ch不定积分的换元法PPT学习教案

1、会计学1ch不定积分的换元法不定积分的换元法2008年12月5日2第第3 3节节 两种基本积分法两种基本积分法3.1 3.1 换元积分法换元积分法3.2 3.2 分部积分法分部积分法3.3 3.3 初等函数的积分法初等函数的积分法第1页/共81页2008年12月5日3换元法则换元法则(II）换元法则换元法则(I)xxxfd)()(uufd)(设设, )()(ufuF)(xu可导可导,xxxfd)()(CxF)()( )duxf uu ( )( )uxF uC )(dxFxxxfd)()(则有则有3.1 3.1 换元积分法换元积分法第2页/共81页定理定理3.1 ( ),f u设设连连续续( )

2、,ux 有有连连续续的的导导数数则有换元则有换元公式公式 ( )( )dfxxx ( )df uu ( )ux ( ( )d ( )fxx (也称也称配元法配元法即即 ( )( )dfxxx , 凑微分法凑微分法)说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf第3页/共81页2008年12月5日5第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求xxxfd)()( )df uu )(xu第4页/共81页2008年12月5日6() d(0,1).maxbxam 解解: 令,bxau则,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1

3、111)() 1(1mbxamaC注注 当当1m时bxaxdCbxaaln1第5页/共81页2008年12月5日7bxaxdCbxaaln122d.xEXxa 1ln2xaCaxa 解解221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21ax lnax lnC22d1ln2xaxCaxaax 1ln2xaCaxa 第6页/共81页2008年12月5日822)(1d1axxa.d22xax解解:22dxax,axu 令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式想到公式21duuCu arctan)(

4、ax第7页/共81页2008年12月5日921:.825Exdxxx dxxx 25812dxx 9)4(12221d(4)(4)3xx .34arctan31Cx 解解.d22xaxCaxa)arctan(1第8页/共81页2008年12月5日10).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接配元直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax第9页/共81页2008年12月5日11以下是最基本且经常会遇到的结果以下是最基本且经常会遇到的结果:()( )dxexx ( )(d)xxe ()xeC ( )c

5、os ( )dxxx ( )( )cosdxx ( )sin ( )dxxx ( )( )sindxx ( )( )dxxx 2( )d( )xxx 2( )( )1dxx ( )d( )xxx ( )( )1dxx ( )( )dxx (sin)Cx ( )cosxC 2(2)1Cx ( )1Cx (ln)Cx 第10页/共81页2008年12月5日12例例4 4 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin1sin(22)2xdx 1cos22;Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin22(sinsi)ndxx ;sin2Cx 解解（三）（三） xdx2sin

6、 xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.第11页/共81页2008年12月5日13.dtanxx解解xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似类似第12页/共81页2008年12月5日14xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万万能能凑凑幂幂法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindx

7、xxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd第13页/共81页2008年12月5日15xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21第14页/共81页2008年12月5日16.d3xxex解解: 原式 =32dxex 32d33()xxe 323xeC例例7. 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan

8、24x5tan51x3tan32xtanC第15页/共81页2008年12月5日17.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一两法结果一样样第16页/共81页2008年12月5日18例例9 求求.dsecxx解法解法1 secdxx 2cosdcosxxx xx2sin1sind11sinln21sinxCx 22d1ln2xaxCaxaax xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec(secta

9、n )xx 2secsectandsectanxxxxxx d(sectan )xx ln sectanxxC同样可证同样可证Cxxcotcsclnxxdcsc(P196 例例 )第17页/共81页2008年12月5日191212. (1).xxedxx 11.2321dxxx 253. sincos.xxdx 4. cos3 cos2.xxdx 原式原式 dxxxxxxx 1232123212322111,xxx dxxdxx 12413241提示提示: )(sincossin42xxdx),cos()cos(21coscosBABABA 第18页/共81页2008年12月5日202. 换元

10、法则换元法则(II)-第二类换元法第二类换元法第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求xxxfd)()( )df uu )(xu若所求积分若所求积分xxxfd )()(易求易求,则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法 .难求，难求，( )df uu 第19页/共81页定理定理3.2 设设 CxF)()()()(ttft)(tx是单调可导函数是单调可导函数 , 且且( )0 ,t ( )( )ftt 具有原函数具有原函数 ,1( )( ).txxt 其其中中是是的的反反函函数数证证: ( )( )ftt 设设的的原原函函数数为为, )(t令令 )()(1xxF则则)(xFt

11、ddxtdd)()(ttf)(1t)(xf( )df xx Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf则有换元公式则有换元公式)(1)()()(xtdtttfdxxf 第20页/共81页2008年12月5日22例例10 求求. )0(d22axxa解解: 令令, ),(,sin22ttax则则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22第21页/共81页2008年12月5日23例例11 求求. )0(d

12、22aaxx解解: 令令, ),(,tan22ttax则则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C第22页/共81页2008年12月5日24例例12. 求求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令令, ),0(,sec2ttax则则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原原式式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC2

13、2ax axa第23页/共81页2008年12月5日25,xa 当时当时令令,ux,ua 则则于是于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln第24页/共81页2008年12月5日26说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sec

14、tax 第25页/共81页2008年12月5日27说明说明(2)被积函数含被积函数含有有22ax 时时, 除采用除采用1shch22tt采用双曲代换采用双曲代换taxsh消去根式消去根式 ,所得结果一致所得结果一致 . taxch或或22ax 或或三角代换外三角代换外, 还可利用公式还可利用公式第26页/共81页2008年12月5日28说明说明(3)(3) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例1313 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2

15、|ln1417Cxx 解解第27页/共81页2008年12月5日29例例1414 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dtttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu 第28页/共81页2008年12月5日30 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 第29页/共81页2008年12月5日31说明说明(4)(4) 当被积函数含有两种或两种以上的根当被积函数含有两种或两种以上的根式式 时，可采用令时，可采用令 （其（其中中 为各根指数

16、的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例1515 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 第30页/共81页2008年12月5日32两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换小结小结:第31页/共81页 说明说明： 1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (xbaxxfn令令nbxat,d),()2(xxfndxc

17、bxa令令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令令taxsin或或taxcos,d),()4(22xxaxf令令taxtan或或taxsh,d),()5(22xaxxf令令taxsec或或taxch(7) 分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时, 可试用可试用倒代换倒代换 ,d)()6(xafxxat 第32页/共81页2008年12月5日34（8 8）万能代换）万能代换令令tan2xt 2arctanxt （万能代换公式万能代换公式）22sin,1txt 221cos,1txt 221dxdtt 使用范围使用范围： 由三角函数和常数经过有限由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的

18、函数一般记为次四则运算构成的函数一般记为)cos,(sinxxR dxxxdxxxsin)cos2(1sin1sin如，如，第33页/共81页2008年12月5日35例例16 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解22sin,1txt 221cos1txt 22,1dxdtt 由万能代换公式由万能代换公式 dxxxxcossin1sin22(1)(1)tdutt 222211(1)(1)tttdutt 第34页/共81页2008年12月5日36222(1)(1)(1)(1)ttdttt 211tdut 11dtt arctant 21ln(1)2t ln|1| tC tan2xt

19、2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 第35页/共81页2008年12月5日372. 常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充;|cos|lntan)16( Cxxdx;|sin|lncot)17( Cxxdx;|tansec|lnsec)18( Cxxxdx;|cotcsc|lncsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 第36页/共81页2008年12月5日38;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .|ln1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 第

20、37页/共81页2008年12月5日39思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同下列各题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx第38页/共81页2008年12月5日403d112xx ；1sin2.d.3cosxxx 2. 练习练习第39页/共81页2008年12月5日411. .21d3xx解解: 令令,23xu则则,23 uxuuxd3d2原式原式u123uuduuud11)

21、1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC第40页/共81页2008年12月5日422.解解.dcos3sin1xxx原式原式 =2tanxu 前式令前式令xxdcos31xxxdcos3sin221131uuuud122uud2122arctan21u)cos3(dcos31xxxcos3ln ; 后式配元后式配元Cx cos3ln)2tan21arctan(21xCx cos3ln第41页/共81页2008年12月5日433.2 3.2 分部积分法分部积分法由导数公式由导数公式()uvu vuv 积分得积分得:dduvuvxuvx 分部积分

22、公式分部积分公式dduvxuvuvx 或或ddu vuvvu1) v 容易求得容易求得 ;2)dduvxuvx 比比容易计算容易计算 .(d ):uvv 选选取取 及及或或的的原原则则问题问题cos?xxdx 第42页/共81页2008年12月5日44例例1 1 求下列不定积分求下列不定积分(1)cos;xxdx 2(2).xx e dx 解（一）解（一） 令令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xx

23、d sin xdxxxsinsin.cossinCxxx 解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 降幂降幂法法第43页/共81页2008年12月5日45注意：注意：降幂法降幂法适合应用于如下积分类型适合应用于如下积分类型( )cos;( )sin;( ).axnnnP xaxdxP xaxdxP x e dx ( )nP x为一为一n次多项式次多项式:( );nuP x : cosxdvaxd (sin,)axaxdx e dx或或第44页/共81页2008年12月5日

24、46例例2 2 求下列不定积分求下列不定积分(1)arctan;xxdx 3(2)ln.xxdx 解解令令,arctanxu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 第45页/共81页2008年12月5日473(2)ln.xxdx 解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 升幂升幂法法注意：注意：升幂法升幂法适合应用于如下积分类型适合应用于

25、如下积分类型( )ln;( )arctan;( )arcsin;( )arccos.nnnnP xxdxP xxdxP xxdxP xxdx( )nP x为一为一n次多项式次多项式:( )nPdxxvd 第46页/共81页2008年12月5日48例例3 3 求下列不定积分求下列不定积分(1)sin;xexdx (2)sin(ln ).x dx 解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2C

26、xxex 循环循环法法第47页/共81页2008年12月5日49(2)sin(ln ).x dx 解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 第48页/共81页2008年12月5日50EXEX 求下列不定积分求下列不定积分3(2)sec.xdx 22(1);xa dx 2222222(1)xxa dxxxadxxa 22222221xxaadxxa d

27、xxa 2222222ln()22xxaaxa dxxxaC 第49页/共81页2008年12月5日513(2)secsectanxdxxdx 23tansecsec (sec1)tansecsecsecxxxxdxxxxdxxdx 22tansecsectantansecsec (sec1)xxxxdxxxxxdx 3tansec1secln sectan22xxxdxxxC 第50页/共81页2008年12月5日52注意：注意：循环法循环法适合应用于如下积分类型适合应用于如下积分类型522sin;cos;sec;.axaxbx e dxbx e dxxdxxa dx 等等第51页/共81页

28、2008年12月5日53例例4 4 求下列不定积分求下列不定积分nN (1)cos;(2)sin.nnxdxxdx 解解,cos)(sincoscoscos11xxxxxnnn xdxxnxxxdxnnn221sincos)1(cossincos dxxxnxxnn)cos1(cos)1(cossin221 xdxnxdxnxxnnncos)1(cos)1(cossin21 xdxnnxxnxdxnnn21cos1cossin1cos递推递推法法1211sin cosnnnnIxxInn :cosnnIxdx 第52页/共81页2008年12月5日54.,sincos 是是确确定定的的而而Cx

29、dxCxxdx 类似可求得：类似可求得：.sin1sincos1sin21 xdxnnxxnxdxnnn第53页/共81页2008年12月5日55解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf2( ),xf x dxeC 两边同时对两边同时对 求导求导, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 第54页/共81页2008年12月5日56内容小结内容小结 分部积分公式分部积分公式dduvxuvu vx1. 使用原则使用原则 :xvuvd易求出易求出,易积分易积分2. 使用经验使用经验 : “反对幂指三反对幂指三” , 前前 u 后

30、后v3. 题目类型题目类型 :分部化简分部化简 ;循环法循环法; 递推法递推法降幂法降幂法; 升幂法升幂法;第55页/共81页2008年12月5日57第第3 3节节 两种基本积分法两种基本积分法( (续）续）3.1(3.1(续）续） 定积分定积分换元积分法换元积分法（续）（续） 定积分定积分分部积分法分部积分法不定积分不定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法第56页/共81页2008年12月5日58定理定理3.33.3 设函数设函数( )( )f xC I ，作代换作代换( )xt 满足满足: :3)1( ),tC ( ),( )ab

31、 ；则则（或，）；（或，）；1)dtttfdxxfba )()()(（续）（续） 定积分换元积分法定积分换元积分法第57页/共81页2008年12月5日59证明证明设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数.a )( 、b )( ,)()( FF ( )( )F bF a 第58页/共81页2008年12月5日60应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）(3) (3) 换元公式也可

32、反过来使用换元公式也可反过来使用 , , 即即( ) )xt 令令( )dbaf xx 或配元或配元f)(t)(dttfd( ) t ( ) t tfd)(t( ) t 配元不换限配元不换限第59页/共81页2008年12月5日61例例1 1 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52 x.54 换元换元要换限要换限 凑元凑元不换限不换限

33、第60页/共81页2008年12月5日62例例2 计算计算220d(0).aaxxa 解解 令令sin ,xat 则则dcosd,xatt 0,0 ;xt 当当时时2,.xat 时时 原式原式 =2a220(1cos2) d2att 21(sin2)22att20 24a 202cosdtt22xayxoyaS且且第61页/共81页2008年12月5日63例例3 3 计算计算402d.21xxx 解解 令令21 ,tx则则21, dd,2txxtt 0,x 当当时时4,x 时时3 .t 原式原式 =213212dtttt 3211(3)d2tt 311(3)23tt31223 ; 1t且且 第

34、62页/共81页2008年12月5日64证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf第63页/共81页2008年12月5日650( )af x dx 0)(adttf0(,)aft dt )(xf为偶函数，则为偶函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为奇函数，则为奇函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 第64页/共81页2008年12月5日66证证（1）设设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t第65页

35、/共81页2008年12月5日67 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）设设tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft第66页/共81页2008年12月5日68 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(

36、sindxxxf第67页/共81页2008年12月5日69例例6 6 若若f( (x) )是以是以T T为周期的连续函数，对任意的为周期的连续函数，对任意的a有有20200( )( );( )( ).TTTnTTf x dxf x dxf x dxnf x dx 由此得，由此得，0( )( )a TTaf x dxf x dx 第68页/共81页2008年12月5日703.2(3.2(续续) ) 定积分的分部积分法定积分的分部积分法定理定理 1( ) ,( ), ,u xv xC ab 设设则则证证明明 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x (

37、) ( )u x v xba( ) ( )d( ) ( )dbbaau x v xxu x v xx ( ) ( )dbau x v xx ( ) ( )u x v x ba( )( )dbau xv xx , a b两端在上积分两端在上积分 bababadxuvuvdxvu bbbaaaudvuvvdu 或或第69页/共81页2008年12月5日71例例1 1 计算计算120arcsind.xx 解解原式原式 =arcsinxx1202102d1xxx 12 11222201(1) d(1)2xx 12 122(1)x12012 32 1第70页/共81页2008年12月5日72例例2 2

38、证明证明20sindnnIxx 20cosdnxx 13312422,nnnn n 为偶数为偶数1342253,nnnn n 为奇数为奇数证证,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cos xv dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI第71页/共81页2008年12月5日732220(1)sincdosnnInxxx 22021si(1)snin() dnxxxn 2(1)nnI (1)nnI由此得递推公式由此得递推公式12nnnnII 于是于是2mI 212mm 21mI 221mm 而而0I 20d x 2, 20sindnnIxx 201dsinxxI1故所证结论成立故所证结论成立 .0I1I22mI2322mm 42mI 3142 12mI2221mm 32mI4253 第72页/共81页2008年12月5日74例例