三次函数的性质-总结练习名师制作优质教学资料

1、三次函数的性质三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分， 因此有必要对其性质有所了解， 才可以做到知己知彼，百战不殆性质一单调性以 a>0 为例，如图 1，记 =b2- 3ac 为三次函数图象的判别式，则图 1 用判别式判断函数图象当 ? 0 时， f(x)为 R 上的单调递增函数；当 >0时， f(x)会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值性质一的证明f(x)的导函数为f(x)=3ax3+2bx+c,其判别式为 4(b2- 3ac)，进而易得结论例 1设直线 l 与曲线 y=x3+x+1 有三

2、个不同的交点 A,B,C，且|AB|=|BC|=5 ，求直线 l 的方程解 由|AB|=|BC|可知 B 为三次函数的对称中心，由性质一可得 B(0,1)，进而不难求得直线 l 的方程 y=2x+1性质二对称性如图 2，f(x)的图象关于点 P(- b3a,f(- b3a)对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于 P 对称）图 2图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为 (m,n)，则其解析式可以设为 f(x)=?(x- m)3+?(x- m)+n,其中 0性质二的证明由于f(x)=a(x+b3a)3+(c- b23a)(x+b3a)- bc3a+2b327a2+d,即f(x)=(

3、 x+b3a)3+(c- b23a)(x+b3a)+f(- b3a),于是性质二得证例 2设函数 f(x)=x(x- 1)(x- a)， a>1（ 1 ）求导数 f(x)，并证明 f(x)有两个不同的极值点 x1， x2；（ 2 ）若不等式 f(x1)+ f(x2)? 0 成立，求 a 的取值范围（ 1）解 f(x)的导函数f(x)=(x- 1)(x- a)+x(x- a)+x(x- 1)=3x2- 2(a+2)x+a,而f(0)f(1)f(a)=a>0,=1- a<0,=a(a- 1)>0,于是 f(x)有两个变号零点，从而f(x)有两个不同的极值点（ 2）解 根据性

4、质二，三次函数的对称中心 (a+13,f(a+13)是两个极值点对应的函数图象上的点的中点于是f(x1)+f(x2)=2f(a+13)? 0,即2?a+13?a- 23?- 2a+13? 0,结合 a>1，可得 a 的取值范围是 2,+ )注本题为 2004 年高考重庆卷理科数学第20 题性质三切割线性质如图 3，设 P 是 f(x)上任意一点（非对称中心），过P 作函数 f(x)图象的一条割线 AB 与一条切线 PT（ P 点不为切点）， A、B、T 均在 f(x)的图象上，则 T 点的横坐标平分 A、B 点的横坐标图 3切割线性质推论 1设 P 是 f(x)上任意一点（非对称中心），

5、过P 作函数 f(x)图象的两条切线 PM、PN，切点分别为 M、P，如图则 M 点的横坐标平分 P、N 点的横坐标，如图 4图 4切割线性质推论一推论 2设 f(x)的极大值为 M，方程 f(x)=M 的两根为 x1、x2（ x1<x2），则区间x1,x2 被- b3a 和极小值点三等分图 5切割线性质推论二性质三的证明设 f(x)=ax3+bx2+cx+d（ a0），直线 PT:y=k0x+m0，直线PAB:y=kx+m，则分别将直线PT 与直线 PAB 的方程与三次函数的解析式联立，得ax3+bx2+(c- k0)x+d- m0=0,ax3+bx2+(c- k)x+d- m=0,

6、于是根据三次方程的韦达定理可得2xT+xP=xA+xB+xP ,即xT=xA+xB2,于是命题得证推论 1 和推论 2 的证明留给读者例 3如图 6 ，记三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d（ a0）的图象为 C，若对于任意非零实数x1，曲线C 与其在点P1(x1,f(x1)处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)，曲线C与其在点P2 处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)，线段P1P2、P2P3 与曲线C所围成的封闭图形的面积分别记为S1、S2求证：S1S2 是定值图 6解 由性质二，任意三次函数 f(x)都可以通过平移变化变成g(x)=px3+qx,然后可以作伸缩变换变成h(x)

7、=x3+rx,而无论平移还是伸缩，题中的S1S2 均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数 h(x)=x3+rx 成立即可根据题意，联立函数h(x)=x3+rx 与函数 h(x)在 P1 处的切线方程得(x- x1)2?(x- x2)=0,于是2x1+x2=0,即x2=-2 x1.又由性质三的推论1，可得2x1=x2+x3,即x3=4x1.于是，线段 P1P2 与曲线 C 所围成的封闭图形的面积S1= x2x1(x- x1)2?(x- x2)dx = -2x1x1(x3- 3x21x+2x31)dx = (14x4- 32x21x2+2x31x) - 2x1x1 =274x41,类似的，线段

8、P2P3 与曲线 C 所围成图形的面积S2=274x42 ,于是所求的面积之比为S1S2=(x1x2)4=116.注 此题即 2010 年高考福建卷理科数学第 20 题第（ 2）小问（第（ 1）小问要求证明该结论对 f(x)=x3- x 成立）性质四切线条数如图 7，过 f(x)的对称中心作切线 l ，则坐标平面被切线 l 和函数 f(x)的图象分割为四个区域，有以下结论：图 7切线条数 过区域I 、 III内的点作 y=f(x)的切线，有且仅有三条； 过区域II 、IV 内的点以及对称中心作y=f(x)的切线，有且仅有一条； 过切线 l 或函数 f(x)图象（除去对称中心）上的点作y=f(x

9、)的切线，有且仅有两条性质四的证明由性质二，不妨设 f(x)=x3+mx，坐标平面内一点 P(a,b)三次函数图象上 x=t 处的切线方程为23+mt,y=(3t +m)(x- t)+t即y=(3t2+m)x- 3t3,切线过点 P(a,b)，即b=-3 t3+3at2+ma.而三次函数对称中心处的切线方程为y=mx,于是考虑直线 y=b- ma 与函数y=-3 t3+3at2的图象公共点个数当 a=0 时，无论 b 取何值，均为 1 个公共点；当 a>0 时， b- ma>0 时为 1 个公共点， b- ma=0 时为 2 个公共点， b- ma<0 时为 3个公共点；当 a<0 时， b- ma>0 时为 3 个公共点， b- ma=0 时为 2 个公共点， b- ma<0 时为 1个公共点综上，性质四得证在高考中，对结论 的考察最为常见， 例如 20