专题二动力学临界极值问题

1、专题二：动力学中的临界极值问题1当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所 对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件.用变化 的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条 件是求解此类问题的关键.2. 临界或极值条件的标志(1) 有些题目中有 刚好” 恰好” 正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界 占；J 、(2) 若题目中有 取值范围” 多长时间” 多大距离”等词语，表明题述的过程存在 着起止点”而这些起止点往往就是临界状态；(3) 若题目中有 最大” 最小” 至多” 至少”等字眼，表明题述的过程存在着极 值，这

2、个极值点往往是临界点；(4) 若题目要求 最终加速度” 稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度.3. 动力学中的典型临界条件(1) 接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力Fn = 0.(2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力， 则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：Ft = 0.(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a= 0时.例 1如图所示，质量为m= 1kg的物块放在倾角

3、为0= 37°勺斜面体上，斜面体质量F的为M = 2kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为卩=，地面光滑，现对 斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力取值范围.(sin37 °, cos37=, g= 10m/s2)例 2如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为 mA= 6kg, mB = 2kg, A、B之间的动摩擦因数 尸，开始时F = 10N,此后逐渐增加， 在增大到45N的过程中，则( )A .当拉力FV12N时，物体均保持静止状态一二_A FB .两物体开始没有相对运动，当拉力超过12N时，开始相对运动為工”C .两物体从

4、受力开始就有相对运动D.两物体始终没有相对运动质疑与反思:(1) 、若 mA=2Kg，mB=6Kg，则:(2) 、若F作用于B物体，贝卩： 变式训练1】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为 m、2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为Ft.现用水平拉力F拉质量为3m的木块,的是()A .质量为2m的木块受到四个力的作用B .当F逐渐增大到Ft时，轻绳刚好被拉断C .当F逐渐增大到时，轻绳还不会被拉断D.当轻绳刚要被拉断时，质量为 m和2m的木块间的摩擦力为Ft变式训练2如图所示，水平桌面光滑，A、B物体间的动摩擦因数为 山可认为最大静摩擦

5、力等于滑动摩擦力),A物体质量为2m, B和C物体的质量均为m,滑轮光滑,砝码盘中可以任意加减砝码.在保持 A、B、况下，BC间绳子所能达到的最大拉力是(a mg变式训练3光滑水平面上并排放置质量分别为mi = 2kg、m2= 1kg 的两物块，t = 0 时刻同时施加两个力，其中刻为()Fi = 2N、F2 = (4 2t)N，方向如图所示则两物块分离的时A. 1s B.C. 2s D .【变式训练4 弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m1 =4kg的物块P，Q为一重物，已知Q的质量为m2 = 8kg，弹簧的质量不计，劲度系数 k =600N/m，系统处于

6、静止，如图所示.现给 Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它 从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前时间内，F为变力，以后，F为恒力，求：力F的最大值与最小值.(sin37 °=，g = 10m/ s2)1.当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所 对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件.用变化 的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条 件是求解此类问题的关键.2 .临界或极值条件的标志(1) 有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存 在着临界点；(2) 若题目中有“取值

7、范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的 过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；(3) 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过 程存在着极值，这个极值点往往是临界点；(4) 若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾 速度.3 .动力学中的典型临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力Fn =0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦 力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.(3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断

8、与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：Ft = 0.(4) 加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a = 0时.例 1如图所示，质量为m= 1kg的物块放在倾角为0= 37°勺斜面体上，斜面体质量 为M = 2kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为 卩=，地面光滑，现对 斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围.(sin37°, cos37=, g= 10m/s2).就审题指导 此题有两个临界条件：当推力 F较小时，物块有相对斜面向下运动的可 能性，此时物块受到的摩擦力沿斜面向上；当推力 F较大时，物

9、块有相对斜面向上 运动的可能性，此时物块受到的摩擦力沿斜面向下.找准临界状态是求解此题的关键.分析如图所示，取加速度的方向为 x轴正方向.解析(1)设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为厂 此时物块受力对物块，水平方向有 FNSin 0 uFncosB= mai竖直方向有 FnCOS0 +uFNsin 0 mg = 0对 M、m 整体有 Fi = (M + m)ai代入数值得：ai =s2, Fi =(2)设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2，一对物块受力分析如图，在水平方向有z、Fn ' sin 0+' cos 0= ma2竖直方向有 Fn '

10、cos0 Fn f sin 0 mg= 0'' *对整体有F2= (M + m)a2 代入数值得a2= s2, F2=综上所述可知推力F的取值范围为：< F <答案 < F <例 2如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为 mA= 6kg, mB = 2kg, A、B之间的动摩擦因数 尸，开始时F = 10N,此后逐渐增加， 在增大到45N的过程中，则()A .当拉力FV12N时，物体均保持静止状态；一A FB .两物体开始没有相对运动，当拉力超过12N时，开始相对运动戛工”C .两物体从受力开始就有相对运动D.两物体始终没有

11、相对运动答案 D解析 当A、B间的静摩擦力达到最大静摩擦力，即滑动摩擦力时，A、B才会发生相对运动.此时对 B 有：Ffmax = rnAg = 12N,而 Ffmax = mBa, a= 6m/s2，即二者开 始相对运动时的加速度为 6m/ s2，此时对A、B整体：F = (mA+ mB)a = 48N，即 F>48N时，A、B才会开始相对运动，故选项 A、B、C错误，D正确.质疑与反思：(1)、若mA=2Kg , mB=6Kg，贝卩：(2)、若F作用于B物体，贝心变式训练1】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一不可伸长的轻绳相

12、连，轻绳能承受的最大拉力为Ft.现用水平拉力F拉质量为3m的是()的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确A .质量为2m的木块受到四个力的作用B .当F逐渐增大到Ft时，轻绳刚好被拉断C .当F逐渐增大到时，轻绳还不会被拉断D.当轻绳刚要被拉断时，质量为 m和2m的木块间的摩擦力为Ft答案 C解析 质量为2m的木块受重力、地面的支持力、轻绳的拉力、木块 m的压力和摩 擦力五个力作用，选项 A错误；当轻绳达到最大拉力 Ft时，对m和2m整体，Ft =3ma，再对三个木块整体，F = (m + 2m + 3m)a，得到F = 2Ft，选项B错误，C正 确；对木块m,由Ff = ma,得

13、到Ff= Ft，选项D错误.变式训练2如图所示，水平桌面光滑，A、B物体间的动摩擦因数为 山可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力),A物体质量为2m, B和C物体的质量均为m,滑轮光滑,砝码盘中可以任意加减砝码.在保持 A、B、况下，BC间绳子所能达到的最大拉力是(a mgC. 2卩 mgD. 3卩 mg答案 B解析 因桌面光滑，当A、B、C三者共同的加速度最大时，Fbc = mca才能最大.这时，A、B间的相互作用力Fab应是最大静摩擦力2卩mg对BC整体来讲：Fab = 2 mg= (mB + mc)a = 2ma, a= g 所以 Fbc = mca= mg 选项 B 正确.变式训练3】光滑

14、水平面上并排放置质量分别为mi = 2kg、m2= 1kg的两物块，t = 0时刻同时施加两个力，其中 Fi = 2N、F2 = (4- 2t)N，方向如图所示-賈两物块分离的时 扌刻为()777777777777777777777777A. 1s B.C. 2s D.答案 D解析 两物块未分离时，设 m1与m2之间的作用力为F，对m仁F F1= m1a;对 m2: F2 F = m2a.两个物块分离时，F = 0,即有：一 F1 = ma, F2= m2a.代入数据得 t =，选项D正确.【变式训练4 弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为 m1 = 4kg的物块P, Q为一重物，已知Q的质量为m2 = 8kg，弹簧的质量不计，劲度系数 k =600N/m，系统处于静止，如图所示.现给 Q施加一个方向沿斜面向上的力F,使它 从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前时间内，F为变力，以后，F为恒力，求：力F的最大值与最小值.(sin37 =, g = 10m/ s2)解析 从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力为0从运动学角度看，一起运动的两物体恰好分离P对Q的作用力为0,