九年级数学锐角三角函数(学生讲义)

1、锐角三角函数与解直角三角形【考纲要求】1. 理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 . 题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2. 命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题 .【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在 Rt ABC中， C 90°， A 所对的边的邻边， B 所对的边 AC记为 b，叫做 B 的对边，也是叫做斜边BC记为 a，叫做 A 的对边，也叫做 B A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c，BcaAbC锐角 A

2、 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作sinA ，即 sin AA的对边a ；斜边c锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作cosA，即 cos AA的邻边b ；斜边c锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作tanA ，即 tan AA的对边aA的邻边.b同理 sin BB的对边b ； cos BB的邻边a ； tan BB的对边b 斜边c斜边cB的邻边a要点诠释：(1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一

3、个整体，不能写成，不能理解成sin与 A，cos与 A，tan与 A 的乘积书写时习惯上省略A 的角的记号“” ，但对三个大写字母表示成的角( 如 AEF)，其正切应写成 “ tan AEF”，不能写成 “ tanAEF”；另外，、常写成、(3) 任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在(4) 由锐角三角函数的定义知：当角度在0° A90°之间变化时， tanA 0考点二 、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函数值，归纳如下：要点

4、诠释：(1) 通过该表可以方便地知道 0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角(2) 仔细研究表中数值的规律会发现：、sin90的值依次为0、1，而cos0、s i n 0、 cos90 的值的顺序正好相反，、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在 0° A90°之间变化时，正弦、正切值随锐角度数的增大 ( 或减小 ) 而增大 ( 或减小 ) 余弦值随锐角度数的增大 ( 或减小 ) 而减小 ( 或增大 )

5、 考点三 、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt ABC中， C=90°(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便考点四 、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素( 直角除外 ) 求未知元素的过程，叫做解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有5 个元素，即三条边和两个锐角.设在 Rt ABC中， C=90°， A、 B、 C所对的边分别为a、b、 c，则有：222锐角之间的关系：A+ B=90° .边角之

6、间的关系：.，.， h 为斜边上的高.要点诠释：(1) 直角三角形中有一个元素为定值( 直角为 90° ) ，是已知的值 .(2) 这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系( 如不等关系 ).(3) 对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt ABC由求 A，两直角边 (a ， b) B=90° A，两边斜边，一直角边 ( 如 c， a)由求 A， B=90° A， B=90° A，锐角、邻边( 如 A，b)，一直角边一和一锐角 B=90° A，边锐角、对

7、边一( 如 A，a)，角 B=90° A，斜边、锐角 ( 如 c， A)，要点诠释：1在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算 . 2若题中无特殊说明， “解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边 .考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1) 弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯

8、角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2) 将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系， 把实际问题转化为解直角三角形的问题 .(3) 根据直角三角形 ( 或通过作垂线构造直角三角形 ) 元素 ( 边、角 ) 之间的关系解有关的直角三角形 .(4) 得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1) 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示 .坡度 ( 坡比 ) ：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=的形式.(2) 仰角、俯角：

9、视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图 .(3) 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图中，目标方向 PA， PB， PC的方位角分别为是40°， 135°， 245° .(4) 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图中的目标方向线OA， OB， OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西 60° . 特别如：东南方向指的是南偏东 45°，东北方向指的是北偏东

10、45°，西南方向指的是南偏西 45°，西北方向指的是北偏西 45° .要点诠释：1解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解 . 例如：3解直角三角形的应用题时，首先弄清题意( 关键弄清其中名词术语的意义) ，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、 锐角三角函数的概念与性质1 (1) 如图所示，在ABC中，若 C 90°， B 50°， AB 10，则 BC的长为 (

11、)A10· tan50 °B 10· cos50 °C 10· sin50 °D 10sin 50°(2) 如图所示，在 ABC中， C 90°， sinA 3 ，求 cosA+tanB 的值5(3) 如图所示的半圆中， AD是直径，且 AD3， AC2，则 sinB 的值等于 _【思路点拨】(1) 在直角三角形中， 根据锐角三角函数的定义， 可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边(2) 直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k 表示

12、各边(3) 要求 sinB 的值，可以将 B 转化到一个直角三角形中【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；(2)题求 cosA 时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin 2 A+cos 2 A 1，读者可自己尝试完成举一反三：【变式 】 Rt ABC中， C=90°， a、 b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边，那么c 等于 ()(A)acosAbsin B(B)asin Absin B(C)abab(D)sin Asin BcosAsin B类型二、特殊角的三角函数值2

13、解答下列各题：(1) 化简求值： tan60° tan45° sin 45° sin 30°； sin 60° cos30° cos45°(2)在 ABC中， C 90°，化简12sin A cos A 【总结升华】由第 (2) 题可得到今后常用的一个关系式：1± 2sin cos =(sin ± cos ) 2例如，若设 sin +cos t ，则 sincos1(t 2 1) 2举一反三：【变式 】若 sin 23， cossin， (2 ， 为锐角 ) ，求 tan( 2)的值.233 (

14、1) 如图所示，在ABC中， ACB 105°， A30°， AC 8，求 AB 和 BC的长；(2) 在 ABC中， ABC 135°， A 30°， AC 8，如何求 AB和 BC的长 ?(3) 在 ABC中， AC 17， AB 26，锐角 A 满足 sin A12，如何求 BC的长及 ABC的面积？13若 AC 3，其他条件不变呢?【思路点拨】第 (1) 题的条件是“两角一夹边”由已知条件和三角形内角和定理，可知B 45°；过点C 作 CD AB 于 D，则 Rt ACD是可解三角形，可求出 CD的长，从而 Rt CDB可解，由此得解；

15、第 (2) 题的条件是“两角一对边” ；第 (3) 题的条件是“两边一夹角” ，均可用类似的方法解决类型三、解直角三角形及应用4如图所示， D 是 AB上一点，且 CD AC于 C， S ACD : SCDB2 : 3 ， cos DCB4，5AC+CD 18，求 tanA 的值和 AB 的长专题总结及应用一、知识性专题专题 1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主例 1 如图 28 123 所示，在 Rt ABC 中， ACB 90°， BC 1，AB 2，则下列结论正确的是()A sin A3B tan A122C cosB3D tan B3

16、2例 2 在 ABC 中， C 90°， cosA 3 ,则 tan A 等于()5A 3B 4C 3D 45543专题 2特殊角的三角函数值【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值例 4计算 | 3| 2cos 45° (3 1)0例 5计算1 9 ( 1)2007 cos 60°2例 6计算 |2 | (cos 60° tan 30° )08 131例 7计算 ( 3.14)0 |1 tan 60° |.232专题 3锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力例 8

17、如图 28 124 所示，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高， E 为.AC4边的中点， BC 14， AD 12， sin B(1)求线段 DC 的长；(2)求 tanEDC 的值 .例 9 如图 28 125 所示，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高， tan B cosDAC .(1)求证 AC BD ；12(2)若 sin C， BC 12，求 AD 的长例 10 如图 28 126 所示，在 ABC 中， B 45°， C 30°， BC 30 30 3 ，求 AB 的长专题 4用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数

18、学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法例 13如图 28 131 所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽小凡同学在点A 处观测到对岸C 点，测得 CAD 45°，又在距 A 处 60 米远的 B 处测得 CBA 30°，请你根据这些数据算出河宽是多少 ?(结果保留小数点后两位 )例 14如图 28 132 所示，某边

19、防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的 B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救1 号救生员从A 点直接跳入海中； 2 号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C 点再跳入海中；3 号救生员沿岸边向前跑300 米到离B 点最近的D 点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是 6 米秒，在水中游泳的速度都是2 米 /秒若 BAD 45°， BCD 60°，三名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B(参考数据2 1.4， 3 1.7)例 15如图 28 133 所示，某货船以24 海里 /时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某

20、岛C 在它的北偏东60°方向上，该货船航行30 分钟后到达B 处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由C 岛周围9 海里的区域内有暗礁，若货船例在相距16如图 28 134 所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别8 米的 A， B 两处测得 D 点和 C 点的仰角分别为45°和 60°，且 A，B，F三点在一条直线上，若BE 15米，求这块广告牌的高度(3 1.73，结果保留整数 )例 17如图 28 135 所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD 2.5m，坝高 4 m，背水

21、坡的坡度是1： 1，迎水坡的坡度是1： 1.5，求坝底宽BC.例18如图28 136 所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD 30m，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD的水平距离 AB(参考数据： sin 20° 0.342，cos 20° 0.940，tan 20° 0.364，sin 23° 0.391，cos 23° 0.921，tan 23° 0.424)二、规律方法专题专题 5公式法【专题解读】本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关键1sin2例 19 当 0&#

22、176; 90°时，求的值cos三、思想方法专题专题 6类比思想【专题解读】求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形， 因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念我们可以像解方程(组 )一样求直角三角形中的未知元素例20在 Rt ABC中，C 90°， A， B， C的对边分别为a， b， c，已知a5， b2 15 ，解这个直角三角形2专题 7数形结合思想【专题解读】由“数”思“形” ，由“形”想“数” ，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一例 21如图 28 137 所示，已知 的终边 OP AB，直线 AB 的方程为 y3x3，则 cos 等于()33A 12B 2233CD23专题 8分类讨论思想【专题解读】当结