一次函数的应用题分类总结整理

1、实际问题中构建“一次函数”模型的常见方法一、确定解析式的几种方法：1. 根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题； （直表法）2. 已经明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式； （待定系数法）3. 利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式； （等是变形法）二、重点题型1. 根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想；2. 运用函数思想，构建函数模型解决（最值、决策）问题（一）、根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题 特点：当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时，可以根据二者之间的关系直接写出关系式，然后解决问题，1.某办公用品销售商店

2、推出两种优惠方法：购1个书包，赠送1支水性笔；购书包和水性笔一律按 9折优惠书包每个定价20 元，水性笔每支定价 5 元小丽和同学需买 4 个书包，水性笔若干支（不少于 4 支）（1）分别写出两种优惠方法购买费用 y （元）与所买水性笔支数 x （支）之间的函数关系式；（ 2）对 x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；（3）小丽和同学需买这种书包 4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济.2，某实验中学组织学生到距学校 6 千米的光明科技馆去参观， 学生王琳因事没能乘上学校的校车， 于是准备在学校门口改乘出租 车去光明科技馆，出租车的收费标准为： 3千米以下（含 3 千米）

3、收费 8 元， 3 千米以上，每增加 1 千米，收费 1.8 元。（ 1）写出出租车行驶的里程数 x 与费用 y 之间的解析式。（ 2）王彬身上仅有 14 元，乘出租车到科技馆的车费够不够？请你说明理由。3、某市电话的月租费是 20 元，可打 60 次免费电话（每次 3 分钟），超过 60 次后，超过部分每次 0.13 元（1）写出每月电话费 y （元）与通话次数 x 之间的函数关系式； （分段函数）（2）分别求出月通话 50次、 1 00 次的电话费；（ 3）如果某月的电话费是 27.8 元，求该月通话的次数。4、我市某地一家农工商公司收获的一种绿色蔬菜，共140 吨，若在市场上直接销售，每

4、吨利润为 1000元，经粗加工后，每吨利润可达 4500 元，经细加工后，每吨利润为 6500元。该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16 吨；如 果对蔬菜进行精加工，每天可加工 6 吨；但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15 天内（含 15 天）将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此公司研制了两种可行方案：方案一：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的 蔬菜，在市场上直接出售。方案二：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工。 写出方案一所获利润 W 1；求出方案二所获利润 W 2 （元）与精加工蔬菜数 X （吨）之间的函数关系式； 你认

5、为任何安排加工（或直接销售）使公司获利最多？最大利润是多少？5、为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过 7 立方米时，每立方米收费 1.0 元并加收0.2元的城市污水处理费， 超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费， 设某户每月用水量为 X （立方米），应交水费为 y （元）（1）分别写出用水未超过 7立方米和多于7立方米时，y与X之间的函数关系式；（2）如果某单位共有用户 50户，某月共交水费 514.6 元，且每户的用水量均未超过 10 立方米，求这个月用水未超过 7立 方米的用户最多可能有多少户？6、已知雅美服装厂现有 A种布

6、料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产 M N两种型号的时装共 80套。已知做一套 M 型号的时装需要 A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要 A种布料1.1米，B种布料0.4 米，可获利润50元。若设生产n种型号的时装套数为 x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y元。（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2 ）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？7、荆门火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货

7、厢50节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元。（1）设运输这批货物的总运费为 y （万元），用a型货厢的节数为x （节），试写出y与x之间的函数关系式；（2） 已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按 此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。（ 3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？8、某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产 A、 B 两种产品，共 50 件。已知生产一件 A 种产品，需

8、用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克， 可获利润 1200 元。（1 ）按要求安排 A、 B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产 A B两种产品获总利润为 y （元），生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性 质说明（ 1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？9/杨嫂在再就业中心的支持下，创办了 “润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息 买进每份0.2元，卖出每份0.3元； 一个月（以30天计）内，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出12

9、0份. 一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每份0.1元退回给报社填表：一个月内每天买进该种晚报的份数100150当月利润（单位：元） 设每天从报社买进这种晚报 x份（120 WXW200）时，月利润为y元，试求y与x之间的函数关系式，并求月利润的最大值10. A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给 C市10台和D市8台.？已知从A市调运一台机器到 C市和D市的 运费分别为400元和800元；从B市调运一台机器到 C市和D市的运费分别为300元和500元.（1）设B市运往C市机器x 台, ?求总运费 W（元）关于x的函数关系式.（2）若要求总运费不超过

10、 9000元，问共有几种调运方案？ （ 3）求出总运费最低的调 运方案，最低运费是多少？（二）、明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式；特点：所给问题中已经明确告知为一次函数.关系或者给岀函数的图像为直线或直线的一部分时，就等于告诉我们此函数为“一 次函数”，此时可以利用待定系数法，设关系式为：y=kx+b ,然后寻找满足关系式的两个x与y的值或两个图像上的点，代入求解即可。1、某地上年度电价为 0.8元，年用电量为1亿度。本年计划将电价调至0.550.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y （亿度）与（x -0.4 ）（元）成反比例，又当x = 0.65时，y = 0.

11、8。（1）、求y与x之间的函数关系式；（2）、若每度电的成本价为 0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20% ?收益=用电量X （实际电价-成本价）3?小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观2 为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的.察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据:第一档第二档第三档第四档凳高x (cm)37.040.042.045.0桌高y (cm)70.074.878.082.8（1）小明经过对数据探究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求岀这个一次函数的关系式；（不要

12、求写岀x的取值范動；（2）小明回家后，？测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm,凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由.4、某地长途汽车客运公司规定，旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y (元)是行李重量x （公斤）的一次函数，其图象如图所示。 求（1）y与x之间的函数关系式旅客最多可免费携带行李的公斤数。行李票费用元806行李重量（公斤）3我市某工艺品厂生产一款工艺品已知这款工艺品的生产成本为每件60元经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量y（件）与售价x（元）之间存在着如下表所示的一次函数关系.售价x（元）7090销售量y（

13、件）30001000（利润=（售价成本价）X销售量）1）求销售量y（ 件）与售价x（元）之间的函数关系式；2） 你认为如何定价才能使工艺品厂每天获得的利润为40 000元?#5、在抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品.经试验这种药品的效果得知：当成人按规定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升 5微克，接着逐步衰减，至8小时时血液中含药量为每毫升 1.5微克.每毫升血液中含药量 y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示.在成人按规定剂量服药后:# 分别求出x<1, x>1时y与x之间的函数关系式； 如果每毫升血液中含药量为 2微克或2微克以上，对预

14、防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时？6、.已知A、B两城相距600千米，甲、乙两车同时从 A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即沿原路返回下图是它们离A城的距离y （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数图像。（1）求甲车在行驶过程中 y与x之间的函数关系式；（分段函数）（2） 当它们行驶了 7小时时，两车相遇.求乙车的速度.7、甲、乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，各自行进的路程随时 间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：（1）分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s （千米）与时间t （时）的函数解析式；（不要求写出

15、自变量t的取值范围）（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；（3）在（2）的条件下，设乙同学从 A处继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点 B处与乙相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离 是多少千米？5#8 辆快车从甲地驶往乙地， 一辆慢车从乙地驶往甲地， 两车同时岀发，匀速行驶.设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千 米），图中的折线表示从两车岀发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系.（1）根据图中信息，求线段 AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；（2） 已

16、知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画岀快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像。 L5 2 tIt X（时）9春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口岀售的票数3张某一天售票厅排队等候购票的人数y (人)与售票时间x (分钟)的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口(规定每人只购一张

17、票)(1 )求a的值.(2) 求售票到第60分钟时，售票听排队等候购票的旅客人数.(3) 若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票, 旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？以便后来到站的10.在一条直线上依次有 A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口岀发，沿直线匀速驶向 C港，最终达到C港.设yy2与x的函数关系如图所示.甲、乙两船行驶x ( h)后，与B港的距离分别为、y2 ( km )，(1) 填空：A、C两港口间的距离为 km，a二;(2) 求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；(3) 若两船的距离不超过 10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可

18、以相互望见时x的取值范围.甲乙#裁法一裁法二裁法三A型板材块数120B型板材块数2mn(图15是裁法一的裁剪(三) 、利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式；特点：所给题目一般涉及三个以上的量，而这些数量之间往往互相牵制，互有联系，因此要有足够耐心审题并逐个理清两两之间 的关系，书写所要求的函数关系时要注意适当的等量代换！1. 某公司装修需用 A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cmX30 cm，B型板材规格是40 cmX30 cm.现只能购得规格是150 cmx30 cm的标准板材.一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法:示意

19、图)设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁岀的A、B两种型号的板材刚好够用.(1 )上表中，m =，n =;(2) 分别求出y与x和z与x的函数关系式；(3) 若用Q表示所购标准板材的张数，求 Q与x的函数关系式， 并指岀当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？2. “一方有难，八方支援” 在抗击“ 5.12”汶川特大地震灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点按计划 20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满根据表中提供的信息，解 答下列问题：物资种类食品药品生活用品每

20、辆汽车运载量（吨）654每吨所需运费（元/吨）120160100（1）设装运食品的车辆数为 x，装运药品的车辆数为 y .求y与x的函数关系式；（2） 如果装运食品的车辆数不少于 5辆，装运药品的车辆数不少于 4辆，那么车辆的安排有哪几种方案 ？（ 3）在（2）的条件 下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求岀最少总运费.3、辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运三种苹果 42吨到外地销售。按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。（1） 设用X辆车装运A种苹果，用y辆车装运B种苹果，根据下表提供的信息求 y与X之间的函数关系式，并求 X的取值 范围；（2）

21、设此次外销活动的利润为 W（百元），求W与X的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。苹果品种ABC每辆汽车运载量（吨）2.22.12每吨苹果获利（百元）685（四）、根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想。特点：所给问题中并不明确告知函数类型，而让同学自己通过分析数据变化规律，猜测函数类型，并说明理由或加以验证，此 类问题应 “有猜有验”或者要文字说明推断是“一次函数”的理由，常见题型：给问题多是表格形式岀现或者通过描点观察函数图像的形状猜测类型。1.某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y （元）与复印页数x （页）的关系如下表:x（页）1002004001000y（

22、元）4080160400、若y与x满足我们学过的某一函数关系，求函数的解析式；、现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页 0.15元收费。则乙复印社每月收费 y （元）与复印页数x （页）的函数关系为；、在给出的坐标系内画出（1 ）、（ 2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？72. “震灾无情人有情”，玉树地震牵动了全国人民的心，武警某部队接到命令，运送一批救灾物资到灾区，货车在公路A处加行驶时间x （时）01234余油量y （升）150120906030满油后，以每小时 60千米的速度匀速行驶，前往与 A处相距360千米的灾区B处下表记录

23、的是货车一次加满油后油箱内余油 量y （升）与行驶时间x （时）之间关系：（1 ）请你用学过的函数中的一种建y与x之间的函数关系式，说明选择这种函数的理由；要求写岀自变量的取值范围）（2）如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达灾区B处卸去货物后能顺利返回 D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内余油量应随时不少于10 升）（五）、交点问题及直线围成的面积问题方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解; 复杂图形“外补内割"即：往外补成规则图形

24、，或分割成规则图形（三角形） 往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；1、直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。2、已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1）求两个函数的解析式；（2）求厶AOB的面积；3、已知直线m经过两点（1,6 ）、（-3，-2 ），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2, -2），且与y轴交点的纵坐标是-3,它和x轴、y轴的交点是D、C；（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；（2）计算四边形ABCD的面积；（3）若直线AB与DC交于点己，求厶BCE的面积4、如图，A、B分别是x轴

25、上位于原点左右两侧的点，点P （2, p）在第一象限，直线 PA交y轴于点C （0,2），直线PB交y轴于点D, AOP的面积为6；（1）求厶COP的面积；（2）求点A的坐标及p的值；< y（3）" BOP * DOP的面积相等，求直线 BD的函数解析式。5、已知：二2乳+网经过点（-3, -2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线=心+B经过点（2, -2），且与 y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D（1）求直线 '的解析式；6. 如图，已知点 A（2，4），B（ -2，2），C（4，0），求厶ABC的面积如图所示，直线li： y=3x+3与x轴交于B点，与直

26、线12交于y轴上一点A,且S与x轴的交点为C (1, 0 )(1) 求证：/ ABC= / ACB;(2) 如图所示，过 x轴上一点D (- 3, 0 )作DE丄AC于E, DE交y轴于F点，交AB于G点，求G点 的坐标.(3) 如图所示，将 ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点P (P不同于A、C两点)，过P点作 一直线与AB的延长线交于 Q点，与x轴交于M点，且CP=BQ，在 ABC平移的过程中，线段 0M的长度 是否发生变化？若不变，请求出它的长度；若变化，确定其变化范围.G3B一 5 答解：(1 )当 o< x < 7 时，y =(1.°o.2)x = i.

27、2x当 x >7 时，y =(1.5+°.4)(X_7)+1.2X7 = 1.9x_4.9 (2)当x = 7时，需付水费：7X 1.2 = 8.4 (元)当 x = 1° 时，需付水费：7X 1.2 + 1.9 (10-7)= 14.1 (元) 设这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有 a户，则：8.4a 14.1(50 - a) 514.6化简得：5.7a ： 190.4a <333解得：576/. y与x的函数关系式为：y =5x 3600，自变量的取值范围是：40< x < 44.当x = 44时，所获利润最大，最大利润是：5 44 360

28、0 = 3820 (元)y与x之间的函数关系式为：y = - 0.3x 40有三种运输方案：用 A型货厢28节，B型货厢22节；用A型货厢29节，B型货厢21节；用A型货厢30 节，B型货厢20节。方案的总运费最少，最少运费是31万元。/ X = 30 或 31 或 32有三种生产方案：生产A种产品30件，生产B种产品20件；生产A种产品31件，生产B种产品19件；生产A种产品32件，生产B种产品18件。y与x之间的函数关系式为：y = - 500x 60000,（ 1）中方案获利最大，最大利润为45000元。一 9解析（1）由题意，当一个月每天买进100份时，可以全部卖出，当月利润为300元

29、；当一个月内每天买进 150份时，有20天可以全部卖完，其余10天每天可卖出120份，剩下30份退回报社，计算得当月利润为390元.（2）y=2x-x+240=x+240（120WxW200）.由一次函数的性质知，当x=200时，y有最大值，为y=200+240=440（元）.10.W=200x+8600 由题意得 200X+8600W 9000，二 x< 2.又tB市可支援外地6台，0< x< 6.综上0w x w 2， x可取0，1，2，二有三种调运方案； / 0<x w 2,且W随x的值增大而增大，当x=0时，W勺值最小，？最小值是8600元.此时的调运方案是：B市运往C市0台，运往 D市6台；A市运往C市10台，运往D市2台.三 1 解：(1) 0，3.1(2) 由题意，得 x 2y =240，/ y =120 -丄 x .222x 3z =180，二 z =60 x .3(3) 由题意，得Q=x y z=x，120 1 x，60 2 x .2311整理，得由题意1120 x > 0 ! 260 ?x> 0I 3解得x< 90.【注：事实上，0< x< 90且x是6的整数倍】由一次函数的性质可知，当x=90时，Q