2018全国高中数学联赛模拟试题2及参考答案

1、高中联赛模拟试题2一试部分考试时间：80分钟 满分：120分一、填空题（每小题8分，共64分）1 . 康1：（&+24）=3,且夕工，。+夕=/?"+"地sina22tan/?2 .在等差数列2中，'%尸前项和力有最大值，则当S。取得最小正值时，2 =若 “"。J3.? f a+h c)| 44+1+ 4/?+1 + 4c +1 > m 则，的最大值为« I4 .已知凶5C满足AC = BC = 1, A8 = 2r（x>0）.则A43c的内切圆半径/的最大值为5 .在正方体ABCZ）-A，£A中，G为底而的中心.则

2、8G与A。所成角的余弦值为一6 .函数“X）在膝上有定义，且满足/（x）为偶函数，/（X-1）为奇函数.贝必（2019）=.7 .将一色子先后抛掷三次，观察而向上的点数，三数之和为5的倍数的概率为.8 .已知复数&匕满足（&-i）（4+i） = l.若& =3，则/JW范围是.二、解答题（第9小题16分，第10、11小题20分，共56分）22设P为双曲线4=1上的任意一点，过点P分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线交于A. Da2 b2两点.求048a）的面积.10.求方程炉73-9+1 = ），2的整数解的个数.11.1对f,后6,已知'1，.求出满足3&q

3、uot;+4"+ +( + 2)" =5 + 3)"的所有正整数.-1 + 31 2.高中联赛模拟试题2加试部分考试时间：150分钟 满分：180分一' （本题满分40分）设AABC为等腰三角形，AB = AC,。为边A3上一点.设的外接圆在点。处的切线与 AC交于点E, F为过点E作圆F的另外一条切线的切点.设BF与CD交于点G , AG与交 于点.证明：BH=2HC.二、（本题满分40分）约定：维向量X =（X|,X）,，x）（xr 2 0.i = l,2：,）的、范数记为: IIJ 丁 ：二，?现有两个向量A = （a也c）,8 = （d.e）.若：

4、Il JI II JI II即憎产|. |fi仙三9 ir三、（本踱莆分50分）设整数之4,为区间（0.2）内两两不同的整数.证明：集合力=小生,存在 所有元素之和能被2整除的子集.四、（本题满分50分）设有17支球队参加足球比赛，采用单循环赛制，比赛中偶尔会出现一个循环的三元集（即集合。也 6,其中，队击败队，b队击败。队，C队击败4队），若没有平局，则比赛结束.问：最多有 多少个这样的循环三元集？解析:tan(a+/?) sin(a+£)cos 夕sin(a + 2£) + sinatan pcos( a+£) . sin £ sin a - 2&#

5、163;) - sin asin (a +就)_ sin a3m-a+2=2-1 sina高中联赛模拟试题2解答一试部分考试时间：80分钟 满分：120分一、填空题（每小题8分，共64分）1.2.2. 19.解析：由工有最大值可知6 >0,<0 %,则为)+ 4“<0"0<0<斯)，由6。23堂里 _ +“)<o,s =19必+与)=9 >o, 10(20210 II19210再由 Si。-S =%+出 + +«9 =9(0o + nu)vO，知S1T 取最小正值时， =19.3. 2 4/5 .解析：(a +1 )( + l)&g

6、t;l + a + = a +1 + /? +1 + 4 1 + 4 + / > 2 + a + + 2/ 1 +1/ + /?今心>(+ 14 + ) = "M +Jl + “ + b反复利用上式,得:+ 1 + q yl jJ 4“ 4M-1+ 4c + l >1+ 4(a+)+ l+ 4c + l>l + l+=2+ 5；另一方面,+1 .+Jl + 4(4 + + c)-当arl力-O.c-O时，不等式左边趋于2+而.因此2+6为最大的下界.4斤.解析：转化为求函数f（x） = x Q3在（0,1）内的最大值.5.6解BE _BG + ( L丫 +&#

7、39;pc = e4c = cosZGBC =，= 8c AD ZBC &即 BG 与V % 尸 Q J 22BG 6所成角的余弦值为'厂二66. 0.解析：由已知得了")关于X轴及点(T.O)对称.从而4为了(X)的一个周期，且/(T)= o.故 7(2019)=/(-1)=0.43 .216解析：和为5的形如3、1、1与2、2、1,共6种.和为10的形如6、3、1的有6种，形如6、2、2的有3种，形如5、4、1的有6种，形 如5、3、2的有6种，形如4、3、3的有3种，形如4、4、2的有3种.合计27种.和为15的形如4、5、6的有6种，形如5、5、5的有1种，形

8、如6、6、3的有3种，合计10种.8 . 2 f,2+ f 1一 L J解析：设Z,=x+、“Q，强)则弓=_£_=土耳-=a = £+(y + 2>=2.由囱的几ez2+i 1 k+(y + l)(忖意义，知其范围为2 2,2+ 21.-L « « 二、解答题(第9小题16分，第10、11小题20分，共56分)9 .双曲线的两条渐近线方程分别为片”,)，=-勾 a a设41与,卜,一鼠卜(K)，).代入双曲方程化简得再心上二4于是，件5的面积为止一，“一竺乐曰也I 21"，210 .原方程可化为(x3 -1)(： -1) = y2 =&

9、gt;(x-l)2(x + l)(x2 +x+l)= y?-(1)当 x = 0 时，y2 =l=>y = ±I ： 当工=±1时，y = 0.设乂)，为方程的整数解，且xh±LO.由(1)式，(x l)2|/=(x l)ly = (x + D(J+x+l) = (-Y.又因为 匚为整数, 则X1(x+ 1)(.¥2 +X+1)为完全平方数.而+x+l = x(x + l)+l = (x+l,x2 +X+1)=,= x + l,M +x + l 均为完全平方数= x + l 之O(xwO.±l) = xN 2 = /+x +1 <(

10、x +1)-,显然,x2+a + 1不为完全平方数.综上,原方程只能有4组解：(x,y) = (M).(O.T),(l.O).(T.O).当之6 时，由'1, + 2、<1=5 + 3)”一(+2)”>( + 2)I r < o r + 3； 2 尸3；(1 生 1 + 2 1 n< L,故:U H " UJ 25 + 3)”-( + 2)”>( + 2)“.累加后3" +4" +. +(" + 2)" <( + 3)" -3" <(” + 3)",此时无 解.直接

11、检验 =L 2,3,4,5 ,知当 =2,3时等式成立.加试部分考试时间：150分钟 满分：180一、(本题满分40分)分在MBG, MCG中，由正弦定理得二一一=或一 sin ZBAH sin ZABF sin NCAH sin ZACD1/r BH _ sin /BAH _ BG sin ZABF _ BG sin NFCD _ sin 4DCB sin 4FCD _ FD CI“人 CH " sinZCAH - CG sinZACD - CG sin = sin ZCBF sin ZDB/ DI CF /DBI设AC与圆的另一个交点为/.则四边形CF/。为调和四边形.于是，Fl

12、 CD = CF ID .由托勒密定理得FD CI = FI CD + CF ID = 2/DCF.从而，BH = 2HC .二、(本题满分40分)等价于证明：设a.Acde为非负数，且满足fa2 + b2 +c2 =d2 +e2II + ? +f =a +产证明：a3+b3+c3<tP+e (1)注意到 2(“/ + b2c2 + c2a2) = (/ + / )2 (/ + / + c= = (1 + / y (/ + *=z/2e2. 则2 + 底 + c2a2 = j2e2.又“6 + / + °6 _ 3“%2c2 = (/ + + 4 + / _ a2b2_h2c2

13、_ 2 ) = (小 + )(d，+ / _ 4?/ ) =+ eb(1)式两边平方得a6+b6+c6+ 2(a%3 + 丘 + c3a3)<db+ / + 2dye'3O 2( + b3c3 + c3) + %262c2 < 2d" O 2(a3b3 + byc3 + c*) + 3a2bY < 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 尸- (2)3x = ab, y = be.z = ca .则(2) <=> 2(x3 + y3 + ) + 3xyz < 2(x2 + y2 +z2 J2 .由柯西不等式，知bzF+y' +3x

14、)H 2/+” +)，29+。+z2z、xv 12L( ) 'J L( )() (' )J< (a:2 + y2 + z2 )j-(2.r + yz) +(2 y2 + zx)' +(2z? +-)< (/ + / + z2 4(?+/+?) + 8(yV+ rx2+ x2y2» = 4(J + y2+r) 从而，结 论成立.三、（本题满分50分）若“金M”，则2个整数01M2.4个-如w（0,2）.由抽屉原理,知其中必有两个数相等.不妨设=2-.因为史a”。?；-,所以i* j 故,为满足题意，命题成立.若 G，4",不妨设考虑，L1

15、（-1 23）个整数，（* ,在其中任取三个数6 < %<tik .若见一勺,火一4均能被n整除,则4 一q >2n ,与ak g（0.2/j）矛盾.因此,.“”“2，中至少存在两个数，其差不能被，整除.不妨设,出之差不能被整除.考察个数：+"2必+"2 +%，"1 +“2 + +，*.（1）若这个数关于模的余数互不相同，则其中必有一个数能被整除.令这个数为kn.当女为偶数时，结论成立；当上为奇数时，加上小即构成所需要的子集.（2）若这个数中有两个数关于模同余，则其差能被整除.因为,%不同余，所以这两个数 之差必为原集合A中若干数之和.由此归结为（1）中讨论.综上，命题得证.四、（本题满分50分）一个三元集。也c不是循环的=有一支球队赢了另外两队=有一支球队输给了另外两队.用儿,&_潭7代表这17支球队.假设球队凡赢了 “，支球队，但输给了 支球队.显 然，q + 仇=1 6（i