[理学]概率论与数理统计中国矿业大学第六章ppt课件

1、第六章样本及抽样分布二二 、抽样分布、抽样分布一一 、随机样本、随机样本 100100个样品进展强度测试，于是面临以下几个问题：个样品进展强度测试，于是面临以下几个问题： 1、估计这批合金资料的强度均值是多少、估计这批合金资料的强度均值是多少?(参数的点估计问题参数的点估计问题2、强度均值在什么范围内？、强度均值在什么范围内？ (参数的区间估计问题参数的区间估计问题3、假设规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这、假设规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这批资料能否合格？批资料能否合格？ (参数的假设检验问题参数的假设检验问题例如例如 某厂消费一型号的合金资料，用随机的方法选取某厂消费一型号

2、的合金资料，用随机的方法选取 我们依次讨论参数的点估计、区间估计、假设检验。我们依次讨论参数的点估计、区间估计、假设检验。下面首先引入一些数理统计中的根底知识。下面首先引入一些数理统计中的根底知识。随 机 样 本 第六章 第一节一一 、总、总 体体 二二 、样、样 本本 一一 、总体、总体研讨对象的某项数量目的值的全体称为总体。研讨对象的某项数量目的值的全体称为总体。总体中每个研讨对象总体中每个研讨对象(元素元素)称为个体称为个体(样品样品)。 一个统计问题总有它明确的研讨对象。一个统计问题总有它明确的研讨对象。例如：测试矿大全体男生的身高；例如：测试矿大全体男生的身高；总体总体有限总体有限总

3、体无限总体无限总体 总体可以用一个随机变量总体可以用一个随机变量 X X 及其分布来描画。及其分布来描画。此总体就可以用随机变量此总体就可以用随机变量X X 或其分布函数或其分布函数例如，研讨某批灯泡的寿命时，例如，研讨某批灯泡的寿命时，这批灯泡中每个这批灯泡中每个灯泡的寿命是我们所关怀的目的灯泡的寿命是我们所关怀的目的. . ( )F xP Xx表示表示. .( )F x二二 、样本、样本样本：在总体中抽取的部分个体。样本：在总体中抽取的部分个体。12(,)nXXX样本容量：样本中所含个体的数目样本容量：样本中所含个体的数目n 。定义定义 为了准确地进展判别，对抽样有所要求：为了准确地进展判

4、别，对抽样有所要求： 代表性：样本的每个分量代表性：样本的每个分量iX与总体与总体X 有一样的有一样的分布函数；分布函数； 独立性：独立性：12,nXXX为相互独立的随机变量，为相互独立的随机变量，满足以上条件的样本满足以上条件的样本12(,)nXXX称为来自总体称为来自总体X 的容量为的容量为n 的一个简单随机样本简称样本。的一个简单随机样本简称样本。样本的一次详细实现样本的一次详细实现12( ,)nx xx称为样本值。称为样本值。结合分布函数为结合分布函数为121( ,)( )nniiFx xxF x结合概率密度为结合概率密度为121( ,)( )nniifx xxf x结合分布律为结合分

5、布律为 11221,niininikkP XxXxXxP Xx例例1 设总体设总体 ，求样本，求样本 的结合分布律。的结合分布律。 ( )X nXXX,21( ),X 总体总体解解: 其分布律为其分布律为 ekkXPk!, 2 , 1 , 0 k于是于是 的结合分布律为的结合分布律为 nXXX,21,2211nnkXkXkXP 1iniikXP niikeki1)!( niiknkenii1)!1(1 niiknkenii1!1 例例2 设总体设总体 ,求样本求样本 的结合密度函数。的结合密度函数。 ),(2 NXnXXX,21解解: 由知由知,总体总体X的密度函数为的密度函数为 222)(2

6、1)( xexf于是于是 的结合分布律为的结合分布律为 nXXX,21 niixf1)(222)(121 ixnie niixne122)(2122)2( 例例3 设总体设总体X的密度函数为的密度函数为 解解: 样本样本 的结合密度函数为的结合密度函数为 nXXX,21 其它其它, 010,)1()(xxxf 求样本求样本 的结合密度函数的结合密度函数. nXXX,21 niixf1)( 其它其它，0, 2 , 1, 10,)()1(1nixxiniin 抽 样 分 布 第六章 第二节一一 、统计量的定义及常用的统计量、统计量的定义及常用的统计量 二二 、几种常用的分布、几种常用的分布 三三

7、、正态总体统计量的分布、正态总体统计量的分布 的函数，它把样本中所含的某一方面的信的函数，它把样本中所含的某一方面的信这种不含任何未知参数的样本的函数称为统这种不含任何未知参数的样本的函数称为统由样本值去推断总体情况，由样本值去推断总体情况， 需求对样本值进需求对样本值进行行“加工，加工， 这就要构造一些适宜的依赖于样本这就要构造一些适宜的依赖于样本计量。它是完全由样本决议的量计量。它是完全由样本决议的量. . 息集中起来。息集中起来。一、统计量的定义及常用的统计量一、统计量的定义及常用的统计量定义定义1 设设 ),(21nXXXgnXXX,21是来自总体是来自总体X 的一个样本，的一个样本，

8、为一实值延续函数，为一实值延续函数， 其不包含任何其不包含任何未知参数，那么称未知参数，那么称),(21nXXXg为一个统计量。为一个统计量。),(21nxxxg为为的观测值。的观测值。注：注：仍为随机变量。仍为随机变量。),(21nxxxg是一个数。是一个数。),(21nXXXg),(21nXXXg例如例如 总体总体2( ,),XN nXXX,21是一个样本，是一个样本，那么那么2212112nnkkXXXXX均为统计量。均为统计量。当当2, 未知时，未知时，221212,/XXX均不是统计量。均不是统计量。当当2, 知时，其为统计量。知时，其为统计量。下面引见几种常用的统计量下面引见几种常

9、用的统计量1 1、样本均值、样本均值2 2、样本方差、样本方差nkkXnX11nkkXXnS122)(11设设nXXX,21是来自总体是来自总体X 的一个样本，的一个样本，它反映了总体它反映了总体X X 取值的平均值的信息，常用来估计取值的平均值的信息，常用来估计EXEX2211()1nkkXnXn2211()1niiSSXXn3、样本规范差、样本规范差4 4、样本、样本k k 阶原点矩阶原点矩5 5、样本、样本k k 阶中心矩阶中心矩., 2 , 111nkXnAnikik, 2 , 1)(11kXXnBnikik它反映了总体它反映了总体 k k 阶矩的信息。阶矩的信息。可见可见212,1n

10、XASBnniixnx11它们的察看值分别为：它们的察看值分别为：11)(11122122niiniixnxnxxnsniixxns12)(112 , 1,11kxnanikik2 , 1,)(11kxxnbnikik 统计量是样本的函数，它是一个随机变量统计量是样本的函数，它是一个随机变量. .nXXX,21证 1、 由于是独立同分布的随机变量，是独立同分布的随机变量， EXEXk., 2 , 12nkDXDXknnEXnXEnkk111nnnDXnXDnkk2221211且且2(1),. EXDXn 例例1 设总体设总体X 的数学期望为的数学期望为2(),()E XD X212,(),()

11、,().nXXXE XD XE S求其样本为其样本为211() 1nkkEXXn 2 E s222(2)(). E S 2211() 1nkkEXnXn 2211 1nkkEXnXn n22kK=11(E(X)-nE(X )n-1 = =2211()1nKn22()nn 下面引见几种常用的统计量的分布下面引见几种常用的统计量的分布统计量的分布称为抽样分布。统计量的分布称为抽样分布。)(22n记为记为nXXX,21222212nXXX21. 定义定义 设设相互独立相互独立, 都服从正态都服从正态分布分布N (0,1), 那么称随机变量：那么称随机变量：所服从的分布为自在度为所服从的分布为自在度为

12、 n 的的分布分布.分布分布2(一一)二、几种常用的分布二、几种常用的分布2分布的密度函数为分布的密度函数为 000)2(21);(2122xxexnnxfxnn来定义。来定义。经过积分经过积分0,)(01 xdttexxt其中伽玛函数其中伽玛函数)(x2分布的密度函数分布的密度函数单击可播单击可播放电影放电影2由由 分布的定义，不难得到：分布的定义，不难得到：),(2N相互独立相互独立, 都服从都服从nXXX,21那么那么)()(121222nXnii(1) 设设2 . 性质性质正态分布正态分布证明证明 由于由于2( ,)iXN (0,1),1,2, .iXNin所以所以又又 X1, X2

13、, , Xn 相互独立，相互独立，)(21221nnXX),(),(222121nXnX且且 X1,X2 相相这个性质叫这个性质叫 分布的可加性。分布的可加性。2(2) 设设互独立，那么互独立，那么也是相互独立的。也是相互独立的。12,nXXX由由2分布的定义可知的定义可知2222111() ( )nniiiiXXn那么可以求得，那么可以求得， E(X)=n, D(X)=2n E(X)=n, D(X)=2n(3) 假设假设)(2nX证明证明22212nXXXX(0,1)iXN22()()()1iiiE XD XEX，那么，那么2422()()()3 12iiiD XE XEX 所以所以22()

14、(),iEnE Xn22()()2iDnD Xn运用中心极限定理可得，运用中心极限定理可得， ，那么当，那么当n充分大时，充分大时，)(2nX假设假设nnX2的分布近似正态分布的分布近似正态分布N(0,1)。 (4) c 2 分布的分位点分布的分位点10,称满足条件称满足条件定义：对于给定的正数定义：对于给定的正数 _2P的点的点 为为 的上的上 分位点。分位点。2)(2n)(2n)(2n20.1(25)34.38252, 1 . 0n例：231231页查表页查表记为记为 T Tt (n)t (n)。nYXT 所服从的分布为自在度为所服从的分布为自在度为 n 的的 t 分布分布.1. 定义定义

15、: 设设XN(0,1) ,)(2nY那么称变那么称变量量, 且且X与与Y相互独立，相互独立，二二t 分布分布T 的密度函数为：的密度函数为：212)1 ()2(2) 1();(nnxnnnnxft 分布的密度函数关于分布的密度函数关于x = 0 对称对称当当 n 充分大时，其图形类似于规范正态分布密度充分大时，其图形类似于规范正态分布密度函数的图形。函数的图形。1具有自在度为具有自在度为n的的t分布的随机变量分布的随机变量T的的2t 分布的密度函数关于分布的密度函数关于x = 0 对称对称2. 性质性质E(T) = 0; D(T) = n / (n-2) , 对对n 2数学期望和方差为数学期望

16、和方差为:当当 n 充分大时，其图形类似于规范正态分布充分大时，其图形类似于规范正态分布密度函数的图形。页密度函数的图形。页但对于较小的但对于较小的 n，t 分布与分布与N (0,1) 分布相差分布相差很大。很大。 3t 分布的分位点分布的分位点10,称满足条件定义：对于给定的正数 _tP的点 为 分布的上 分位点。t)(nt)(nt性质：性质：)()(1ntnt例、10,05. 0n8125. 1)10(05. 0t10,95. 0n.8125. 1)10(59 . 0t)(nt)(nt)(1nt X, 01,Pz0.0052.57z0 x)(xz1z()1F zaa=-1- zz 0.95

17、0.995 1.645,2.57.zz 由于由于由图可知由图可知所以查表可得所以查表可得0.05 z故故那么称点那么称点z为规范正态分布的上为规范正态分布的上分位点。分位点。定义定义 设设(0,1)XN，假设，假设z满足条件满足条件1.64545 ,( )ntnz),(),(2212nYnX21nYnXF 1.定义定义: 设设X与与Y相互相互独立，那么称统计量独立，那么称统计量服从自在度为服从自在度为三三F 分布分布n1及及 n2 的的F分布分布，记作记作F F ( n1,n2)。即它的数学期望并不依赖于第一自在度即它的数学期望并不依赖于第一自在度n1.n1.(2) X的数学期望为的数学期望为

18、:2)(22nnXE假设假设 n2 2(1) 由定义可见，由定义可见，121nXnYF F(n2,n1)2. 性质性质22122122(224)()(2) (4)nnnD Xnnn假设假设 n2 4(3) F 分布的分位点分布的分位点对于给定的正数对于给定的正数,01称满足条件称满足条件12(,)P FFn n分位点分位点.分布的上分布的上的点的点12( ,)F n n12( ,)F n n112211( ,)(,)Fn nF n n为为12( ,)F n n112211( ,)(,)Fn nF n n证明证明: 设设12( ,)FF n n1121( ,)P FFn n由定义由定义11211

19、( ,)PFFn n112111( ,)PFFn n 11211( ,)PFFn n又由于又由于211/(,)FF n n211(,)PF n nF所以故故211121(,)( ,)F n nFn n 统计三大分布的定义、根本性质统计三大分布的定义、根本性质在后面的学习中经常用到，要牢在后面的学习中经常用到，要牢记！记！例例1 设总体设总体X , Y 相互独立相互独立22(0,3 ),(0,3 ),XNYN其样本为其样本为129129,X XXY YY和试求统计量试求统计量129222129()XXXYYY服从什么分布？服从什么分布？解解 由知得由知得129(0,81)XXXN129(0,1)

20、9XXXUN2222129(9)9YYYV所以所以129222129() (9)/9UXXXtVYYY例例2 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布2(0,2 )N，其样本为，其样本为221101215221115,.2()XXX XXYXX求的分布解解 由知得由知得(0,4)iXN所以所以22221210(10)4XXXU2222111215(5)4XXXV22110221115/10(10,5).2/5XXUYFXXV（）故故例例3 知总体知总体X 服从自在度为服从自在度为n 的的 t 分布，求证：分布，求证：2(1, ).XFn解解 由知得由知得 ( )/UXt nV nUV存在和使得

21、其中其中2(0,1),( )UNVn故故222(1),( )UVn所以所以222/1(1, )/UUXFnV nV n221/( ,1)/1V nF nXU还能得还能得1、单个正态总体的统计量的分布、单个正态总体的统计量的分布 定理定理 1设设 X1, X2 , , Xn 是取自正态总是取自正态总体体),(2 N的样本，的样本，2XS和分别为样本均值和样本方差，那么有分别为样本均值和样本方差，那么有22211() ( )niiXn222(1)(1)nSn2XS与相互独立相互独立三、正态总体统计量的分布三、正态总体统计量的分布定理定理2 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布212( ,),n

22、NX XX 是是X 的样本，的样本，2XS和分别为样本均值和样本方差，那么有分别为样本均值和样本方差，那么有(0,1)/XNn (1)/Xt nSn证明：证明： 由于由于11niiXXn是样本是样本12,nXXX的线性组的线性组合，故合，故2( ,/ )XNn ，规范化后可得，规范化后可得(0,1)/XNn2XS和又由于又由于相互独立，所以相互独立，所以22(1)/XnSn和也相互独立，那么由也相互独立，那么由t 分布的定义得分布的定义得22/(1)/1XnnSn (1)/Xt nSn2、两个正态总体的统计量的分布、两个正态总体的统计量的分布 定理定理 3设设 X1, X2 , , Xn1 与

23、与Y1, Y2 , , Yn2分别是分别是来自来自正态总体正态总体221122(,),(,)NN 的样本，并且这两个样的样本，并且这两个样本相互独立，记本相互独立，记1111niiXXn2121niiYYn1221111()1nkkSXXn2222121()1nkkSYYn那么有那么有2211122222/(1,1)/SF nnS1212()(0,1)11XYNnn 当当222122221122122212(1)(1)(2)nSnSnn时时121212() (2)11XYt nnSnn22112212(1)(1)2nSnSSnn其中其中例例4 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布(80,400)N，其样本为，其样本为12100,|80| 3.X XXPX 求解解 由知得由知得(80,4)XN，得，得80(0,1)2XN3803|80| 31222XPXP 所以322 ( )2 220.93320.1336例例5 设总体设总体X 服从正态分布服从正态分布2( ,)N ，其样本为，其样本为1217,0.95.XXXkP XkS求使得解解 由知得由知得 (16)/ 17XtS17 0.95/