函数的连续与间断PPT课件

1、 函数的连续与间断 我们建立了极限这一研究问题的新工具，下面我们利我们建立了极限这一研究问题的新工具，下面我们利用这一工具来研究函数的性质用这一工具来研究函数的性质连续性。连续性。这一性质是函数的重要形态之一。这一性质是函数的重要形态之一。定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, , 若若)()(lim00 xfxfxx ，则称函数，则称函数)(xf在点在点0 x连续连续. . :定义定义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当)(xf0 x在点在点连续连续一、函数的连续性一、函数的连续性 上述定义可以看出，函数上述定义可以看出，函数y=

2、f(x)在点在点x0连续需满足连续需满足三三个条件个条件：（1） y=f(x)在在x=x0 有定义；有定义；（2） f(x)存在；存在；（3） f(x)=f(x0)；0 xxlim0 xxlim定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如果如果0lim0 yx或或 0)()(lim000 xfxxfx, ,则则称称)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. . ,0 xxx 若记),()(0 xfxfy 若若 x (a,b) , f(x) 都连续都连续,称称f(x)是该区间上的是该区间上的连续连续函数函数,或者说函数在该区间

3、上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例例 f(x)= a x+b; xn在定义域内任一点连续。在定义域内任一点连续。continuecontinue)()(lim, ),(000 xPxPxxx例如例如, ,nnxaxaaxP10)(在在),(上连续上连续 . .( ( 有理整函数有理整函数 ) )又如又如, , 有理分式函数有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续在其定义域内连续. .只要只要,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx例例1. 1. 证明函数证明函数xysin在在),(内连续内

4、连续 . .这说明这说明xysin在在),(内连续内连续 . .同样可证同样可证: : 函数函数xycos在在),(内连续内连续 . .类似可证类似可证: : 函数函数)1, 0( aaayx在在),(内连续内连续 . .2.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf .,)(,),(上连续上连续

5、在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 例例 写写y=|x|例例2 2.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa1sin,0,( )0.0,0,xxf xxxx试证函数在处连续二、连续函数的四则运算性质二、连续函数的四则运算性质定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf ,),(cos,s

6、in内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx三、反函数与复合函数的连续性三、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆

7、连续.又又ax在其定义域连续在其定义域连续 , 则则logax在其定义域内连续在其定义域内连续.).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若定理定理3 3意义意义极限符号可以与函数符号交换顺序极限符号可以与函数符号交换顺序;.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4证证 由复合函数极限运算法则：由复合函数极限运算法则：).(lim)()(lim)(lim00 xfafufxfx

8、xauxx ).()(lim00 xfxfxx 四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在 xy xeln ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间

9、内内都是连续的都是连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义在其定义域内不一定连续域内不一定连续;注意注意例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1 上连续上连续函数在区间函数在区间 2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.112lim30 xxxx1 1)1ln(lim2 xexx3)1ln(2e 一、利用连续性求极限一、利用连续性求极限例3.求求.)1 (

10、loglim0 xxax解解: :例例4.4. 求.1lim0 xaxx解解: : 说明说明: : 当e,a时, 有0 x)1ln(x1e xxx.)21 (limsin30 xxx解解: :例5. 若),0()(lim0 AAxuxx则有,)(lim0Bxvxx )()(lim0 xvxxxu取对数的写法取对数的写法.)21 (lim)21 (lim622100sin3sin3exxxxxxxx xxxxxxexeexx100)1(lim)(lim1 xxexexxexe10)1(lim 2e 解解 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990

11、e求极限求极限 xxxx193lim 例7. 求求.)cos(sinlim11xxxx例2 .设)()(xgxf与均在,ba上连续,证明函数)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上连续.)(, )(min)(xgxfx 二、判断函数连续性二、判断函数连续性93422 xxx在定义域内是连续的。在定义域内是连续的。例例2 2例例1 1思考与练习思考与练习,)(0连续在点若xxf是否连在问02)(, )(xxfxf续? 反之是否成立?反例, 1,1)(xf x 为有理数 x 为无理数提示提示:“反之” 不成立 .)(xf处处间断,处处连续 .)(, )(2xfxf二、函数的间断点及其分类二、

12、函数的间断点及其分类:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfx

13、fxxf 例例4 4.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义可去间断点只要改变或者补充间断处函

14、数的定义, 则可使则可使其变为连续点其变为连续点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点 x.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf3.第二类间断点第二类间断点左右极限至少有一个为左右极限至少有一个为 的间断点又称为无穷间断点的间断点又称为无穷间断点.例如例如例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义

15、处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间xytan) 1 (2x为 间断点 .0 x为 间断点 .xy1sin)2(1x为 间断点 .11)3(2xxy例如:xytan2xyOxyxy1sinOxy1O例例6 6.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy , 0, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数练习,0,0,sin)(21 xxaxxxfx1. 讨论函数231)(22xxxxf间断点的类型

16、.2. 设时，)(xf为连续函数.则则a= )(xfxxe10lim求xe111 例 讨论 的连续性，若间断指出间断点的类型。 解：函数的定义域为x0,因此，在（ ）点函数连续，在（ ）点函数间断。#10015sjgs例 确定函数间断点的类型.xxexf 111)(三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:常见类型为常见类型为无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x