唯一一个数数中唯一一个数数y，称对应关系称对应关系f是定义在数集是定义在数集A上的函数，表示为：上的函数，表示为：f:AB 因变量因变量 自变量自变量 定义域定义域 1.1.2.函数概念函数概念一枚炮弹发射后，经过一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击落到地面击中目标。炮弹的射高为中目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度，且炮弹距地面的高度h（单位：（单位：m）随时间）随时间t（单位：（单位：s）变化的规律是）变化的规律是25130tth1.1.3函数的表示法如图中曲线记录的是深圳证券交易所某天如图中曲线记录的是深圳证券交易

11、所某天9：00到到15：00股票指数的股票指数的走势图走势图 下表是某校三名同学在高一年度六次成绩及班级下表是某校三名同学在高一年度六次成绩及班级平均分表。平均分表。第一次第一次第二次第二次第三次第三次第四次第四次第五次第五次第六次第六次王伟王伟989887879191929288889595张城张城909076768888757586868080赵磊赵磊686865657373727275758282班级班级平均分平均分88.288.278.378.385.485.480.380.375.775.782.682.6解析法：解析法：就是用就是用数学表达式数学表达式表示两个变量表示两个变量 之间

12、的对应关系之间的对应关系（2）图象法：）图象法：就是用就是用图象图象表示两个变量之表示两个变量之 间的对应关系间的对应关系.（3）列表法：）列表法：就是列出就是列出表格表格来表示两个变量来表示两个变量 的对应关系的对应关系 购买某种饮料购买某种饮料x瓶，所需钱数为瓶，所需钱数为y元。若每瓶元。若每瓶2元，试分别用元，试分别用解析法、列表法、图象法将解析法、列表法、图象法将y表示表示x （ ）的函数）的函数,并指出该函数的定义域和值域。并指出该函数的定义域和值域。4 , 3 , 2 , 1x解 （1）解析法：y = 2x ， x 1，2，3，4（2）列表法：瓶数x1234钱数y2468问题：问题

13、：它的图象由它的图象由4个孤立点组成，如图所示，这些点的坐标分别是个孤立点组成，如图所示，这些点的坐标分别是 （1，2），（），（2，4） ，（，（3，6），（），（4， 8）函数的定义域是函数的定义域是1，2，3，4，值域是值域是2，4，6，8 （3）图象法：）图象法：x 1 2 3 402468y 优点优点 缺点缺点 列表法列表法 三种表示法的比较：三种表示法的比较：不精确不精确图像法图像法解析法解析法不够形象不够形象 不够直观不够直观函数关系清楚、简明、全面函数关系清楚、简明、全面;容易从自变量的值求出其容易从自变量的值求出其对应的函数值；对应的函数值；不必通过计算就知道当自变不必通过计

14、算就知道当自变量取某些值时函数的对应值量取某些值时函数的对应值只适用于自只适用于自变量数目较变量数目较少的函数少的函数能形象直观的表示出函数的能形象直观的表示出函数的变化情况、便于研究函数的性质。变化情况、便于研究函数的性质。 有普通邮票、纪有普通邮票、纪念邮票、特种邮票、念邮票、特种邮票、航空邮票、欠资邮航空邮票、欠资邮票、包裹邮票、军票、包裹邮票、军用邮票、稿件邮票、用邮票、稿件邮票、快信邮票、贺年邮快信邮票、贺年邮票、附捐邮票、慈票、附捐邮票、慈善邮票、挂号邮票善邮票、挂号邮票等；等；基本资费表基本资费表计费标准计费标准资费（元）资费（元）本埠本埠外埠外埠首重首重100克内，每重克内，每

15、重20克克（不足（不足20克按克按20克计算）克计算）0.60.8 续重续重1012000克，每克，每重重100克（不足克（不足100克按克按100克计算）克计算）1.22.0 y=下面的是个人所得税缴纳方法下面的是个人所得税缴纳方法级数级数全月应纳税所得额全月应纳税所得额税率（税率（%） 11500的部分的部分525012000的部分的部分10320015000的部分的部分154500120000的部分的部分2052000140000的部分的部分2564000160000的部分的部分3076000180000的部分的部分35880001100000的部分的部分409100000的部分的部分4

16、5（工资超出（工资超出1200元的部分为应缴纳所得税的部分元的部分为应缴纳所得税的部分, 保留到整数位保留到整数位）分段函数实际应用分段函数实际应用夏利出租车夏利出租车起价起价10元元4至至15公里公里10元元+1.2元元/公里公里大于大于15公里公里10元元+1.8元元/公里公里1.1.4分段函数分段函数在科学技术及经济领域，经常会遇到一些在在科学技术及经济领域，经常会遇到一些在自变量的不同范围内用不同式子分段表示的自变量的不同范围内用不同式子分段表示的函数，称为函数，称为分段函数。分段函数。例例4：某工厂生产某产品，每日最多生产：某工厂生产某产品，每日最多生产200吨，固定成本为吨，固定成

17、本为150元，若产量在元，若产量在0到到100吨吨范围内，每多生产范围内，每多生产1吨，成本增加吨，成本增加5元；若产元；若产量在量在100吨以上，每多生产吨以上，每多生产1吨，成本增加吨，成本增加3元，元，研究成本研究成本C(元元)与日产量与日产量x的函数。的函数。2,0,(2),0 x xff xx x例5：已知 (x)=求函数的函数的几何特性几何特性 奇偶性奇偶性 单调性单调性 周期性周期性 有界性有界性 1.1.5. 函数的基本性质函数的基本性质 1.函数的函数的 有界性有界性 ,)(Mxf设函数设函数 在实数集在实数集A 上有定义，若存在正上有定义，若存在正数数 ，使得对任意的，使得

18、对任意的 ，有，有)(xfIxM则称则称 在在 上有界上有界. )(xfI而函数而函数 3xy 在在 内无界；内无界； ),(如函数如函数 ,sinxy 在在 xycos内有界内有界.),(, 1sinx, 1cosx函数函数 xy1在在 内无界内无界. ) 1 , 0(xy1 oxy)1 , 1(1,)(Mxf设函数设函数 在区间在区间 上有定义，若存在正数上有定义，若存在正数 ，使得对任意的使得对任意的 ，有，有)(xfIIxM则称则称 在在 上有界上有界. )(xfIIox有界函数有界函数 的图形的图形 (可以没有等号可以没有等号) My MyyMM2.函数的函数的 单调性单调性 , )

19、()(21xfxf设函数设函数 在区间在区间 上有定义，若对于上有定义，若对于 中的中的任意两点任意两点 和和 ,当当 时，总有时，总有)(xfI1x2x21xx I则称则称 在在 上单调增加上单调增加. )(xfI)(xfyIyox1x2x)(1xf)(2xf单调增函数单调增函数的图形的图形2.函数的函数的 单调性单调性 , )()(21xfxf设函数设函数 在区间在区间 上有定义，若对于上有定义，若对于 中的中的任意两点任意两点 和和 ,当当 时，总有时，总有)(xfI1x2x21xx I则称则称 在在 上单调增加上单调增加. )(xfI如函数如函数 3xy 在在 内单调增加；内单调增加；

20、 ),(3xy yox1) 1 , 1 (1) 1, 1(如函数如函数 2xy 在在 内单调增加；内单调增加； ), 0( yox1) 1 , 1 (2xy 3.函数的函数的 奇偶性奇偶性 , )()(xfxf 设函数设函数 的定义域的定义域 关于原点对称，关于原点对称，若对任意若对任意 ，有，有DDx)(xf 则称则称 为奇函数为奇函数. )(xf如函数如函数 3)(xxfy就是奇函数；就是奇函数； 奇函数的图形奇函数的图形关于坐标原点对称关于坐标原点对称 3xy yox1) 1 , 1 (1) 1, 1(再如函数再如函数 xxfy)(也是奇函数也是奇函数. xy3.函数的函数的 奇偶性奇偶

21、性 , )()(xfxf 设函数设函数 的定义域的定义域 关于原点对称，关于原点对称，若对任意若对任意 ，有，有DDx)(xf 则称则称 为偶函数为偶函数. )(xf如函数如函数 2)(xxfy就是偶函数就是偶函数. yox1) 1 , 1 (偶函数的图形偶函数的图形关于关于 轴对称轴对称. y2xy 1) 1 , 1(3.函数的函数的 单调性单调性 , )()(21xfxf设函数设函数 在区间在区间 上有定义，若对于上有定义，若对于 中的中的任意两点任意两点 和和 ,当当 时，总有时，总有)(xfI1x2x21xx I则称则称 在在 上单调减少上单调减少. )(xfIIyox1x)(1xf2

22、x)(2xf单调减函数单调减函数的图形的图形)(xfyESC 一一. 函数概念函数概念 3.函数的函数的 单调性单调性 设函数设函数 在区间在区间 上有定义，若对于上有定义，若对于 中的中的任意两点任意两点 和和 ,当当 时，总有时，总有)(xfI1x2x21xx I如函数如函数 2xy 在在 内单调减少内单调减少. ) 0 ,(yox2xy 1) 1 , 1(, )()(21xfxf则称则称 在在 上单调减少上单调减少. )(xfIESC4.函数的函数的 周期性周期性 则称则称 是周期函数是周期函数. )(xf),()(xfTxf设函数设函数 的定义域为的定义域为 ，若存在一个非零常，若存在

23、一个非零常数数 ，对于，对于 内所有内所有 ，有，有 )(xfDDxT 是是 的的 一个周期一个周期)(xfT周期周期 2T2ESC4.函数的函数的 周期性周期性 则称则称 是周期函数是周期函数. )(xf),()(xfTxf设函数设函数 的定义域为的定义域为 ，若存在一个非零常，若存在一个非零常数数 ，对于，对于 内所有内所有 ，有，有 )(xfDDxT如函数如函数 xycos的周期的周期 2T2ESC4.函数的函数的 周期性周期性 函数函数 xytan和和的周期都是的周期都是 xycotTESC基本初基本初 等函数等函数 常值函数常值函数 幂函数幂函数 包括包括六类六类 指数函数指数函数

24、对数函数对数函数 三角函数三角函数 反三角函数反三角函数 Cyxy xay xyalog六种六种只给出四种只给出四种1.3. 基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数1.3.1常值函数常值函数 ),(x定义域定义域: :. .含义含义: : 自变量取任意值，函数值都为常数自变量取任意值，函数值都为常数.CCy( ( 为常数为常数).).形式形式: :C), 0(C图像图像: : 过点过点, ,是一条平行于是一条平行于 轴的直线轴的直线. .xoxyCy C1.3.2幂函数幂函数 ESCxy( ( 为实数为实数).).形式形式: :定义域、图像及性质依定义域、图像及性质依 不同而不同不同而不

25、同. .oxy)1 , 1(12xy xy xy1 xy 1.3.3指数函数指数函数 oxyxay( ( ， ).).形式形式: :0a1a),(x定义域定义域: :. .),0(y值域值域: :. .)1 , 0(图像图像: : 过点过点, ,位于位于 轴的上方轴的上方. .x) 10 (aayx) 1( aayx 单调减少单调减少 单调增加单调增加 )1 ,0(1常用以常用以 为底的指数函数为底的指数函数.e 是一个无理数是一个无理数, =2.718281828459.ee本课程本课程:1.3.4对数函数对数函数 oxyxyalog( ( ， ).).形式形式: :0a1a), 0( x定

26、义域定义域: :. .),(y值域值域: :. .)0 , 1(图像图像: : 过点过点, ,位于位于 轴的右方轴的右方. .y)1(logaxya 单调减少单调减少 单调增加单调增加 )10(logaxya)0 , 1(11.3.5三角三角 函数函数 正弦函数正弦函数 余弦函数余弦函数 包括包括六种六种 正切函数正切函数 余切函数余切函数 正割函数正割函数 余割函数余割函数 xysinxycosxytanxycotxysec ()正弦函数正弦函数 .sinxy形式形式: :),(x定义域定义域: :. .1 ,1y值域值域: :. .2几何特性：奇函数；几何特性：奇函数； 内非单调函数；内非

27、单调函数； 周期周期 ；有界函数；有界函数.),(2T ()余弦函数余弦函数 .cosxy形式形式: :),(x定义域定义域: :. .1 ,1y值域值域: :. .2几何特性：奇函数；几何特性：奇函数； 内非单调函数；内非单调函数； 周期周期 ；有界函数；有界函数.),(2T ()正切函数正切函数 .tanxy形式形式: :定义域定义域: :,2nx. ., 2, 1, 0n值域值域: :. .),(y几何特性：奇函数几何特性：奇函数; 在在 内内 单调增加；周期单调增加；周期 ；无界函数；无界函数.T)2,2(nn ()余切函数余切函数 .cotxy形式形式: :定义域定义域: :,nx.

28、 ., 2, 1, 0n值域值域: :. .),(y几何特性几何特性: 奇函数；在奇函数；在 内内 单调减少；周期单调减少；周期 ；无界函数；无界函数.T),(nn ()正割函数正割函数 .cos1secxxy形式形式: :值域值域: :. .),(y. ., 2, 1, 0n定义域定义域: :,2nx ()正割函数正割函数 .sin1cscxxy形式形式: :值域值域: :. .),(y. ., 2, 1, 0n定义域定义域: :,nx1.3.6反三角反三角 函数函数 反正弦函数反正弦函数 反余弦函反余弦函数数 只给出只给出四种四种 反正切函数反正切函数 反余切函数反余切函数 xyarcsi

29、nxyarccosxyarctanxycotarc ()反正弦函数反正弦函数 .arcsinxy形式形式: :.1 , 1x定义域定义域: :值域值域: :.2,2y ()反余弦函数反余弦函数 .arccosxy 形式形式: :.1 , 1x定义域定义域: :值域值域: :., 0 y 单调减少单调减少 单调增加单调增加 ()反正切函数反正切函数 .arctanxy形式形式: :).,(x定义域定义域: :值域值域: :).2,2(y ()反余切函数反余切函数 .cotarcxy 形式形式: :值域值域: :)., 0 (y定义域定义域: :).,(x 单调减少单调减少 单调增加单调增加 1.

30、2.1复合复合 函数函数函数函数xysinex是自变量是自变量给给x先计算先计算 是是 的函数的函数yxxsin令令由由 的值的值u计算计算从而从而,便得便得 的值的值yuyexusinue 是是 的函数的函数ux 是是 的函数的函数yu把把 带入带入 中中 xusinuye得得xysine是是 的复合的复合函数函数yx2. 复合复合 函数函数 是是 的函数的函数 ux 是是 的函数的函数 yu一般地，设一般地，设 ),(ufy),(xu 若由若由 所确定的所确定的 使得使得 有意义，则称有意义，则称 为为 的复合函数，记作的复合函数，记作xuyyx).)(xfy即函数即函数 是由函数是由函数

31、 和和 经过复合而成的复合函数经过复合而成的复合函数 )(xfy)(ufy)(xu 外层函数外层函数 内层函数内层函数 中间变量中间变量 看作是将函数看作是将函数 代换函数代换函数 中的中的 得到的得到的 )(xfy函数函数)(x)(ufyu1.4 1.4 经济中常用的函数经济中常用的函数二、二、收益函数、利润函数收益函数、利润函数一、一、成本函数、需求函数成本函数、需求函数 需求量是指特定时间内需求量是指特定时间内, ,消费者打算并能够购买的某种商品消费者打算并能够购买的某种商品的数量的数量, ,用用Q Qd d表示表示. .影响需求的因素很多影响需求的因素很多, ,主要有：商品的价格主要有

32、：商品的价格P,P,与此商品有关的其他商品的价格与此商品有关的其他商品的价格, ,个人的收入个人的收入, ,消费者对未来商品消费者对未来商品价格的预期价格的预期, ,个人的偏好等等个人的偏好等等. . 若除商品的价格若除商品的价格P P外外, ,影响需求的其他因素不变影响需求的其他因素不变, ,则则Q Qd d是是P P的一的一元函数元函数 Qd d=f(P)=f(P)它通常是一个单调减函数它通常是一个单调减函数, ,常见的需求函数有常见的需求函数有)0b, a(bPaQd )0b, a(aPQbd 1.4.21.4.2、需求函数与供给函数需求函数与供给函数 有时有时, ,也把也把Q Qd d

33、=f(P)=f(P)的反函数的反函数称为需求函数称为需求函数. .)Q(fPd1 供给量是指特定时间内供给量是指特定时间内, ,厂商愿意并且能够出售的某种商品厂商愿意并且能够出售的某种商品的数量的数量, ,用用Q Qs s表示表示. .影响供给的主要因素有：商品的价格影响供给的主要因素有：商品的价格P,P,与此商与此商品有关的其他商品的价格品有关的其他商品的价格, ,厂商对未来商品价格的预期厂商对未来商品价格的预期, ,生产投入生产投入的的要素成本及厂商的技术状况等的的要素成本及厂商的技术状况等. . 若除商品的价格若除商品的价格P外外,影响供给的其他因素均不变影响供给的其他因素均不变,则则Q

34、s是是P的的一元函数一元函数 Qs=g(P)它通常是一个单调增函数它通常是一个单调增函数,常见的供给函数有常见的供给函数有)0b, a(bPaQs )0b, a(aPQbs 0QPdQsQQP 当当Qd=Qs时时,市场的供需处于平衡状态市场的供需处于平衡状态,此时的价格此时的价格 称为称为 均衡价格均衡价格,需求需求(或供给或供给)量量 称为均衡数量称为均衡数量. PQ 例例1 洗衣机厂生产一种型号的洗衣机洗衣机厂生产一种型号的洗衣机,当价格为每台当价格为每台 1500元时元时,需求量为需求量为6500台台,价格每降低价格每降低1元元,则可多卖出则可多卖出10台台. 求需求量求需求量Q与价格与价格P之间的函数关系之间的函数关系.)P1500(106500Q P1021500 解解 由题意知由题意知,需求量需求量Q与价格与价格P之间为线性函数关系之间为线性函数关系二、二、总成本函数、总收入函数总成本函数、总收入函数 和总利润函数和总利