2017年江苏省高考数学试卷(含答案解析)

1、2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1. . （5分）已知集合A=1,2 , B=a, a2+3.若AH B=1，则实数a的值为2. （5分）已知复数z= （1+i） （1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是3. （5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400, 300, 100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品 中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4. （5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为工，则输出y的值是 访（开始一/ /（结束）5. （5分）若 tan （a ）二.贝U tan a二 . 466. （5分）

2、如图，在圆柱 OQ内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均 相切，记圆柱OO的体积为V1,球。的体积为 V 则上的值是.第1页（共34页）7. （5分）记函数f （x）=加+：.J定义域为D.在区间-4, 5上随机取一个数x,则xC D的概率是.8. （5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线Y_-y2=1的右准线与它的两条渐3近线分别交于点P, Q其焦点是Fi, F2,则四边形FiPF2Q的面积是.9. （5分）等比数列an的各项均为实数，其前n项为&,已知&4，&q， 贝 U a8=.10. （5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次,

3、 一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是.11. （5分）已知函数f （x） =x3-2x+ex-L,其中e是自然对数的底数.若f K： e（a-1） +f （2a2） <0,则实数a的取值范围是.12. （5分）如图，在同一个平面内，向量 五J,血，充 的模分别为1, 1,鱼，豆与丘的夹角为 a,且tan a =7,85与瓦的夹角为45° .若西=m£+而欣（m, nC R),贝U m+n=13. （5分）在平面直角坐标系xOy中，A （ - 12, 0）, B （0, 6）,点P在圆。 x2+y2=50上.若钝,而0 20

4、,则点P的横坐标的取值范围是 .14. （5分）设f （x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1）上，f （x）2 二='''口，其中集合D=x|x=q，nCN*,则方程f （x） - lgx=0的解的个 Ki K 如n数是二.解答题15. （14分）如图，在三棱锥 A- BCDt, AB±AD, BdBD,平面ABDL平面BCD 点E、F （E与A、D不重合）分别在棱 AD, BD上，且EF± AD.求证：(1) EF/平面ABC(2) ADI AC.16. (14分)已知向量=a= (cosx, sinx ), b= (3,近)，x C 0

5、 ,兀.(1)若W/E,求x的值；(2)记f (x)三*b,求f (x)的最大值和最小值以及对应的 x的化17. (14分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆E： £区=1 (a>b>0)/b2的左、右焦点分别为Fi, F2,离心率为二，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点Fi作直线PFi的垂线l 1,过点F2作直线PE的垂线12(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线11, 12的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.F； 0凡第3页(共34页)18. （16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器H的高均为32cm,容器I的底面对

6、角线 AC的长为10斤cm,容器II的两底面对角 线EG EG的长分别为14cm?口 62cm分别在容器I和容器R中注入水，水深均 为12cm现有一1g玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不 计）（1）将l放在容器I中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC上，求l没 入水中部分的长度；（2）将l放在容器R中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG上，求l没 入水中部分的长度.管署I杏器II第5页（共34页）19. (16分)对于给定的正整数k,若数列an满足：an-k+ank+i+a-i+a+i+-+an+k .i+an+k=2ka对任意正整数n (n>k)总成立

7、，则称数列an是“P (k)数列”.(1)证明：等差数列an是“P (3)数列”；(2)若数列an既是“P (2)数列”，又是“ P (3)数列”，证明：an是等差 数列.20. (16分)已知函数f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>0, bCR)有极值，且导函数f'(x)的极值点是f (x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b2> 3a；(3)若f(x),f' (x)这两个函数的所有极值之和不小于- 一，求a的取值范围.二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1:几何证明选讲

8、】（本小题满分0分）21. 如图，AB为半圆。的直径，直线PC切半圆。于点C, API PC, P为垂足.求证：（1） /PACW CAB（2） AC=AP?AB.选彳4-2 :矩阵与变换22.已知矩阵 A=。1, B=1。.11 010 2（1）求 AB；22（2）若曲线C:三+好=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线 G,求G的方程.选彳4-4 :坐标系与参数方程<x=-8+*t23 .在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为t 。为参数），ri曲线C的参数方程为 卜二2 J （s为参数）.设P为曲线C上的动点，求点P到 y=2V2s直线l的距离的最小值.第7页（共34页

9、）选修4-5 :不等式选讲24 .已知 a, b, c, d 为实数，且 a2+b2=4, c2+d2=16,证明 ac+bd<8.【必做题】25 .如图，在平行六面体 ABCD ABGD中，AAL平面 ABCD且AB=AD=2AA点 , /BAD=120 .(1)求异面直线AiB与AC所成角的余弦值;(2)求二面角B-AiD- A的正弦值.DiB：DB26 .已知一个口袋有m个白球，n个黑球(m, nCN*, n>2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2, 3, m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1, 2,

10、3,，m+r).123 m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E (X)是X的数学期望，证明E (X) <-3_2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1. (5 分)(2017?江苏)已知集合 A=1, 2, B=a, a2+3.若 AH B=1,则实 数a的值为 1 .【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解：.集合 A=1, 2, B=a, a (5分)(2017?江苏)已知复数z= (1+i) (1+2i),其中i是虚数单位，则z 的模是【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答

11、】解：复数 z=(1+i) (1+2i) =1-2+3i= - 1+3i ,|z|= J故答案为：柝.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题.+3. AH B=1,a=1 或 a2+3=1,解得a=1.故答案为：1.【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义 及性质的合理运用.第9页(共34页)3. （5分）（2017?江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量 分别为200, 400, 300, 100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以 上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽

12、取18件.【分析】由题意先求出抽样比例即为 焉，再由此比例计算出应从丙种型号的产 品中抽取的数目.【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000牛，而抽取60辆进行检验，抽 样比例为_乱二旦， 1000 100则应从丙种型号的产品中抽取 300xJL=18件, 100故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的 结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行 抽取.x的值为-L,则输出y16的值是 一24. （5分）（2017?江苏）如图是一个算法流程图：若输入【分析】直接模拟程序即得结论.【解答】解：初始值x，不

13、满足x>1, 所以 y=2+log壶=2- 1 口g224=-2,故答案为：-2.【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法, 法的积累，属于基础题.注意解题方5. （5分）（2017?江苏）若 tan （a*）贝U tan a二二【解答】解：:tan （a -tanQ -1 114-tan1 tantan Cl +1【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可二 6tan a 6=tan a +1解得tan a二故答案为：±.【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6. （5分）（2017?江苏）如图，在圆柱 OO内有一个球 O,该球与圆柱的上、下 底面及母

14、线均相切，记圆柱OO的体积为Vi,球。的体积为V2,则?"的值是:【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果.【解答】解：设球的半径为R,则球的体积为：-17TR3,圆柱的体积为：ttR 2?2R=2t R3.比 27TR3 3|=匕4几R$ 2 '-5故答案为：肾.【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.g7. （5分）（2017?江苏）记函数f （x） 诉二J定义域为D.在区间-4, 5 上随机取一个数x,则xCD的概率是 互.【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】 解：由 6+x x2

15、>0 得 x2 x - 6< 0,得20x&3,则 D=-2, 3,5-(-4)则在区间-4, 5上随机取一个数x,则xCD的概率P=+4 至, 故答案为：一【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键.8. （5分）（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线号-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P, Q,其焦点是Fi, F2,则四边形FFF2Q的面积是 2V3_.【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到 P, Q坐标，求出焦点坐标， 然后求解四边形的面积.【解答】解：双曲线号-y2

16、=1的右准线：x=|,双曲线渐近线方程为：y*x, 所以 P （-,厘），Q（j -耳），Fi （-2, 0）. F2 （2, 0）.则四边形FiPFQ的面积是：y X4X=2/3.故答案为：2年.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.9. （5分）（2017?江苏）等比数列an的各项均为实数，其前n项为S,已知,&&,则 a8= 32 . 4【分析】设等比数列an的公比为qwl, S3=-, S络 44（1 - %力q理,联立解出即可得出.l-q 4【解答】解：设等比数列an的公比为qwl,u S3岂力（7）鱼'4，'1-q" Lq

17、4 '解得 ai=L, q=2. 4贝（J a8=l_ x 27 =32.故答案为：32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题.10. （5分）（2017?江苏）某公司一年购买某种货物 600吨，每次购买x吨，运 费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用 之和最小，则x的值是 30 .【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和 &&M&+4X,利用基本 x不等式的性质即可得出.【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和 3><6+4x14X2 戈X 档”

18、=240 （万元）.当且仅当x=30时取等号.故答案为：30.【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题.11. （5分）（2017?江苏）已知函数f （x） =x3-2x+ex-,其中e是自然对数第13页（共34页）的底数.若f (a - 1) +f (2a2) <0,则实数a的取值范围是 -1,1. 【分析】求出f (x)的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得 f (x)在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f (x)为奇函数，原不等式即为2a2<1-a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围.【解答】解：函数f (x) =x3 2x+ex

19、 上一的导数为:第15页(共34页)可得f (x)在R上递增；又 f ( - x) +f (x) =( - x) 3+2x+e x - ex+x3 - 2x+ex -=0, e可得f (x)为奇函数，贝U f (a- 1) +f (2a2) <0,即有 f (2a2) < - f (a- 1) =f (1 - a),即有 2a2<1 -a,解得-1&a&L, 2故答案为：-1, t.【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用， 注意运用导数和定义法, 考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题.12. (5分)(2017?江苏)如图，

20、在同一个平面内，向量 演，而，祈的模分别为1,1,历,位与66的夹角为a,且tan a =7,而与66的夹角为45° .若而二而鼠+而(m n C R),则 m+n= 3【分析】如图所示，建立直角坐标系.A (1 , 0).由项与前的夹角为a ,且tan a =7.可得 cos a =sin a 二&V2吗，看）.可得cos( a +45 )= . sin5(a +45 ).B（咯，1）.利用55OC=m)A+nOB (m nCR),即可得出.【解答】解：如图所示，建立直角坐标系.A （1, 0）.由石!与花的夹角为a ,且tan a =7.cos ( + +45 ) = (

21、cos2s sin a )=35:、z .、sin ( + +45 ) =<=(sin a +cos a ) 20C=mA+nQB (m, n R),=m- jn,!=0jn解得m="贝 U m+n=3故答案为:3.【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.13. （5分）（2017?江苏）在平面直角坐标系 xOy中，A （ - 12, 0）, B （0, 6）,点P在圆O:x2+y2=50上.若近，百U20,则点P的横坐标的取值范围是5.技【分析】根据题意，设P(X0, y0),由数量积的坐标计算公式化简变形可得 2x0+y0+5&

22、lt;0,分析可得其表示表示直线 2x+y+5< 0以及直线下方的区域，联立直线与圆 的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案.【解答】解：根据题意，设P(X。, y。),则有X02+y02=50,PA PB= ( - 12 - X0, - y0) ? - X0, 6 - yo) = (12+x°) x° - y° (6 - y) =12x0+6y+x02+y02 <20,化为：12x0-6y0+30< 0,即2X0-y0+50 0,表示直线2x+y+5< 0以及直线下方的区域，'22_联立«町口,解可得X0=-5或X

23、0=1,工与-产口+5=0结合图形分析可得：点P的横坐标X0的取值范围是-5巧，1,【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化 简变形得到关于X0、y0的关系式.14. (5分)(2017?江苏)设f (x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f (x)=卜='ED 其中集合 D=x|x=HL, nCN*,则方程 f (x)- 心工知nlgx=0的解的个数是 8 .【分析】由已知中f (x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f (x)=慎"D ,其中集合口二仅除红土，nC M,分析f (x)的图象与y=lgx g工知妖图象

24、交点的个数，进而可得答案.【解答】解：在区间0 , 1)上，f (x)=宜'"k, k4D第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f (x)是定义在R上且周期为1的函数，厂2 汇在区间1 , 2)上，f (x) =无口，此时f(X)的图象与丫=度 有, x®且只有一个交点; 同理：区间2 , 3)上, 区间3 , 4)上, 区间4 , 5)上, 区间5 , 6)上, 区间6 , 7)上, 区间7 , 8)上, 区间8 , 9)上, 在区间9 , +00)f (x)的图象与y=lgx f (x)的图象与y=lgx f (x)的图象与y=lgx f (x)的图象与y=l

25、gx f (x)的图象与y=lgx f (x)的图象与y=lgx f (x)的图象与y=lgx 上，f有且只有一个交点; 有且只有一个交点; 有且只有一个交点; 有且只有一个交点; 有且只有一个交点; 有且只有一个交点; 有且只有一个交点;(x)的图象与y=lgx无交点;故f (x)的图象与y=lgx有8个交点;即方程f (x) - lgx=0的解的个数是8, 故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质, 转化思想，难度中档.二.解答题15. (14分)(2017?江苏)如图，在三棱锥 A- BCD中，AB±AD, BC1BD,平面 ABDL平面

26、BCD点E、F (E与A、D不重合)分别在棱 AR BD上，且EF±AD 求证：(1) EF/平面ABC(2) ADL AC.【分析】（1）利用AB/ EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G,连结FG EG更彳导FG/ BG则EG AC利用线面垂 直的性质定理可知FG±AR结合线面垂直的判定定理可知 ADL平面EFG从而 可得结论.【解答】证明：（1）因为AB1 AD EF±AR且A、B、E、F四点共面，所以 AB/ EF,又因为EF?平面ABC AB?平面ABC所以由线面平行/U定定理可知：EF/平面ABC（2）在线段CD上取点G 连结FG

27、EG®彳3FG/ BG则EG/ AC,因为BC! BR所以FG/ BG又因为平面ABDL平面BCD所以FG,平面ABD所以FGL AR又因为 ADLEF,且 EFA FG=F所以AD1平面EFG所以ADL EG故 ADL AC【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思 想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累， 属于中档题.16. （14分）（2017?江苏）已知向量之二（cosx, sinx）,E= （3, -3）, xC0,兀.(1)若W/E,求x的值;(2)记f (x) =a-b,求f (x)的最大值和最小值以及对应的

28、x的值.【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx=-通，问题得以解决，3b= (3, -V3),后瓦(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：(1) a= (cosx, sinx ),一mcosx=3sinx , . tanx=一 V33九,-x0,xh.x(2) f (x) = a * b=3cosx -V?sinx=2 yf32cosx 一i-sinx ) =2/3cos (7TT),第19页（共34页）-x0,兀,7T_6'一 1 <cos (x当x=0时，f (x)有最大值，最大值3,当x=时，f (x)有最小值，最大值-2后.【点评】

29、本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数 的性质，属于基础题17. (14分)(2017?江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:31 +-=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,离心率为工，两准线之间的距离为8点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF的垂线11,过点F2作直线PE 的垂线l 2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线1i, l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.【分析】(1)由椭圆的离心率公式求得a=2c,由椭圆的准线方程x=±2X二8,即可求得a和c的值，则b2=a2-c2=3,即可求得椭圆方程;(2)

30、设P点坐标，分别求得直线 PF2的斜率及直线PF的斜率，则即可求得12 及li的斜率及方程，联立求得 Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得yo2=xo2- 1,联 立即可求得P点坐标；方法二：设P (m, n),当nn 1时，kPF】 nH-1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=± n2,联立椭圆方程，即可第21页(共34页)求得P点坐标.【解答】解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e=- a则a=2c,椭圆的准线方程x=±23.二8,c 由解得：a=2, c=1, 则 b2=a2 - c2=3,椭圆的标准方程:(2)方法一：设P(X。，y。)，则直线PF2的斜率k贝U直线1

31、2的斜率k2二-直线12的方程y=-与? (x-1),直线PR的斜率kpF -7F% f+1则直线l 2的斜率k2二-直线l 2的方程y=放(x+1),戈二一5c 口.田答.V 口yJ由P, Q在椭圆上，P, Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则22/yo =X0 12 160-二"V0 = ±7T又P在第一象BM,所以P的坐标为:Ar方法二：设P (m, n),由P在第一象限，则m>0, n>0,当m=1时，除口不存在，解得：Q与Fi重合，不满足题意,由 liPFi, l21PR,则氏二一四三，% ri nrl ,n直线li的方程y=-皿(x+1),直线12

32、的方程 nI 2 1联立解得：x= - m，则 Q ( - mi,-),n由Q在椭圆方程，由对称性可得： 里户=±n2,v=-(xT),第23页（共34页）即 m2 - n2=1, 或 m2+n2=1,由P （m, n）,在椭圆方程,解，(2.2m -I -n22U 32 16 ri =-yj二7/12_ 21-m -n22j JI 4 3 1又P在第一象BM,所以P的坐标为:考查直线的斜率公【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系, 式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题.18. （16分）（2017?江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台 形玻璃

33、容器II的高均为32cmi容器I的底面对角线 AC的长为1叫cm,容器H 的两底面对角线EG EG的长分别为14cm和62cm,分别在容器I和容器II中注 入水，水深均为12cm,现有一1g玻璃棒l ,其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒 粗细均忽略不计）（1）将l放在容器I中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC上，求l没 入水中部分的长度；（2）将l放在容器R中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG上，求l没 入水中部分的长度.【分析】（1）设玻璃棒在CC上的点为M玻璃棒与水面的交点为 N,过N作NP / MC 交 AC于点 P,推导出 CCL平面 ABCD CC,AC, NPL AG

34、 求出 MC=30cm 推导出ANSAAMC由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度.（2）设玻璃棒在GG上的点为M玻璃棒与水面的交点为 N,过点N作NPL EQ交EG于点P,过点E作EQL EG,交EG于点Q推导出EEGG为等腰梯形，求 出EiQ=24cm EiE=40cm由正弦定理求出 sin ZGEM=,由此能求出玻璃棒l没 入水中部分的长度.【解答】解：（1）设玻璃棒在CC上的点为M玻璃棒与水面的交点为N, 在平面ACMfr,过N作NP/ MC交AC于点P,: ABCD ABCD为正四棱柱，. CCL平面 ABCDX v AC?平面 ABCDCC，AG NPLAC, NP=12cm 且 AM

35、=AC+MC,解得 MC=30cm. NP/ MC .AN即AAMC幽巫，幽上得AN=16cm朋I NO 式 30玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm（2）设玻璃棒在GG上的点为M玻璃棒与水面的交点为 N,在平面EEGGfr,过点N作NP! EG交EG于点P, 过点E作EQLEiG,交EC于点Q,EFGH EiFiGH 为正四棱台，EE=GG, EG/ E1G ,EG EiG , .EEGG为等腰梯形，画出平面 曰EGG勺平面图,v EG=62crn EG=14cm EQ=32cm NP=12cmEQ=24cm由勾股定理得：E1E=40cm .sin /EEG=S5根据正弦定理得：sin /

36、EGM=sin/ EEG, cos/EGg-2, 55cos一" FsinZEGM =slhZEMG 5sin/EMG二击,12 “二20cm sin / GEM=sin( / EGM+ EMG =sin / EGMcos EMG+cos EGMsinZHPEN= sin/CGEM玻璃棒l没入水中部分的长度为20cmB【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能 力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.19. (16分)(2017?江苏)对于给定的正整数k,若数列an满足：ak

37、+a卜+什+鼻 .i+an+i+an+k. i+a+k=2kan对任意正整数n (n>k)总成立，则称数列an是“P (k) 数列”.(1)证明：等差数列an是“P (3)数列”；(2)若数列an既是“P (2)数列”，又是“ P (3)数列”，证明：an是等差 数列.【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3= ( Hn .3+a+3)+ (an-2+an+2) + (an-1 + an+1)一2 x 3an,根据 “P ( k)数列”的定义，可得 数列an是数(3)数列”；(2)由 “P (k)数列”的定义，则 an - 2

38、+an - 1 + an+1+an+2=4an , an - 3+an - 2+an - 1+a+1+an+2+an+3=6an,变形整理即可求得 2an=a-1+&+1,即可证明数列an是等差数 列.【解答】解：(1)证明：设等差数列an首项为a1,公差为d,则an=a1+ (n-1) d,贝U an - 3+a- 2+a T+an+1 + an+2+On+3 ,第25页(共34页)=(an-3+an+3)+ ( Hn - 2+On+2)+ (an-l+Hn+l),=2an+2an+2an,=2 x 3an,.等差数列an是“P (3)数列”；(2)证明：由数列an是 “P (2)数

39、列"an-2+an- l+an+l+8n+2=4an,数列an是 数(3)数列" a n - 3+an - 2+an - l+an+l+an+2+an+3=6an ,由可知：an-3+an-2+an+an+1=4an-1 ,An- l+an+On+2+an+3=4an+1 , (3)由一( +)：2an=6an 4an-1 4an+i,整理得：2an=an l+an+1 ,.数列an是等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算, 考查转化思想，属于中档题.20. (16分)(2017?江苏)已知函数 f (x) =x3+ax2+bx+1

40、 (a>0, bCR)有极值, 且导函数f' (x)的极值点是f (x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b2> 3a；(3)若f(x),f' (x)这两个函数的所有极值之和不小于- 一，求a的取值范围.【分析】(1)通过对 f (x) =x3+ax2+bx+1 求导可知 g (x) =f' (x) =3x2+2ax+b,进而再求导可知g' (x) =6x+2a,通过令g' (x) =0进而可知f' (x)的极小值点为x= 一，从而f (-)=0,整理可知b= 1

41、9(a>0),结合 f (x)=x3+ax2+bx+1 (a>0, b RR有极值可知f' (x) =0有两个不等的实根，进而可知 a>3.(2)通过(1)构造函数h (a)=b2- 3a普3(4a -27)27),结合a>3可知h (a) >0,从而可得结论;第26页(共34页)第29页(共34页)(3)通过(1)可知f' (x)的极小值为f'(-年)=b-'，利用韦达定理 3及完全平方关系可知y=f (x)的两个极值之和为4L -绝+2,进而问题转化为 2732 g2解不等式b-H+选-哒+2卫-葭-工，因式分解即得结论.3 2

42、71 方 a 92【解答】(1)解：因为f (x) =x3+ax2+bx+1,2所以 g (x) =f(x) =3x+2ax+b, g (x) =6x+2a,令 g' (x) =0,解得 x=-A.x< 一等时g由于当x>-且时g' (x) >0, g (x) =f' (x)单调递增；当(x) <0, g (x) =f' (x)单调递减;所以f' (x)的极小值点为x=-各由于导函数f' (x)的极值点是原函数f (x)的零点,所以f (-卫)=0,即- 3一二+1=0 3“(a>0) .所以b= 19因为 f (x

43、) =x3+ax2+bx+1 (a>0, bC & 有极值, 所以f' ( x) =3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，2所以 4a212b>0,即 a2- 公>0,解得 a>3,3 a所以 b=-+ (a>3).9 a(2)证明：由(1)可知 h (a) =b2- 3a&i-二1(4a3-27) (a3-813 a 81 a227),由于 a>3,所以 h (a) >0,即 b2>3a；2(3)解：由(1)可知f' (x)的极小值为f' (-) =b-3-,设 x1，x2是 y=f (x)的两个极值点

44、，则 x1+x2=/*, x1x2=1,所以 f (x1)+f (x2)=xj+xj+a (町。叼2)+b (x+x2)+2=(x+x2) (x+x2)2- 3xx2+a (x+x2)2 2xx2+b (x+x2)+227 | | 3又因为f （x）, f' （x）这两个函数的所有极值之和不小于- 1,所以 b-+AI-2abl+2=3 -3273 a 92因为 a>3,所以 2a3 63a 54<0,所以 2a （a2-36） +9 （a-6） < 0,所以（a 6） （2a2+12a+9） < 0,由于 a>3 时 2a2+12a+9>0,所以a

45、-6<0,解得a<6,所以a的取值范围是（3, 6.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查 转化思想，注意解题方法的积累，属于难题.二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1:几何证明选讲】（本小题满分0分）21. （2017?江苏）如图，AB为半圆。的直径，直线PC切半圆。于点C, AP, PG P为垂足.求证：（1） /PACW CAB（2）aC=ap?ab.O B【分析】（1）利用弦切角定理可得：/ACP=r ABC利用圆的性质可得/ACB=90 .再利用三角形内角和定理即可证明.（2）由（1）可得：zAPSAACtB即可证明.【解答

46、】证明：（1） .直线PC切半圆。于点C, /ACPW ABC.AB为半圆。的直径，./ ACB=90 .,. API PC, ./APC=90 .丁. / PAC=90 - / ACP / CAB=90 - / ABC丁 / PACW CAB(2)由(1)可得：zAPSAACIB AC-AP. 一 .AB AC. AC =ap?ab.【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的 判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.选彳4-2 :矩阵与变换22. (2017?江苏)已知矩阵 A=° ", B=1 .1 oj Lo 2j(1)求 A

47、B;22(2)若曲线C: jJ=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线 G,求G82的方程.【分析】(1)按矩阵乘法规律计算;(2)求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线G的方程化简即可.【解答】解：(1) AB=；(2)设点P (x, y)为曲线C的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P' (xo, y。),则普即 xo=2y, yo=x,工口 x=yo, y=-,即 xo2+yo2=8,曲线G的方程为x2+y2=8.【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题.选彳4-4 :坐标系与参数方程-8+t23. (2017?江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为t(

48、t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动第35页（共34页）点，求点P到直线l的距离的最小值.【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离 d关于参数s的函数，从而得出最短距离.【解答】解：直线l的直角坐标方程为x - 2y+8=0,P到直线l的距离d=侬，扬闾 (V2s-2)2+4二当s=6时，d取得最小值 【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题.选修4-5 :不等式选讲24. (2017?江苏)已知 a, b, c, d 为实数，且 a2+b2=4, c2+d2=16,证明 ac+bd <8.【分析】a2+b2=4, c2+d2=16,令 a

49、=2cosa , b=2sin a , c=4cos0 , d=4sin 0 .代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明.另解：由柯西不等式可得： (ac+bd) 2< (a2+b2) (c2+d2),即可得出.【解答】证明：: a2+b2=4, c2+d2=16,令 a=2cosa , b=2sin a , c=4cos0 , d=4sin 0 .ac+bd=8 (cos a cos 0 +sin a sin 0 ) =8cos ( a 0 ) < 8.当且仅当cos ( a-B) =1时取等号.因此 ac+bd<8.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd) 2< (a2+b2) (c2+d2) =4X 16=64,当且仅当包也 c d时取等号. . - 8<ac+bd< 8