三角函数最值问题的十种常见解法

1、。三角函数最值问题的十种常见解法福州高级中学陈锦平三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高. 解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题. 下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例 1求函数y2cos x1的值域分析此为 ya cos xb 型的

2、三角函数求最值问题，设 t cosx ，由三角函数的有界性得 t 1,1，则 y2t1 3,1二 .转化 yA sin(x)b ( 辅助角法 )观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例 2（ 2017 年全国 II卷）求函数 f ( x) 2cos xsin x 的最大值为.分析此为 ya sin xbcos x 型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为 yAsin(x) B 的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征一般可利用| a sin xb cosx |a2b2 求最值 .f (x)22 15 .三 .转化二次函数 ( 配方法

3、 )若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是 2 时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.。1。例 3 求函数 ysin 2 x 3cos x 3 的最小值 . 分析 利用 sin 2xcos2 x 1将原函数转化为 ycos2 x3cos x2，令 tcosx ，2则1 t 1, yt 23t2, 配方，得 y t31,1 t1,当 t=1时, 即24cosx=1 时， ymin0四 .引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx， 与 sinxcosx的函数，运用关系式212 sin x cosx,一般都可采用换元法转化为t 的二

4、次函数去求最值，但sin x cos x必须要注意换元后新变量的取值范围.例 4.求函数 ysin xcos xsin x.cos x 的最大值 .分析解 ： 令sinxcosx21 2sinxcos . ， 设t s i nx则xc ox ssin x cos xt 221 t2, 2 , yt 21 t ，其中 t2, 221当 t2,sinx1, ymax2.42五 .利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项， 凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例 5. 已知 x0,，求函数 ysin x1的最小值 .a2sin x型三角函数求最值问题，当sinx>

5、;0,a>1，不能用均值不等式求 分析 此题为 sin xsin x最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设 sin x t , 0t1 , y t12 t. 12，当且仅当 t2时等号成立 .2t2t2六利用函数在区间内的单调性。2。例 6. 已知 x0,，求函数 ysin x2的最小值 .asin x 分析 此题为 sin x型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求sin x最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设 sin x t , 0t 1 , yt1t=1时， ymin 3 .，在（ 0， 1）上为减函数，当t七转化部分分式例 7求函数

6、y2 cosx12 cosx的值域1 分析 此为 ya cosxb 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、c cosxd同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解. 或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解.解法一：原函数变形为y12,cos x1 ，可直接得到：y3或 y1 .2 cosx13解法一：原函数变形为cos xy1,cosx1,y11,y3或 y1 .2 y 12 y13八 数形结合由于 sin 2 xcos2 x1，所以从图形考虑， 点 (cosx,sinx)在单位圆上， 这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用

7、几何方法求得.例 8 求函数 ysin xx的最小值 .20cos x0sin x , y 可看成连接两点 分析 法一：将表达式改写成yA(2,0)与点 (cosx,sinx)2cos x的直线的斜率 . 由于点 (cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求 y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点 A 的切线与半圆相切与点B, 则 k ABy0.可求得 k ABtan 53 .63所以 y 的最小值为3（此时 x） .33。3。法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=a 2b 2 sin x（即引入辅助角法）和有界性来求解.九判别式法例 9

8、求函数 ytan2 xtan x1的最值 .tan2 xtan x1分析同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.ytan2xtan x1tan2xtan x1解：y1 tan2xy1 tan xy 1 0y1,tan x0, xk ky 1时此时一元二次方程总有实数解y 1 24 y 1 20, 3 y 1 y 3 01y 3.3由 y=3， tanx=-1，xkkz , ymax 31 , tan x41 .由 y1,xk, ymin343十分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例 10. 设 f xcos2 x a sin xa10 x，用 a 表示

9、f(x)的最大值 M(a).422解： fxsin 2 xa sin xa1 . 令 sinx=t,则 0t 1,42a1a22a1g tf xt2aat2t44.422。4。（ 1）当 a，即 a2, g t在 0 ， 1 上递增，M ag 13a1;2142a（2）当01,即 0a 2 时 ， g t在0，1上先增后减，2M agaa 2a1 ;2442（ 3）当 a0, 即 a0, g t在 0 ，1 上递减， M ag 01a .2243a1 , a242M aa2a1a244,021a, a024以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见. 解决这类问题最关

10、键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数 y=5sinx+cos2x的最值2. 已知函数 y1cos2 x3 sin x cos x 1 x R 当函数 y 取得最大值时，求自变22量 x 的集合 .3. 已知函数 fx2sin x(sin x cos x) ，求函数 f(x)的最小正周期和最大值 .参考答案：1. 分析 ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一.2y 5sin x1 2 sin2 x2sin 2 x5 sin x1 2 sin x533481sin x1,sin x1, x 2k, kz, ymin2813316628sin x1 x2k, kz, ymax133428216。5。2. 分析 此类问题为 ya sin 2xb sin xcos xc cos2x 的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为 ya sin xb cos x 型求解 .解：y11 cos2x3sin 2x1cos2x35113522221sin 2x22cos2xsin 2x444241 sin 2x5 ,2x62k ,xk kz , ymax7 .264264f(x)的最小正周期为，最大值为 12 .3. 分析 在本题的函