与圆有关的计算(201-2015)教师

1、上课时间：学生姓名： 2015年中考解决方案与圆有关的计算毕业班解决方案模块课程初三数学.与圆有关的计算.教师版Page 20 of 20与圆有关的计算中考说明内容基本要求略高要求较高要求弧长了解圆与圆的位置关系会计算弧长圆锥会求圆锥的侧面积和全面积自检自查必考点一、弧长公式由于圆周角课看做的圆弧，而的圆心角所对的弧长就是圆周长 ，所以在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式：【注意】1. 圆心角的单位若不全是“度”，一定要化为“度”再代入公式；2. 公式中的三个未知量只要知道两个就可以求出第三个，从而可以推得圆心角的计算公式为：二、多边形滚动问题解决多边形滚动问题，要明确旋转中心，旋转半

2、径、旋转方向以及旋转角度常见的多边形滚动问题有：1. 正三角形沿水平线翻滚；2. 正方形沿水平线翻滚；3. 各内角相等的非正多边形沿水平线翻滚；4. 各内角不相等的多边形沿水平线翻滚三、扇形1. 扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形2. 扇形的周长：在半径为，圆心角的度数为的扇形中，周长的公式为：3. 扇形面积的计算公式： （为扇形的弧长） 【注意】扇形的面积有两个计算公式，根据题目的不同可以选择不同的公式进行计算四、弓形面积的计算方法1. 弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形2. 弓形的面积计算：弓形的面积问题可以转化成扇形面积和三角形面积来计算根

3、据弧的情况不同，有以下三种情况： 当弓形所含的弧是劣弧时， 当弓形所含的弧是优弧时， 当弓形所含的弧是半圆时， 五、圆锥1. 圆锥的概念：圆锥可以看做是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形这条直线叫做圆锥的轴垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面，底面是一个圆面斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高连接圆锥的顶点和底面周长的任意一点的线段叫做圆锥的母线2. 圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥的底面周长，因此圆锥的侧面积公式为：3. 圆锥的全面积：圆锥的测面积

4、与底面积之和称为圆锥的全面积公式为：【注意】圆锥面积计算公式中的与扇形面积计算公式中的表示的含义是不一样的，应用时不要用混淆4. 推论：已知扇形的半径为，圆心角为， 扇形围成的圆锥的底面半径为，则可以三者之间的关系为： 中考必做题模块一 求弧长【例1】 圆心角为60°，且半径为3的扇形的弧长为（ ）ABCD3【答案】B【解析】本题考查了弧长公式：=，其中为弧所对的圆心角的度数，为圆的半径【例2】 在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长为（ ）A B C D【答案】D【例3】 如图，是的切线，切点是，已知，那么所对弧的长度为（ ）A6B5C3D2【答案】D【例4】 如图

5、，六边形是正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中，的圆心依次按点循环，其弧长分别记为，当时，等于（ ）ABCD【答案】按照这种规律可以得到： 故选【例5】 如图，是正三角形，曲线叫做正三角形的渐开线，其中弧、弧、弧的圆心依次是，如果，那么曲线的长是_【答案】 【解析】弧的长是，弧的长是：，弧的长是：，则曲线的长是： +2=4【例6】 75°的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是_cm【答案】由题意得：圆的半径cm【例7】 如图，已知中，cm，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且三点在同一条直线上，则点过的最短路线的长度是（ ）cmA8BCD【答案】弧长=故选【例8】 如

6、图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（）A B C D【答案】B【解析】圆心移动的距离等于圆的周长【例9】 在中，把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（ ）ABcmCcmDcm【答案】在中，cm故点B所经过的路程为故选【例10】 如图，把的斜边放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到的位置若，则顶点运动到点的位置时，点两次运动所经过的路程（计算结果不取近似值）【答案】在中，点A经过的路线的长是【例11】 矩形ABCD的边，现将矩形放在直线上且沿着向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时(如图所示)，则顶点A所经过的路线长是_【答案

7、】【例12】 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是_米【答案】 【解析】解：由图形可知，圆心先向前走的长度即圆的周长，然后沿着弧旋转圆的周长，最后向右平移50米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，由已知得圆的半径为2，设半圆形的弧长为 ，则半圆形的弧长，故圆心所经过的路线长米【例13】 如图，正六边形硬纸片在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边

8、形的中心运动的路程为_cm【答案】 【解析】解：根据题意得：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°，正六边形的中心O运动的路程正六边形的边长为2cm，运动的路径为：；从图1运动到图2共重复进行了六次上述的移动，正六边形的中心运动的路程 模块二：求面积【例14】 如图，点在直径为的上，则图中阴影部分的面积等于_（结果中保留）【答案】连接，的直径为，【例15】 钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）A B C D 【答案】A【例16】 如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，已知扇形和扇形的圆心分别为点、点，且，则图中阴影部分的面积为_（结

9、果不取近似值）【答案】，点为的中点，故答案为：【例17】 如图，等腰的直角边长为4，以为圆心，直角边为半径作弧1，交斜边于点，于点，设弧，围成的阴影部分的面积为，然后以为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧围成的阴影部分的面积为，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积=_【答案】根据题意，得阴影部分的面积【例18】 如图，在半径为，圆心角等于的扇形内部作一个正方形，使点在上，点在上，点在上，则阴影部分的面积为_【答案】【解析】连结，由勾股定理可计算得正方形的边长为，则正方形的面积为，等腰直角三角形的面积为，扇形的面积为，所以阴影部分的面积为【例19】 将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，若

10、，则图中阴影部分面积为_cm2【答案】【解析】此题需要把所在的圆补充完整，设它与线段的交点为，与的交点为从而看出整个阴影部分可以割补成扇形的面积-扇形的面积即【例20】 如图，正方形中，分别以为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）A B C D 【答案】A【例21】 如图，一根5m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），那么小羊在草地上的最大活动区域面积是？=【答案】 【解析】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积；小扇形的圆心角是，半径是1m，则面积，小羊在草地上的最大活动区域面积模块三：

11、与圆锥有关的计算【例22】 如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm，母线长为15cm，那么纸杯的侧面积为_cm2（结果保留）【答案】纸杯的侧面积为×5×15=75cm2故答案为75【例23】 一个圆锥的底面半径为4cm，将侧面展开后所得扇形的半径为5cm，那么这个圆锥的侧面积等于_cm2（结果保留）【答案】圆锥的侧面积=×4×5=20cm2【解析】侧面展开后所得扇形的半径即为圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解【例24】 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高=8

12、米，底面半径=6米，则圆锥的侧面积是_平方米（结果保留）【解析】根据勾股定理求得，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法，求得答案即可【答案】米，米，米，圆锥的底面周长=米，（平方米）故答案为：【例25】 一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1则这个圆锥形零件的全面积是_【答案】底面半径为1圆锥的底面面积为，侧面积为rl=×1×4=4，全面积为+4=5，全面积为5故答案为：5【例26】 将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是，则圆锥的侧面积是_【答案】圆锥的高，底面半径，圆锥的母线三者在一个角是30°

13、的直角三角形中，底面半径是3，母线长是6，底面圆周长是6，圆锥的侧面积是故本题答案为：18【例27】 在RtABC中，C=90°，AC=3，BC=4，将ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是_【答案】由已知得，母线长l=5，半径r为4，圆锥的侧面积是故答案为20【例28】 如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是_cm【答案】把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，扇形的弧长为：扇形的弧长等于圆锥的底面周长，2r=8，解得：r=4cm，故答案为：4【例29】 若

14、圆锥的侧面展开时一个弧长为l6的扇形，则这个圆锥的底面半经是_【答案】16=2r解得r=8故答案为：8【例30】 若用半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长_【解析】本题考查圆锥的的侧面展开图根据图形可知，圆锥的侧面展开图为扇形，且其弧长等于圆锥底面圆的周长【答案】设这个圆锥的底面半径是R，则有解得：R=4故答案为：4【例31】 将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是_度【答案】将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，圆锥侧面积公式为：S=

15、rl=×6×15=90cm2，扇形面积为，解得：，侧面展开图的圆心角是故答案为：144【例32】 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是_度【答案】设母线长为R，底面半径为r，底面周长=2r，底面面积=r2，侧面面积=rR，侧面积是底面积的2倍，R=2r，设圆心角为n，有，n=180°【例33】 已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为_度【答案】圆锥的底面周长=4，n×6180=4，解得n=120°【例34】 将一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的

16、侧面展开图的圆心角是_度【答案】圆锥的底面周长=2×5=10，n×12180=10，n=150°【例35】 用半径为9cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的高为_cm【答案】扇形弧长为：L=6cm，设圆锥底面半径为r，则：2r=6，所以，r=3cm，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，设圆锥高为h，所以，即：=72，h=cm，所以圆锥的高为 cm故答案为：cm【例36】 问题探究：（1）如图所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达点，求蚂蚁爬行的最短路

17、程（探究思路：将圆柱的侧面沿母线剪开，它的侧面展开图如图中的矩形，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段的长）；（2）如图所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，是它的一条母线，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3）如图所示，在的条件下，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程【答案】解：（1），即蚂蚁爬行的最短路程为5（2）连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路程，设为圆锥底面半径，为侧面展开图（扇形）的半径，则，由题意得： ， 是等边三角形，最短路程为（3）如图所示是圆锥的侧面展开图，过作于点 ，则线段AC的长就是蚂蚁爬行

18、的最短路程，蚂蚁爬行的最短距离为 【例37】 铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？（1） 请说明方案一不可行的理由；（2） 判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由【答案】解：连接为两圆的切点，（1）理由如下：扇形的弧长，圆锥底面周

19、长 ，圆的半径 过作 ，为等腰直角三角形，又，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为 ，方案一不可行；（2）方案二可行求解过程如下：设圆锥底面圆的半径为cm，圆锥的母线长为cm，在一块边长为16cm的正方形纸片上，正方形对角线长为cm，故所求圆锥的母线长为 cm，底面圆的半径为cm课后作业【题1】 如图，有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的顶点A的位置变化为AA1A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为( )A10cm B35cmC45cm D25cm【答案】B【解析】点走过的路径长 要归结到点在两次旋转过程中所走过的路线AA1可看做是点绕着点 顺时针旋转得到，此段弧长即为半径为5cm的圆周长的，而A1A2的路线可看做是A1点绕着点C顺时针旋转得到，此时弧长即为半径为3cm的圆周长的两段弧长加在一起即为本题最终答案【题2】 如图，在中，点为中点，将绕点按逆时针方向旋转得到，则点在旋转过程中所经过的路程为_(结果保留)BACD【答案】【解析】根据题