内切球和外接球例题

1、高考数学中的内切球和外接球问题1x 1,2h 3正六棱柱的底面圆的半径1r2 ，球心到底面的距离d32.外接球的半径Rr2 d94 . 故其外接球一、直接法 （公式法 ）1、求正方体的外接球的有关问题例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 27 .例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ，则该球的体积为 . 4 3 .2、求长方体的外接球的有关问题例 3 （ 2007 年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个 顶点上的三条棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为.14 .例 4、（ 2006 年全国卷 I ）已知

2、各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为 16，则这个球的表面积为（） . C.A. 16 B. 20 C. 24 D. 323. 求多面体的外接球的有关问题例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的9 顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 ，底面周长为，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为 x ，高为 h ，则有6x 3,9 3 26x2h,844 V球1. 3二、构造法 （补形法 ）1、构造正方体例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是 . 9解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，

3、把这个三棱锥可以补成一个棱长为 3 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为 R，则有 2R 2 3 3 39.R2 的表面积 S 4 R2 9 .小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长2 2 2 就是该三棱锥的外接球的直径 .设其外接球的半径为 R ，则有 2R a2 b2 c2 . 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【例题】：在四面体 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方

4、体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为 的长即：所以 球的表面积为例 6. 一个四面体的所有棱长都为2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6 解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半 径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所 以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体 A BDE 满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE BE2 ，由此可求得正方体的棱长为 1，体对角线为 3 ，从而外接球的直径也为 3 ，所以此球的表面积便可求得，故选 A. 例 7在等腰梯形 ABCD 中，

5、AB=2DC=2 ， DAB=60 0， E为AB 的中点， 将 ADE 与 BEC分布沿 ED 、 EC向上折起，使 A、 B重合于点 P，则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（ ） .43A. 276B. 26C. 86D. 24解析： 因为 AE=EB=DC=1 ， DAB= CBE= DEA=60 0 ，所以AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1 ，即三棱锥 P-DCE 为正四面体，至此，这 与例 6 就完全相同了，故选 C.例 8 .已知球 O的面上四点 A、B、C、D， DA 平面ABC ，AB BC，DA=AB=BC= 3 ，则球 O的体积等于 .模型很快便可找到球的直径

6、，由于 DA 平面 ABC ，AB BC ，联想长方体 中的相应线段关系， 构造长方体， 又因为 DA=AB=BC= 3 ，则此长方体为正方 体，所以 CD长即为外接球的直径， 利用直角三角形解出 CD=3 .故球 O的体积等9于 2 .2、构造长方体例 9.已知点 A、B、C、D 在同一个球面上， AB 平面BCD ，BC DC ， 若 AB 6, AC=2 13,AD=8 ，则球的体积是 .解析：首先可联想到例 8，构造下面的长方体，于是 AD 为球的直径， O 为 球心， OB=OC=4为半径，要求 B、C 两点间的球面距离，只要求出BOC即可，在 Rt ABC中，求出 BC=4 ，所以

7、 BOC=60 0 ，故 B、C 两点间的球面距4离是 3 .三. 多面体几何性质法例 1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为 16，则这个球的表面积是A.16B.20 C. 24 D.322解 设正四棱柱的底面边长为 x ，外接球的半径为 R ，则有 4x2 16 ，解得解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体x2A. 12B. 9C. 6D. 324 R 24 .选 C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的解 设矩形对角线的交点为 O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD .点 O

8、到四面体的四个顶点 A、B、C、D 的距离相等，四. 寻求轴截面圆半径法例 11. 正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2 ，点R OA 5 即点 O为四面体的外接球的球心，外接球的半径2 .故S、A、B、C、D 都在同一球面上，则此球的体积为解 设正四棱锥的底面中心为 O1，外接球的球心为 O ，如图 1所示.由球的截面的性质，可得OO1 平面 ABCDCV球4 R3 1253 6.选 C.例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上， 且又 SO1 平面 ABCD ，球心 O必在 SO1 所在的直线上 . ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆， 外接圆的半径就是外接球的体积。半径 .在 ASC 中，由 SA SC 2，AC 2 ，得 SA2 SC2 AC2解：， ，, 求球 的且 ， ， ，ACASC是以 AC为斜边的 Rt . 21是外接圆的半径，也是外接球的半径, 因为所以知所以所以可得图形为：V球故3在 中斜边为,在中斜边为,取斜边的中点五 .确定球心位