信号分析与处理第2章

1、1 1 1第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析2.1 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析 2.1.1 基本连续时间信号基本连续时间信号 2.1.2 连续时间信号的冲激表示连续时间信号的冲激表示2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析 2.2.1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数 2.2.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱2.3 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换 2.3.1 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换 2.3.2 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 2.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质2.4 周

2、期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换2.5 连续信号的拉普拉斯变换连续信号的拉普拉斯变换 2.5.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 2.5.2 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换第二章第二章 连续时间信号的分析连续时间信号的分析2 2 2第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析 时域分析时域分析 以以冲激函数冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。这里用于系统分析的独立变量是。这里用于系统分析的独立变量是时间。时间。 频域分析频域分析 本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号

3、虚指数信号ejt为基本信号，任意输入为基本信号，任意输入信号可分解为一系列信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是里用于系统分析的独立变量是频率频率。3 3 3第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析2.1 2.1 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析2.1.1 基本连续时间信号基本连续时间信号一、单位斜变信号一、单位斜变信号数学描述：数学描述：0 0( ) 0tr ttt4 4 4第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析二、单位阶跃信号二、单位阶跃信号突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源（

4、1）阶跃信号的物理背景（开关作用）阶跃信号的物理背景（开关作用）阶跃信号与冲激信号是两种最基本的理想信号模型。阶跃信号与冲激信号是两种最基本的理想信号模型。阶跃信号和冲激信号在信号分析与处理中占有重要地位。阶跃信号和冲激信号在信号分析与处理中占有重要地位。2.1.1 基本连续时间信号基本连续时间信号5 5 5第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析00 10)(ttt000 10)(tttttt（2）阶跃信号的数学描述）阶跃信号的数学描述延延迟时间的阶跃函数延延迟时间的阶跃函数 单位阶跃函数单位阶跃函数（3）阶跃信号的单边特性）阶跃信号的单边特性对函数对函数 t0 部分的截取部分的截取

5、( ) ( 0)( ) ( )0 ( 0实数实数jjtXtjtjt1e1dee)(0)(0 221argarctanXaXa 353535第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析2. 矩形脉冲信号矩形脉冲信号 （门函数）（门函数） 22x tEtt 22222sinSa22j tj tj tEXx t edtEedtejEE2.3.2 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱363636第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析3. 符号函数符号函数 1,0sgn1 ,0tx ttt 00,e0,e)(1tttxtt)(lim)sgn(10txt2211211)()(jjjXtxjj

6、Xt22lim)(lim)sgn(220102.3.2 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱373737第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析4. 单位冲激信号单位冲激信号 0( )( )1j tjXt edte 5. 直流信号直流信号 ( ( ) )的反变换定义式，有的反变换定义式，有111 ( )( )ed22j tF 因此因此1( )2F 1 1的傅里叶变换的傅里叶变换12( )F 2.3.2 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱12的傅里叶变换的傅里叶变换383838第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析6. 单位阶跃信号单位阶跃信号jtt1)()sgn(212

7、1)( 7. 双边指数信号双边指数信号 x(t) = et , 0 2200211deedee)(jjttXtjttjt2.3.2 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱393939第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析2.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质1. 线性线性(Linear Property) 1 1221122F a x ta xta Xa X 11F x tX 22F xtX若若，则对于任意常数则对于任意常数a1和和a2，有，有 证明证明: F a1 x1(t) + a2 x2(t)ttxatxatjde)()(2211ttxattxtjtjde)(de)(a2

8、211= a1 X1() + a2 X2() 404040第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析2. 对偶性对偶性(Symmetrical Property)若若 x (t) X() 则则证明证明:de)(21)(tjXtx（1）in (1) t ，t thenttXxtjde)(21)( （2）in (2) - - thenttXxtjde)(21)( X(t) 2x () endX( t ) 2x ()2.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质414141第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析3. 尺度变换性质尺度变换性质(Scaling Transform Proper

9、ty)若若 x (t) X() 则则 其中其中 “a” 为不等于零的实常数。为不等于零的实常数。证明：证明：F x (a t ) =teatxtjd)(For a 0F x (a t ) d1e)(axajataXa1for a 0F x (a t ) de)(1d1e)(ajajatxaaxaXa1That is ,如果如果 a = - -1,有有x (- t ) X( - -) aXaatx|1)(aXaatx|1)(2.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质424242第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析 尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频尺度变换性质表明，时域

10、信号的压缩与扩展，对应于频域频谱函数的扩展与压缩。域频谱函数的扩展与压缩。 若要压缩若要压缩信号持续信号持续时间，提时间，提高通信速高通信速率，则不率，则不得不以展得不以展宽频带作宽频带作代价代价例如例如2.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质434343第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析若若 x (t) X() 则则其中其中“t0” 为实常数。为实常数。)(e)(00Xttxtj证明：证明： F x (t t0 ) tttxtjde)(000ede)(tjjttx)(e0Xtj4. 时移性质时移性质(Timeshifting Property) 时移性质表明，信号在时间轴上的

11、移位，其频谱时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移 。0t2.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质444444第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析若若 x (t) X() 则则证明：证明：其中其中 “0” 为实常数。为实常数。(调制特性）调制特性）F e j0t x(t)ttxtjtjde)(e0ttxtjde)()(0= X(- -0)(e)(00txXtj5. 频移性质频移性质(Frequency Shifting Property)频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上频移性质表明，若要使

12、一个信号的频谱在频率轴上右移右移 单位，在时域就对应于其时间信号单位，在时域就对应于其时间信号x(t)乘以乘以 。 00jet2.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质454545第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析例例1已知已知 x(t) X() 求求 x(t) cos0t ? 解解: 0000011FcosF2212jtjtx ttx t ex t eXX 2.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质464646第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析6. 时域微分时域微分(Differentiation in time domain)()()()(jXjtxnn证明：证

13、明：( )F( )dx tj Xdt F x tX若若 则则 1( )( )2j tx tXed( )1( )2j tdx tj Xeddt两边对两边对t求导，得求导，得 所以所以 ( )F()dx tjXdt2.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质474747第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析7. 卷积定理卷积定理(Convolution Property)时域卷积（时域卷积（Convolution in time domain）：）：If x1(t) X1()， x2(t) X2()Then x1(t)*x2(t) X1()X2()频域卷积（频域卷积（Convolution

14、 in frequency domain）：）：If x1(t) X1()， x2(t) X2()Then x1(t) x2(t) X1()*X2()212.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质484848第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析证明：证明：d)()()(*)(2121txxtxtx F x1(t)*x2(t) =dde)()(ded)()(2121ttxxttxxtjtj利用时移性质，利用时移性质，jtjXttxe)(de)(22所以所以 F x1(t)*x2(t) =de)()(de)()(1221jjxXXx= X1()X2()2.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶

15、变换的性质494949第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析例例 22.3.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质1(2)242( )( )()( )()22x txtttt2212( )(2)jjXee248cos() 1sin ()24 221228sin ()14( )( )()()24XXSaj 505050第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析2.4 2.4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换一一. 正、余弦信号的傅里叶变换正、余弦信号的傅里叶变换 12()由频移特性得由频移特性得 e j 0 t 2( 0 ) e j 0 t 2(+0 )cos(0t)=(e j

16、 0 t + e j 0 t) ( 0 ) +(+0 )sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )515151第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析二二. 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换(1)周期信号的傅里叶级数与一个周期傅里叶变换关系周期信号的傅里叶级数与一个周期傅里叶变换关系傅里叶系数（频谱）傅里叶系数（频谱）Xk与与X0()的关系的关系x(t)中一个周期的傅里叶变换中一个周期的傅里叶变换周期信号的频谱非周期信号的频谱密度ktjkkTXtx0e)(22de)(10TTtjkTkttxTXXk是对是对X0()以以0为

17、间隔离散化的结果。为间隔离散化的结果。 000011kkXXXkTT220022( )( )ed( )edTTj tj tTTTXx ttx tt2.4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换x(t) 的傅里叶级数的傅里叶级数525252第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析(2)周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 1）周期信号的傅里叶变换是由冲激函数组成的冲激串。周期信号的傅里叶变换是由冲激函数组成的冲激串。特点特点：冲激串的频率间隔为冲激串的频率间隔为0=2/T ，冲激位于周期信，冲激位于周期信 号的谐频处，冲激强度为号的谐频处，冲激强度为Xk的的2倍。倍。Xk易求时X0(

18、k0)易求时ktjkkTXtx0e)(22de)(10TTtjkTkttxTXFF)(00tjkkktjkkkTeXeXX02()kkXk 0002( )() ()TkXXkkT 0000() ()kXkk 2.4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换535353第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析例例1：周期为：周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T(t)= mmTt)(TdtetxTXTTtjkk1)(1220解解： 冲激周期函数的傅里叶系数冲激周期函数的傅里叶系数O TTt( )Tt(1)0002( )()()kkPkkT 2.4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅

19、里叶变换545454第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析例例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。：周期信号如图，求其傅里叶变换。解解：周期信号：周期信号x(t)也可看作一时限非周期信号也可看作一时限非周期信号x0(t)的周期拓展。的周期拓展。0001( )()2kkkAXXSaTT 周期信号傅里叶级数的系数周期信号傅里叶级数的系数0( )Sa()2XA0000( )() ()kXXkk 00Sa() ()2kAk 2.4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换555555第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析2.5 2.5 连续信号的拉普拉斯变换连续信号的拉普拉斯变换2.5.

20、1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难，有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难， e2t(t） 。为此，可用一衰减因子为此，可用一衰减因子e- t( 为实常数）乘信号为实常数）乘信号x(t) ，适当选取，适当选取 的值，使乘积信号的值，使乘积信号x(t) e- t 当当 t时信号幅度趋近于时信号幅度趋近于0 ，从而使，从而使x(t) e- t的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。 Fjtttj tex tx t eedtx t edt )(jX相应的傅里叶逆变换为相应的傅里叶逆变换

21、为 12tj tex tXjed565656第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析 12jtx tXjed 令复变量令复变量 s = + j , d =ds/j，有，有 stX sx t edt 12jstjx tX s e dsj 双边拉氏变换（象函数）拉氏逆变换（原函数）说明：说明：X(s)=Lx(t) 象函数，自然界中不存在，复函数，无法直接象函数，自然界中不存在，复函数，无法直接测量；测量；x(t)=L-1X(s) 原函数，实际存在，原函数，实际存在，实函数，实函数， 可以感觉和测量。可以感觉和测量。 2.5.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义一、从傅里叶变换到拉普拉斯变

22、换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换575757第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析关键在于这个衰减因子关键在于这个衰减因子e -t 的引入，满足更多信号。的引入，满足更多信号。只能只能描述振荡频率，而描述振荡频率，而s不仅能给出重复频率，还可表示振荡幅度的不仅能给出重复频率，还可表示振荡幅度的增长速率或衰减速率。增长速率或衰减速率。把把x(t)变到变到s域的目的：方便计算微分方程变为代数方程，域的目的：方便计算微分方程变为代数方程，卷积变成相乘。卷积变成相乘。2.5.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义585858第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析二、二、单边拉氏变换单

23、边拉氏变换 因为本书仅研究线性时不变且为因果系统，故仅讨论单因为本书仅研究线性时不变且为因果系统，故仅讨论单边拉氏变换。边拉氏变换。 1.定义：实际信号定义：实际信号x(t)都有起始时刻，一般认为起始时刻为都有起始时刻，一般认为起始时刻为0时刻，时刻，t 0时时收敛域收敛域收敛边界收敛边界即单边拉氏变换的即单边拉氏变换的ROC为：为：Res= 02.5.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义606060第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析(1) (t) 1， -(2) (t)或或1 1/s ， 01d)(de )()(00ttttsXst利用利用0_系统，可以计及信号在系统，可以计

24、及信号在 t=0 时发生的冲激。时发生的冲激。全全 s 域内均存在拉氏变换。域内均存在拉氏变换。注意注意：阶跃信号只在：阶跃信号只在 的区域内存在拉的区域内存在拉 氏变换，氏变换， 是区域边界。是区域边界。 是是 的极点实部。的极点实部。000 sX当当s 的实部的实部 时，时， ，故，故 00etstssX1)(0001)()(stststesdtedtetsX3 3、常见信号的拉氏变换、常见信号的拉氏变换2.5.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义616161第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析00()000e( )eed()s sts tstF stss0Re()0ss时，

25、有时，有001es tss注意：注意：指数信号只在指数信号只在 的区域内存在拉氏的区域内存在拉氏变换，变换， 是区域边界。是区域边界。0 0 cos 0t = (ej 0t+ e e-j-j 0t )/2 202sssin 0t = (ej 0t e e-j-j 0t )/2j 2020s(3) 指数函数指数函数e-s0t 01ss -Res0= 02.5.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义626262第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析4 4、拉氏变换的性质、拉氏变换的性质1 122( )( )a x ta x t1122( )( )a X sa Xs00() ()x ttt

26、t0( )steX s0( )s tx t e0()X ss()x at1( )sXaa( )dx tdt( )(0 )sX sx( )tx t( )dX sds( )txd( 1)(0 )( )xX sss( )x tt( )sX s ds12( )( )x tx t12( )( )X s Xs 线性线性时移时移频移频移尺度变换尺度变换t 域微分域微分s 域微分域微分t 域积分域积分s 域积分域积分t 域卷积域卷积2.5.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义636363第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析 102jstjx tX s e dstj 2.5.2 拉普拉斯逆变换拉普

27、拉斯逆变换1 1、基本思想、基本思想 根据线性性质，把象函数分解为基本单元的组合，根据线性性质，把象函数分解为基本单元的组合，再求取拉普拉斯逆变换。再求取拉普拉斯逆变换。 直接求取相当困难！直接求取相当困难！)()()()(321sXsXsXsX)()()()(321txtxtxtx2.5 2.5 连续信号的拉普拉斯变换连续信号的拉普拉斯变换646464第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析NNNMMMasasabsbsbsDsNsX110110)()()(MN 0)(sD的根称为的根称为X(s)的的极点极点，用，用 表示表示 Nppp,210)(sN的根称为的根称为X(s)的的零点零

28、点，用，用 表示表示 Mzzz,21) j1)(j1()2)(3()(ssssssX例如：例如：12j1-j1-1-2-3ooj2 2、零极点、零极点2.5.2 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换656565第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析若象函数若象函数X(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可写为 若若MN （假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数X(s)分解为有分解为有理多项式理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。 )()()()(0sDsNsPsF6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssX

29、由于由于L-11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变的拉普拉斯逆变换由换由冲激函数冲激函数构成。构成。3 3、部分分式展开法、部分分式展开法NNNMMMasasabsbsbsDsNsX110110)()()(2.5.2 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换666666第第2章连续时间信号的分析章连续时间信号的分析NNpskpskpsksX2211)(1) 单极点单极点 互不相等互不相等Nppp,21ipsiisXpsk)()()()eee()(2121tkkktxtpNtptpN下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。 D(s)称为称为X(s)的的特征多项式特征多项式，方程，方程D(s)=0称为称为特征方程特征方程，它，它的根称为的根称为特征根特征根，也称为，也称为X(s)的的固有频率固有频率（或自然频率）。（或自然频率）。3