R,L,C串并联谐振电路特性分析及应用

1、R、L、C串/并联谐振电路的特性分析及应用摘要：本文对RLC串联、RLC并联及RL-C并联三种谐振电路的阻抗、谐振频率、及品质因数三种特性进行了分析。其中品质因数是电路在谐振状态下最为重要的电路特性，我们从的几种定义出发，着重研究了它对三种最基本的谐振电路的几个重要影响。同时简单介绍了串/并联谐振电路在生活中的具体应用。关键词：谐振电路；谐振特性；品质因数目录0 引言：11 RLC串联与RLC并联及RL-C并联电路阻抗及谐振频率21.1 RLC串联电路的阻抗及谐振频率21.2 RLC并联电路的阻抗及谐振频率21.3 RL-C并联电路的阻抗及谐振频率32 R、L、C串/并联电路的品质因数Q32.

2、1 电路的品质因数Q32.2 谐振电路的品质因数的几点重要性42.2.1 对回路中能量交换及能量储存的影响42.2.2 Q值与谐振电路的选择性42.2.2.1 Q值与串联谐振电路的选择性42.2.2.2 Q值与RL-C并联谐振电路的选择性62.2.2.3 RLC并联谐振回路与RL-C并联谐振回路的品质因数的统一性93 谐振电路在生活中的应用110 引言： 构成各种复杂电路的基础通常是RLC串/并联谐振电路，本文就简单介绍了其三种连接方式如图，而了解这些基本电路的频率特性对于理解更复杂的电路甚至实用电路是非常有益的,并且对于深入了解其它重要的相关特性是十分有帮助的。本文简单阐述了下面三种电路图的

3、Z、及以及一些具体实际的应用。下面是R、L、C串/并联谐振电路的简图，如图1，图2，图3所示。图1, 图2，图3,161 RLC串联与RLC并联及RL-C并联电路阻抗及谐振频率1.1 RLC串联电路的阻抗及谐振频率由图1知RLC串联电路的复阻抗和阻抗分别为电路中的和z以及之间的关系为： (1)由于谐振时，故谐振时的电流 。这是在一定时可能达到的最大电流。当电压角频率满足 即 时RLC串联电路的电流有效值（振幅）取最大值，这相当于机械系统的共振，在电路中称为谐振。是谐振角频率，它可以理解为RLC串联电路的固有角频率，就是说当电压角频率近似等于电路的固有角频率时串联谐振才会发生，这与机械共振条件类

4、似。讨论：令Z的虚部 ，若 时，电路具有纯电阻性，有最小值；若时，当 时，电路就表现出电感性；当 时，电路就表现出电容性。1.2 RLC并联电路的阻抗及谐振频率同理，由 且图2的RLC并联电路图知RLC并联电路的复阻抗Z为令Z的虚部为M，当M=0时解得 此时电路处于并联谐振状态，这里的为谐振角频率。1.3 RL-C并联电路的阻抗及谐振频率同理，由 且图3的RL-C并联电路图知RL-C并联电路复阻抗为： (2)令Z的虚部为M，当M=0时解得当这时并联谐振角频率等于串联谐振角频率，即此时两电路的频率特性基本相同。从上面推导过程我们可以得到，如果电路处于“谐振状态”，那么电路的等效阻抗Z就相当于等效

5、电阻R，用式子表示为Z=R。并且并联电路的电流有效值及谐振频率与串联电路的表达形式相同，都为。所以，在电路元件R、L、C特性参数都相同时串并联谐振电路部分特性类似。但是，在并联电路中所有元件所承受的电压比串联谐振时所承受的电压大的多，所以R较小时，通常了利用串联谐振电路获得较强的电信号。2 R、L、C串/并联电路的品质因数Q2.1 电路的品质因数Q根据“品质因数”Q的定义，可以把图1，图2，图3中的电路的Q写为： (3) (4) (5)可见是一个只由R、L、C决定的参数。2.2 谐振电路的品质因数的几点重要性2.2.1 对回路中能量交换及能量储存的影响我们知道，电能可以被储存在电容器中而磁能可

6、以被储存在电感中，它们并不消耗电磁能，在谐振状态下串联或者是并联电路的LC元件的储能情况如下：中Q值作一定的等量变换如下:而电阻在一周期内所耗损的电能为则我们从能量角度来重新定义Q：Q值表示谐振电路中电容和电感储存的电磁能和每个周期电阻耗损的能量之比的倍。用式子可以把表示为。其中， 表示电容和电感储存的电磁能， 表示电阻每一个周期内耗损的能量。这表明电路的Q值越高，相对于储存一定电磁能量所要付出的能量耗损越小，表征谐振电路的储存能量的效率就越高。2.2.2 Q值与谐振电路的选择性2.2.2.1 Q值与串联谐振电路的选择性当U、R、L、C值一定时，可根据式绘出曲线表示与的关系,如图叫做串联谐振曲

7、线。 2-1串联谐振曲线谐振曲线表明当外加电压（有效值）U及电路参数给定时，电流（有效值）I并非一定，它取决于电压的角频率。这说明RLC串联电路也具有选择频率的性质。将n个有效值相同而频率不同的简谐电动势串联加于RLC串联电路上如图,则每一电源都将激起一个与它同频率的电流。这些电流的有效值各不相同。若有一个电动势的角频率等于电路的谐振角频率，它所激起的电流必定最大，因此可以设法把这个电动势所代表的信号取出。这种选择性被广泛应用于电子电路中。而值较大的对应的电路的选择性比较好。 图用 从多个频率不同的信号源中选择所需的信号如图所示为串联电路的电流和频率的关系曲线图。从图中可看到，电路发生共振，电

8、流达到最大值，称为谐振峰。谐振曲线愈是尖锐的对应的值愈是大。而谐振曲线的尖锐程度决定着电路选频性的好坏，如果曲线比较尖锐那么电路对频率的选择性就比较好。因为这时只要外加电动势的频率稍稍偏离固有频率，它的信号就大大减弱。通常引入通频带宽度这个名词来对频率选择性的优劣程度进行量化说明。人们规定，在谐振两边的值等于最大值的 处对应频宽为“通频带宽度”，即，如下图 所示,说明谐振曲线的尖锐程度决定于的宽度，要想得到选择性较好的电路可以通，过使较小而达到。理论上可以证明，即谐振电路的Q值与成反比，要想使谐振电路的选择性较好可以通过调整电路使Q值较大（能量损耗较小）来达到。 I 10070 0 0 (a)

9、（b）图2-3电路的谐振曲线2.2.2.2 Q值与RL-C并联谐振电路的选择性,即谐振时的感抗远大于电阻。只要小的不多（我们主要关心谐振频率附近的情况），则仍有于是式（2）成为(6) 因而阻抗(7)把上式与（1）比较可知，并联时的曲线与时的曲线在谐振点附近有相同的形状如图2-4.z在谐振时达到最大值： Z 0 图2-4RL-C并联谐振电路的阻抗z与角频率的关系。 谐振时阻抗为最大值如果并联网络的电压（有效值）一定，则网络电流（有效值）在谐振时取最小值： 这与串联谐振恰巧相反。再讨论L支路电流与C支路电流的电流及 (8)可见与相位近似差。谐振时，由式（8）有，即谐振时L支路与C支路电流几乎相等并

10、且是的倍。现给图3电路接一电源如图2-5. iZ E u图2-5并联RL-C电路对电源的选择性我们来讨论当电动势频率变化而有效值不变时谐振电路电压的变化。设电路的阻抗为，而。而 （9）其中及分别是电源的电动势（复有效值）及内阻，为谐振电路的复阻抗。先讨论的特殊情况。这时由式(9)得，代入 得: (10)当和不变而改变时，随按(7)或图2-4的规律变化，固也随按相同的规律变化如图2-6曲线1，这就说明，从电压角度看，并联谐振电路对频率具有选择性。如果用个频率不同而相同的电源串联起来给并联谐振电路供电，则电路两端的电压将出现个频率不同的成分，其中与电路频率相同的成分最大。在电子线路中经常利用这种方

11、法从多频率的信号中选择所需的频率成分。在讨论另一种特殊情况 为零的情况。这时电源的端压（及谐振电路的电压）总与 相等，即，故 曲线为一直线，如图2-6曲线2，这时电路毫无选择性。一般情况下 介于上述两种特殊情况之间，其曲线也介于2-6的曲线1、2之间。如曲线3所示。可见为了提高并联谐振电路的选择性应使用高内阻电源。要准确比较图2-6三条曲线的选择性，可改用为纵轴得图2-7，由图可清楚地看出：曲线1的选择性比3高，而2则毫无选择性。U 2 一般 3 很大 1 图2-6RL-C并联谐振电路中电源内 阻R与电压选择性的关系如下图2-7所示，以为纵轴把图2-6改画为本图可更清楚地比较三条曲线的选择性。

12、 I2 30图2-72.2.2.3 RLC并联谐振回路与RL-C并联谐振回路的品质因数的统一性根据品质因数Q与通频带关系来重新定义Q为：中心频率对通频带的比值记为Q(品质因数)，即其中是谐振频率（中心频率），是通频带的上限频率而是通频带的下限频率。下面用此方法求图三（即RL-C并联谐振电路图）的Q值：根据(7)式得（11）而前边已经求得谐振频当时所对应的信号源频率是通频带的。由（11）式可求得（12）由（12）式解得：（13）下面计算图2的Q值:由 得： （14）而前边已求得，当时对应的信号源频率是通频带的。根据（14）式得 （15）由（15）解得：则图2的 （16）则由（17）RLC并联与R

13、L-C并联的谐振回路的谐振曲线（振幅特性）都如图2-8所示。 > 图2-8由上图可知电路的值大的曲线带宽较窄幅频特性相比较更加尖锐，也就是说电路对频率的选择性更加好，并且在输入同幅度且频率为的电流源信号时，谐振电路两端的电压幅度最大。但图2的品质因数要想Q越大希望R越大而却希望图3的R越小，而R代表回路的损耗电阻，这样看似乎两个Q值关系并不统一，那到底实际上是什么样的呢？下面进一步的简单研究图2图3的电感与电阻的等效关系式：令图3中的 以示区分。图2与图3是可以等效的，这里的等效指的是在工作频率上。由图2和图3以及输入阻抗相同，所以有 （18）将（18）式化简得： （19）我们容易得到：

14、 （20） （21）有（20）、（21）的关系与（13）式并且考虑在谐振频率附近的通常情况下,可以推出由串联的转换成并联的的表达式是： (22) (23)前面已经知道两电路的谐振频率相同，把（22）（23）代入（17）得： (24)由（24）式可知，RLC、RL-C并联谐振电路的实质上是统一的。是因为越小，根据（22）式可以知道等效越大，则即都越大，RLC并联谐振电路与RL-C并联谐振电路的滤波性能都越好。3 谐振电路在生活中的应用由于串联共振时 ，即此时电源电动势是电容或电感两端电压的倍，这一点广泛应用于无线电技术中，如果把微弱的信号电压输入到一个串联共振电路中，这样，与输入信号电压相比，L

15、和C的两端的电压值是其值得许多倍大，然后再将这个电压输入到下一级去。但是在电力系统中由于电源电压本身很高，如果电路在接近串联共振条件下工作，则在L和C两端出现更高电压，这将会引起设备损坏，所以我们应采取措施来尽量避免。谐振电路从频率角度在无线电技术中也有广泛的应用，我们根据实际情况，通常可以采取两种方法实现串联共振：第一种方法是使电源电动势（或信号电压）的频率等于电路的固有频率；第二种方法是当信号电压的频率一定时，可以改变电路参数（如用可调电容器改变电容 ）使 ，从而达到电路共振，例如在收音机的接收回路中，我们调节调谐旋钮，实际上是达到改变电容C的效果，从而实现了电路的固有频率的改变，使它与某

16、一电台的发射频率相同，从而发生共振，达到选择不同电台信号的目的。而从电压角度来分析，并联谐振电路具有明显的选择特性，如果用n个频率不同而有效值相同的电源串联起来给并联谐振电路供电，则电路两端的电压将出现n个不同频率的成分，其中与电路频率相同的成分最大，在电子电路中经常利用这种方法从多频率信号中选择所需的频率成分。如果用电流源激励电路，则当电流源的频率为时，电路上的电压最大；当电源频率偏离时，电路上的电压就减小。这利用的就是电路的谐振（共振）现象。串联谐振电路在实际生活中的应用也十分广泛，随着科学技术的发展和科研人员的辛勤努力谐振电路的一些其他方面的应用被不断发现，下面是一些十分重要的应用。比如

17、，串联谐振电路可以应用在检测信号是否出现故障方面，它还可以使能量在电路之间的转移和传递得以实现，同时串联谐振电路对蓄电池进行恒流充电技术的研发起到举足轻重的作用。此外，利用RLC串并联电路以及它的特性分析也在实际工程中起到不可或缺的效果。比如在压电换能器中的应用。压电换能器是一种器件，它所起的作用是将超声频电能方便的转变成机械振动，我们可将其等效为RLC串/并联电路，通过分析这个等效电路我们可以得到电路的阻抗以及换能器工作频率等特点，通过分析这些特点来优化换能器的匹配。我们应该对R、L、C串/并联谐振电路在我们生活中有更广泛的应用充满信心，因为以科学技术迅猛发展为前提，会有越来越多的科学研究者

18、加入到该项目的研发，努力把研发成果应用到我们的生活中，使我们的生活更便利。就从谐振电路在我们生活中有十分重要的作用出发，作为新时代的大学生的我们就应该学习更多的知识来充实自己，为以后更好的运用它打下基础。参考文献：1 梁灿彬,秦光戎,梁竹建.电磁学M北京：高等教育出版社，2004.5.2 康巨珍,康晓明.电路分析M北京：国防工业出版社，2003.8.3 张玉明,威伯云.电磁学M北京：科学出版社，2007.4 朱新宇.串联谐振电路的典型分析J电气应用，2005.(10)：37.5 林书玉.超声换能器的原理及设计M科学技术出版社，2004. 6 王楚,李椿,周乐柱.电磁学M北京大学出版社，2000

19、.2.7 翁黎朗.电路分析基础M机械工业出版社，2009.9.8 上官右黎.电路分析基础M北京邮电大学出版社，2003.10.9 Hyatt, W.H., Kimberly, J.E. Engineering Circuit Analysis (3rd edition).McGraw-Hill, Inc, 1978.10 Huelsman, L.P. Basic Circuit Theory (2nd edition). Prentice-Hall, Inc., 1974. R, L, C series/parallel resonant circuit analysis of the characteristics and application