随机变量及其分布78实用教案

1、11交、差得到。有限次或者可列次并、可以通过上面四个式子）类似的，（)(),(),( ,).0(1)(1)(. 4);(1)(1)(. 3);0()()()()(. 2);()()()()0()(lim)(. 1212121210000000000000000000 xXxxXxxXxxXxxFxXPxXPxFxXPxXPxFxFxXPxXPxXPxXPxFxXPxXPxFxXPxXPxx第1页/共24页第一页，共24页。2已知离散(lsn)型随机变量X的分布律，求分布函数：分布律为 , 2 , 1, kpxXPkk xxkkpxXPxF)(则分布(fnb)函数为（阶梯形函数）第2页/共24页

2、第二页，共24页。3如已知分布(fnb)函数则X的分布(fnb)律为：3, 130, 3/201, 4/11, 0)(xxxxxF分布函数，求分布律的机变量反过来：已知离散型随XXP104/ 1312/53/ 1第3页/共24页第三页，共24页。4连续型随机变量连续型随机变量(su j bin (su j bin lin)Xlin)X及其概率密度及其概率密度f(x)f(x)， xttfxFd)()(连续型随机变量(su j bin lin)的分布函数是连续函数。第4页/共24页第四页，共24页。5概率密度函数f(x)的基本(jbn)性质： ( (1 1) ) 非非负负性性：0)( xf，Rx

3、. . ( (2 2) ) 规规范范性性：. 1d)( xxf ， xttfxFd)()(这两条性质是判定(pndng)一个函数 f(x)是否为某随机变量的概率密度的充要条件.10 x)(xf第5页/共24页第五页，共24页。6概率密度函数f(x)的其它(qt)性质： ， xttfxFd)()( (3 3) ) 对对于于任任意意实实数数ba , ,有有 .d)( baxxfbXaP)()(aFbF ( (4 4) ) 若若)(xf连连续续, ,则则有有 )()(xFxf . . 密密度度函函数数)(xf与与分分布布函函数数)(xF的的关关系系： ， xttfxFd)()(. )()(xFxf

4、第6页/共24页第六页，共24页。7(5) 连续型随机变量取任何(rnh)一个指定值的概率为0.即, 对于(duy)任意常数c, 有.0 cXP(6) 若X是连续型随机变量(su j bin lin),则bXaPbXaPbXaPbXaP1aXPaXPaXP.d)(baxxf.d)(axxf第7页/共24页第七页，共24页。8均匀分布 其其它它 , 0 , 1)(bxaabxf. ),(baUXab)(xfx第8页/共24页第八页，共24页。9ab)(xfx 其其它它 , 0 , 1)(bxaabxf bxbxaabaxaxxF10)(分布(fnb)函数为)(xfxab均匀分布),(baUX第9

5、页/共24页第九页，共24页。10指数分布指数分布 0 ,00,e)(xxxfx )(xfx )(EX分布(fnb)函数为.0 ,00 ,e1)( xxxFx 第10页/共24页第十页，共24页。11正态分布 xxfx e21)(222)(， . ),(2NX )(xfx第11页/共24页第十一页，共24页。12正态变量的分布(fnb)函数为 xtxFxt,de21)(222)( 第12页/共24页第十二页，共24页。13)(x )(x txxtde21)(22 1, 0的正态分布称为标准正态分布. xxx,e21)(22 其密度函数和分布函数常用 和 表示：)(x )(x )21)0(;1)

6、(, 0)(. )(1)(xx 第13页/共24页第十三页，共24页。14一般的正态分布转化(zhunhu)为标准正态分布.，若若),(2 NX. ) 1, 0( NXY 则则 baabbXaP,且有第14页/共24页第十四页，共24页。152.8 2.8 随机变量的函数随机变量的函数(hnsh)(hnsh)的分布的分布 在实际(shj)中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.42d 求截面面积 A= 的分布.例如，已知圆轴截面(jimin)直径 d 的分布， 设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数)，如何由 X 的分布求出 Y 的分布？第15页/共24页第十五页，共24页。

7、16 设离散(lsn)型随机变量X的概率分布为例1解2 1 013XP5161511513011求2X+1及X 2的概率分布。 3 1 13712 XP01492XP51307513011注意(zh y)：取值相同的概率应相加。5161511513011第16页/共24页第十六页，共24页。17 已知离散型随机变量(su j bin lin)X的分布律，求函数Y=g(x)分布律方法：1）对应 ，求出 所有(suyu)取值 2）求（对应）概率 注：相同的概率应相加。ixX jiyxgY)()(jyYP第17页/共24页第十七页，共24页。18 设随机变量(su j bin lin)X具有概率密度

8、 例2解 其它其它 , 040, 8/)(xxxfX求随机变量(su j bin lin) Y=2X+8 的概率密度.设X,Y的分布(fnb)函数为 FX(x), FY(y),于是Y的密度函数为)(yYPyFY 82yXP 28 yXP. )28( yFX21)28(d)(d)( yfyyFyfXYY第18页/共24页第十八页，共24页。19 其它其它 , 040, 8/)(xxxfX 其它其它 , 04280,21)28(81yy. , 0168,328 其它其它yy21)28(d)(d)( yfyyFyfXYY第19页/共24页第十九页，共24页。20例3解设 X 具有概率密度 ,求Y=X

9、 2的概率密度.)(xfXyXyP 求导可得 0, 00),()(21d)(d)(yyyfyfyyyFyfXXYY)(yYPyFY 2yXP .0)(0 yFyY，时时故故当当 注意到,02 XY，)()(yFyFXX 设X,Y的分布(fnb)函数为 FX(x), FY(y),，时时当当0 y第20页/共24页第二十页，共24页。21, )1, 0( NX设设则 Y=X 2 的概率密度为 0, 00,e21)(221yyyyfyY x 0, 00),()(21)(yyyfyfyyfXXY，22e21)(xXxf 其概率密度为.12分布分布的的服从自由度为服从自由度为此时称此时称 Y第21页/共24页第二十一页，共24页。22已知连续型随机变量(su j bin lin)X，概率密度f(x),函数Y=g(x)，求Y的概率密度);(yFY通过积分求其值）解出)()()()(GXP