2020-2021学年度高一年下学期正余弦定理练习试题及答案

1、2020-2021学年度高一年下学期正余弦定理练习题2021. 3.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.）/X1 . A4BC 中，角 A、B、C 所对的边分别为b、c,已知向量机=2t/-Z?,-cosB , = （a, cosA）, a ）且加石共线，则zUBC的形状是（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形D.等腰三角形2 . AABC中，内角A,8,C的对边分别为。，仇c,已知/jsinC+csinB = 4rzsinBsinC, b2 +c2-a2 =8,则ABC的面积为（）A.在 B. MC.有

2、D.叵3343 .在AAbC中，内角A,8,C的对边分别为已知a = 45°, a = 6,b = 3立,则8的大小为（ ）A. 30°B. 60°C. 30° 或 150。 D. 60° 或 120°4 .如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CO的顶端C对于山c坡的斜度为15°，向山顶前进1006到达8处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若cr）=50?，山坡对于地平面的坡度为e,则cose等于（）/科0A.正 B.与 C. 6-1D. 72-1e225 .我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷

3、五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三 斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”题意是有一个三角形的沙 田，其三边长分别为13里、14里、15里，1里为300步，设6尺为1步，1尺= 0.231米，则该沙田的面积约为（ ）（结果精确到0.1,参考数据：415.82 = 172889.64）A. 15.6平方千米 B. 15. 2平方千米C. 14.8平方千米 D. 14.5平方千米6 .如图，在AAbC中，角。的平分线CO交边AB于点O, 4 3AC = ?5 CD = 3x/2 » 则 3C=（）A. 3丛 B. 4 C. 472D, 6

4、7 .如图，在澳/。中，N8AC = 2,点。在线段8C上，AD±AC.3BD 1.=一，则 sin C =（）CD 4V78 . AA3c中，BC = 2M = 45 8为锐角，点。是A43C外接圆的圆心，则赤就的取值范围是（）A. (-2,2 B. (-2立2C. -2"2D. (一27二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.）A. cos B = 2D. a + c = 2>/39 .在A4BC中，内角A, 8, C的对边分别为c ,已知三兰= ,= 上

5、63;，且 =",则（）B cos B = C a + c = y/3 210 .锐角ABC中，三个内角分别是A, 3, C,且则下列说法正确的是（A. sin A > sin BB. cos A < cos B c. sin A > cos Z?D. sin B < cos A11 .在凶/。中，角的对边分别为a,Ac, A = -,。= 2,若满足条件的三角形有且只有一个，则边 3。的可能取值为（）4c12 .在M3c中，内角A8,C的对边分别为下列命题正确的是（A.若a:：c = 4:5:6, A43c的最大内角是最小内角的2倍若acosNcosA =

6、c,则AABC一定为直角三角形若a = 4/ = 5,c = 6,则ABC外接圆半径为丑互7D. cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A） = L 则AABC一定是等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13 .在A43c中，内角A,aC的对边分别为若asin8-JOcosA = 0,尻 = 4jl,内切圆半径为1, 则AABC的周长为.14 .在AA8C中，。为BC边上一点，BC = 3BD, AD =a,403 = 135°.若 AC = 8,则 80=15 .已知。,儿。分别为儿48。三个内角4及。的对边，。=2,且（2 + ）6皿4-5皿8） =

7、 （c-）sin C ,则AA8C 面积的最大值为.16 .在平面四边形48CQ中，ZA = ZB = ZC = 75 BC = 2,则48的取值范围是.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.第17 小题满分10分,其他小题满分12分）17 .住4=5 csinA = 3,c = ® 这三个条件中任选一个，补充在下而问题中，若问题中的 三角形存在，求。的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在A3C,它的内角C的对边分别为4,仇C，且sinA= JIsinB，C = j ? o注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18

8、 . AA5c中，sin2 A-sin2 3 sin2 C = sinBsinC-(I )求角4；(II)若3C = 3,求AANC周长的最大值.八八，4c、 tan A tan 819 .在AABC中，内角的对边分别为己知2(tanA + tan8) = -+ - COS D COS A(I)证明：a+h = 2c ;(H)求cos C的最小值.57t420 .在A43C中，角 A, B,。所对的边分别为c,且满足cos2C - cos2A = 2sin(+ C)sin( C).33(I)求角A的值；(ID若4 = C,。之，求力一c的取值范围.21 .在MBC中，内角A,8,C所对的边分别

9、为4,4c已知2ccos3 = 2a + b(I)求角。的大小：(II)若。为A8的中点，。=1,。= 2,求八48。的面积.4 + C22. AABC的内角A8,C的对边分别为，已知asin-=bsinA .2(I )求8;(H)若AA8C为锐角三角形，且c = l,求AA3C面积的取值范围.2020-2021学年度高一年下学期正余弦定理练习题答案一、单选题1 .【答案】C: m9 n 共线，A (2« -Z?)cos A -a x(- -cos B) = 0,即(2a-Z?)cos A-(c-acosB)=。， a(2 sin A - sin B) cos A -(sin C-s

10、in A cos 8) = 0,(2sin A-sin 8)cos Asin(A + B) sin Acos B = 0 9 整理得 2cos A(sin A-sin B) = 0,所以cosA = 0或sinA = sin3 ,所以A =2或4 = 8或4 + 3 = 4 (舍去).2.三角形为直角三角形或等腰三角形.故选：C.2 .【答案】B根据正弦定理有 sin 5sin C+sin Csin B = 4sin A sin BsinC»:.2sinBsinC = 4sin AsinBsinC, A sin A = 1. 丁 +c2 - a2 =8,2 _ 4/ _80.1. .

11、 2行时由 r cos A = = , be =， 3 = he sin A = b2bc be 23233 .【答案】A由正弦定理得丁 =二，即坟_ =，解得sin后!，sin 8 sin A sinB sin 4502又5为三角形内角，所以后30°或皮150° ,又因为a>6,所以冷b即后30,故选：A.4 .【答案】CAR Ar在曲中，由正弦定理得二，Z.JC=100J2 -在也?。中,AC _ CD sin(6 + 90 ) sin 15sin 30 sin 135Acos 4=sin(夕+90° )= A.sin”=乔一1 .故选 C CD5 .【

12、答案】D由海伦公式S = J(p_)(_)(-C)其中二;卜1 + +c) , a,4c分别为三角形三边长，可得：该沙田 的而积= 121x8x7x6 x(300x6x0.231)2 =84x415.8?= 84x172889.64= 14522729.76平方米=14. 5 平方千米，故选：D6 .【答案】D? c正在八48中，根据正弦定理得4AC sinA 内"工 点，sin Z712JC =-=CD3 近2由 NAZ)C V NA,所以乙4。= 丁，所以/4CZ) = 4 -不-：=, 434 12所以 NAC8 =：,则 N8 = 二，所以 A8 = i4C = 2>/

13、J, 66在“3c中，由余弦定理得8c2=(2j5+(2jjy-2x2j5x2jJx _5 =36,乙所以8C = 6.故选：D.7.【答案】B在A3。中,B.8.【答案】ABD AD sinCCD.冗 sinB sin 6sin -C13，解得tanC = 4,又sirr C + cos- C = 1分析L BC=2, NA = 45°,所以2R =一=R =贝,如图建系, sin AsinC,cosC所以注。=叵故选:148(-l,0),C(l,0) 0(0,1),求得圆 0： x2+(y-l)2 =2,设A(x,y),则方第=9分析 2： CM BC=ICMI IBClcos&

14、lt;6M,BC>= 4cos <OAyBC> 分析 3： OA BC = (dD + DAyBC = DA BC = -(AC + AB) (AC-AB) = (c2-b2)sin 3 sinC sin 450所以，(c2 一户)=，(2>/2 sinC)2 一(2点sin B)2=l(c2 b?) = 4(sin2 C-sin2B) = . 222二、多选题9 .【答案】AD丁 cosB = b =smB.整理可得：sinBcosC = 2sin AcosB-sinCeosBcosC 2a-c 2 sin 力一 sinC可得 sin B cos C + sinC c

15、os B = sin(B + C) = sin A = 2 sin A cos B4为三角形内角，sinAO cosB = l故A正确，B错误.2A m 口冗 C3 耳八八 373 1. n 1V3 V3B w(0,几)I B = = S ABC =, B = 3 ：.= acsinB = xaxcx =ac3 "皿 442224解得 c = 3,由余弦定理得 9 = a2 +c2 -ac = (a + c)2 -3ac = (a + c)2 -9解得4 + c = 3jL故c错误，D正确.故选：AD.10 .【答案】ABC因为一-=-,所以月>60a枚=sinJ>sin

16、6,故A成立.sin A sin B函数产cosx在区间0,4上是减函数，： A>B, r.cos/Kcos5,故B成立.在锐角三角形中，月+同:，外:一8函数产sinx在区间。0上是增函数， 222则有sinJ>sin（工8）,即sinJ>cos6, C成立，同理sin历cos月，故D不成立.故选：ABC. 211 .【答案】ABC如图所示，则=bsinA,因为满足条件的三角形有且只有一个，所以“ = =sinA或者则人=土叵或 3b<2,则可知的可能取值为1，士2. 3故选：ABC.12 .【答案】ABD对于A选项，A角最小，C角最大.由余弦定理得cos A = 2

17、,十、6_ = = >0 2x5x660 4cosC =16 + 25-3651 八2x4x5 -40"8'cos2A = 2cos A 1 = 2x 11 = 一 , cos2A = cosC. 80<A<-,0<C<-,则0<24<4，所以2A = C,所以A选项正确. 22对于 B 选项，acosB-bcosA = c 由正弦定理得sin AcosB-sinBcosA 二sinC,sin Acos 5cos A sin B = sin ( A + B) = sin Acos B+cos Asin B , cosAsin B =

18、0,由于。vAveOvBv/t.所以A =。，故B选项正确. 2对于 C选项，cosC =16 + 25_。<。<不，sinC = Jl- - * 2x4x540 8V 18)3"=982R_ c fR_ c _6 一 8"设三角形ABC外接圆半径为H，则 sinC2sinC3"7 ，故C选项错误.2x对于D选项，0<24<乃,一万<一8<0,一乃<4一8<乃，故一 1 vcos（A-8）«l,同理可得 -1 <cos(B-C)<l,l <cos(CA)<l,要使 cos(A-B)c

19、os(8-C)cos(C-A) = l,则需 cos(A - 3) = cos(8 C) = cos(C A) = 1,所以A B = 0,8 C = 0,C 4 = 0,所以A = 8 = C,所以D选项正确.故选：ABD三、填空题13 .【答案】6由 a sin B 一 /bcos A = 0 得 A = g,由5 = be sin A =得周长为 6。14 .【答案】2 + 6解析：设BD=x,则CD=2xa在A4D+，由余弓玄定理彳导ab=ad2+bdL2ad BDCOSNADB /y 在 aADC中，由余弓玄定理得AC? = AD?+DCJ2AD DCCOSNADC= 2 + 4x2

20、-4x又 A C? = 2AB2，二 2 + 4a2 - 4x = 4 + 2x2 + 4x,即-4x-l = 0,解得 x = 2 + /故BD = 2+逐15 .【答案】由【解析】试题分析：由4 = 2,且2 + b KsE 月- sin E、= (c -sin C ,竹(a+b)(sinA-sinB) = (c-b) sinC,又根,-b' + c' a据正弦定理，得(a4b)(a-5) = (c-b)c/M bi - a- =bc,故cosA =-，所以2 be 2A =60°,又b'+c：-芯=4 >be,故$0二=-i-bcsinA .16

21、.【答案】(6一四, >/6+>/2 )解析：设 NBAC = e,依题意，得 N8C4 = 105。，30 <0< 75,AR在AABC中，由正弦定理，得sin(105 - 0) sin 6sin(105 - 6) sin 02sin(105 一夕)个 sin 105 cos6-cos 105 sin 6=2sin。sin 6sin 75、=2(+ cos 75 ),tan 6l 八 sin 75 sin 75又 tan 30 v tan 8 v tan 75 , 所以<tan 75tan。sin 75tan 30sin 75,即 cos 75 Vtan。<

22、; 5/3sin75 ,所以 4cos75 VA8 < 2sin75 +2cos75 =4sin 105 ,故娓一E<AB氓+垃.解法二:5=ZC-75T,平移AD ,sin300 -sin75c，笈【解析物1图所示，延长5力CD交于已印移.空，当上与力重台与三点时FZ5=30=, 5c=2,由正弦定理可得 一=,即 sin 乙E sin ZCBE知，BFsin/FCB s"BFC,即 2T = 3.,解得富=卡-石,所以的取值范围为(而-0, sitiiO、 sin .、当1与C重言时，上5最远'此时与上3交于后 在A3仃中 Z3=Z5fC=75% ZrC5=3

23、0S由正弦定理11四、解答题17 .在a=。，csinA = 3,c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存 在，求。的值：若问题中的三角形不存在，说明理由.?注:问题：是否存在人44。，它的内角A,8,C的对边分别为“/,c,且sinA= JJsinB, C = J6如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解:解法一: 由sin A= JJsin3可得：鼻二小,不妨设“="力= "?(? >0),则：c2 =a2 + b2 -2abcosC = 3m1 + m -2x乖)mxmx*=m2» 即 c = m.选择条件的解析: 据此可

24、得:ac = y3m x m = 3m2 = >/3 t = 此时 c = ? = L选择条件的解析:g . r/f:. b- +c cC 厂 + 厂一3厂1据此可得：cosA =三= -2bc2m22贝sin A =» 此时：csin4 = zx = 3，贝h c = ni = 2/3.22选择条件的解析:与条件c = A 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：V sinA = C = £,8 = /r （A + C）, 6sinA = >/3 sin （4 + C） = >/3sinA = 6sin（A + C）= /3sinAf- + y/3cosA

25、-， 22* sinA = /3cosA , tanA = >3, * A = -7-, B = C = 若选，ac = >/3，1 a = >/3b = 6c，二 y/3c2 = #, / c=l;若选，csiiiA = 3,则= 3, c = 2 2若选，与条件。=y/3h矛盾.18. A5C 中，sinAsinBsinCsinBsinC.（1）求 4（2）若止3,求aABC周长的最大值.解：（1）由正弦定理可得：BC2 - AC2 - AB2 = AC AB2ACAB 2（2）由余弦定理得：BC2 = AC2 + AB2 - 2 AC - AB cos A = AC2

26、+ AB2 + AC - AB = 9即（AC + A8-AC48 = 9.-AC AB< 'C：（当且仅当AC = AS时取等号），I 2 ）-=（AC + A8，2/4解得：AC + A8W2# （当且仅当AC = A3时取等号）,:.aABC周长£ = 4。+ 48 + 3。43 + 20，.243。周长的最大值为3 + 2.19.在板中,角4 B,。的对边分别为a, b, c,已知2（tan A + tan 8）=tan A tan B1cos B cos A13（I ）证明：升£2° （II）求cosC的最小值.解:试题解析：（I）由题意知

27、2 ；三上i +I cos A cos B jsin月&in5+cos 4 cos B cos 4 cos B化简得 2 (sin A cos. B +sinB cos A) = sin A + sin B >艮12 sin (A +3) = sin A + sin 5. 、J所以sin(/十B) = sinf %-C =sin.C.从而sin 月+ 5n£=2sin C.由正弦定理得a+b= 2c.1、人 a + b(II)由知=2a+b所以 cosC =lab2 2ab3( b a十一一当且仅当。=8时，等号成立.故8SC的最小值为L 220 .在A4BC中，角4, B,。所对的边分别为。，c,且满足cos2C cos2A = 2sin(2+ C)sin(2C). 33（1）求角A的值：（2）若。=正，之求助C的取值范围.【解析】C)由已知得2sint4 2sin2c = 2gco”0 ；sin2C).化简得4-4 =:故4 =彳或力=孕 2jj（2）由正弦定理sin 5 sin C sin A；Wi = 2sin5 6 = 2sinC;S2d-c = 4sin5-2siiiC = 4sin-2-2sin(-5)=3sinS-A/3cos5 = 2sin(-).36所以26-。=2抬sin(BJ)e6：2道).21.在AA3C中