2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交

1、 3.i.4 空间向量的正交分解及其 坐标表示 【学习目标】1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题； 2.理解基底、 基向量及向量的线性组合的概念； 3.掌握空间向量的坐标表示, 量的坐标. 问题导学 知识点一空间向量基本定理 思考 1 平面向量基本定理的内容是什么？ 答案 如果ei, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a,有 且只有一对实数 入i,入2，使a=入iei +入 2,其中，不共线的 ei, e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底. 思考 2 平面向量的基底惟一确定吗？ 答案不惟一. 梳理 （i）空间向量基本定理 条件 三个不共面

2、的向量 a, b, c和空间任一向量 p 结论 存在有序实数组x, y, z,使得p= xa+ yb+ zc 基底 条件：三个向量a, b, c不共面. 结论：a, b, c叫做空间的一个基底. 能在适当的坐标系中写出向 2 基向量：基底中的向量 a, b, c都叫做基向量 知识点二空间向量的坐标表示 思考 1 平面向量的坐标是如何表示的？ 答案 在平面直角坐标系中，分别取与 x轴，y轴方向相同的两个单位向量 i , j作为基底， 对于平面内的一个向量 a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x, y,使a= xi + yj，这样，平面内的任一向量 a都可由x, y惟一确定，我们把有序实

3、数对 （x, y）叫做向量 a的坐标，记作a= （x, y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标. 设OA= xi + yj，则向量OA勺坐标（x, y）就是点A的坐标，即若6A匕（x, y），则A点坐标为（x, y），反之亦成立（0是坐标原点）. 思考 2 基底不同，向量的坐标相同吗？ 答案不同. 梳理 空间向量的正交分解及其坐标表示 单位正交基底 有公共起点 0的三个两两垂直的单位向量，记作 &, e2, e3 空间直角坐标系 以e1, e2, e3的公共起点 0为原点，分别以 &, e2, &的方向为x 轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系 O

4、xyz 空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量 P,存在有序实数组x, y, z，使得p = xe1 + ye2+ z&,则把x, y, z称作向量 p在单位正交基底 8, e2, e3下的坐标，记作 p= （x, y, z） 题型探究 类型一基底的概念 例 1 若a, b, c是空间的一个基底.试判断a+ b, b+ c, c + a能否作为该空间的一个基 底？ 解假设a + b, b+ c, c + a共面， 则存在实数 入、使得a+ b=入（b+ c） +卩（c+ a）, a + b=入 b+ i a + （入 + i） c. a, b, c为基底， a, b, c不共面. 1

5、 = i , 1=入， 此方程组无解. 0 =入 + i , - a + b, b+ c, c + a 不共面. a+ b, b+ c, c + a可以作为空间的一个基底. 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法 （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构 3 成基底 方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向 量线性表示，则不能构成基底 假设a=入b+卩c,运用空间向量基本定理，建立 入，卩的方程组，若有解，则共面， 不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底 跟踪训练 1 (1)已知a, b, c是不共面的三个非零向量，

6、则可以与向量 p= a+ b, q= a b 构成基底的向量是( ) A. 2a B.2 b C.2 a+ 3b D.2 a+ 5c 以下四个命题中正确的是 _ . 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示； 若a, b, c为空间的一个基底，贝U a, b, c全不是零向量； 如果向量a, b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 a与b共线； 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底 答案 (1)D (2) 解析(2)因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故不正确； 正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以作基底， 故正确；空间向量 基底是由三个不共

7、面的向量组成的，故不正确 类型二 用基底表示向量 例 2 如图所示，在平行六面体 ABCDAB C D中，a, XD= b, = c, P是CA 的中点，M是CD的中点，N是C D的中点，点 Q在CA上，且CQ： QA = 4 : 1，用基 底a, b, c表示以下向量. B C (1) AP (2) AM (3) AN (4) AQ 解连接AC AD 4 - 1 - 1 - - 1 (1) AP= (AO AA ) = 2(AB+ A叶 AA) = 2(a+ b+ c). XM= 2(XC Al?) = 1( a+ 2b + c) = /+ b + c. XNl= 2( + Act ) =

8、1( AB+ XD+A? ) + (XDA? ) = 2a+ b+ c. ? ? ? ? 4 X X 4 X X 1 X 4 X 1 X X 4 X 1 1 (4) AQ= AC+ CQ= AC+-CA = AC+-( AA _A0 = -AC+-AA =-(AB+ A| + AA =-a+_b + 5 5 555 555 4 5. 反思与感悟 用基底表示向量的步骤 (1) 定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 (2) 找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形 法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果 (3)

9、 下结论：利用空间向量的一个基底 a, b，c可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结 果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量 . 跟踪训练 2 如图所示，空间四边形 OAB(中, G H分别是 ABC OBC勺重心，设OA= a， B= b，c.试用向量a，b，c表示向量H 解/ H OBC勺重心，D为BC的中点， X 1 X X X 2 X 2 1 X X 1 OD- 2( O內 OC，OH= 3OD- 3x -(O聊 OC = 3( b+ c). 2 3 3 2 3 A 2A A A A 又 OG= OAF AG= OA 3AD AD- O亠 AA OG=陥 |x 1(XBXC -

10、|OA= 3(OAF BXC = 1(a+ b+ c). 3 2 3 3 3 / GH= H- G X 1 1 1 GH= 3( b+ c) 3(a+ b+ c) = 3a. 类型三空间向量的坐标表示 例 3 棱长为 1 的正方体 ABC A B C D中，E、F、G分别为棱 DD、D C、BC的 中点，以AB, A?为基底，求下列向量的坐标.5 （1）AE AG AF； EF, EG DG 打 f f f f 1 - A f 1 - A 解 （1） AE= AM DE=AD QDD = AM Q-A = 1,2 o, f f f f 1f AG= AB+ BG= AB+ f - A - A

11、- A - A f 1 f AP AA + AD + DF = AA + ADV qAE 0, 1 1 , B= 2 1, 1 EF= AF fE=（ Af + AU2AB-（AU押）=昇 + 2AB=匕 fG= AG- Afe=（AB+ 1AD - （At 昇）=AB- 1AD-昇 f f f f 1f f f 1 f 1 DG= AG- At= AB+ QAD At= AE AD= （1， q, 0）. 1，- 2, 1 2, 1 2， 引申探究 本例中， 若以DA Die DB为基底， 试写出 AE AG EF的坐标 解 AE= At fE= DAF 2D= （ 1 , 0, 1）, f

12、 f f f 1f 1f f AG= ABT BG= DO （ QDA = QD/V DC=（ 21, 0）, fF= 1-f+ 1fC= （0 , 2, 反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤 跟踪训练 3 空间四边形 OAB（中, OA= a, fB= b, f（= c,点 M在 OA上，且 Ol= 2MA N为 6 BC的中点，MN在基底a, b, c下的坐标为 _ 2 1 1 3，2，2 解析 / OM 2MA点M在OA上, 2 0M= -OA 3 OM-1( OE- OC = -a- 2b + 2c = 当堂训练 1. 在以下三个命题中，真命题的个数是 ( ) 三个非零向量a、b、c不

13、能构成空间的一个基底，则 a、b、c共面； 若两个非零向量 a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a、b共线； 若a、b是两个不共线的向量，而 c=入a- it b(入、卩 R 且入卩工 0)，则a, b, c构 成空间的一个基底. A. 0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 正确基底的量必须不共面；正确；不正确 .a, b不共线，当c =入a- t b时， a、b、c共面，故只有正确. 2. 已知点A在基底a, b, c下的坐标为(8 , 6, 4)，其中a= i + j , b = j + k, c = k + i，则 点A在基底i , j , k下的坐标是( ) A.(

14、12 , 14, 10) B.(10 , 12, 14) C.(14 , 12 , 10) D.(4 , 3 , 2) 答案 A 解析 设点A在基底a , b , c下对应的向量为 p,贝U p= 8a+ 6b+ 4c= 8i + 8j + 6j + 6k+ 4k + 4i = 12i + 14j + 10k ,故点 A在基底i , j , k下的坐标为(12 , 14 , 10). 3. 若 a= e1 + e2+ & , b= e1- e2- & , c= e1- e?+ e3 , d= e1-2e2+ 3e3 , d= a a- 3 b+丫 c , 则a , 3 , Y的

15、值分别为 _ . “亠 5 1 答案 2, 1, 2 解析 T d = a (e1 - e2 + e3)+ 3 (e1 - e2 e3)+ 丫 (e1 e2 + e3)= ( a 3 Y ) e1 + ( a 3 Y ) e2 ( a 3-Y ) e3= e1 2e2 3e3 ,答案 MN= MO- ON=- 7 ” 5 a + 3 +Y= 1 , a 2 二 a + 3 - 丫 = 2 , 3 =- 1 , a 3 + Y = 3, 1 I Y = 2. 4.如图所示，在长方体ABC-ABCD中建立空间直角坐标系已知AB= AD= 2, BB= 1,则AD 的坐标为 _ , AG的坐标为 _

16、 答案(0, 2, 1) (2 , 2, 1) 解析 根据已建立的空间直角坐标系知 A(0 , 0, 0) , G(2 , 2, 1) , D(0, 2 , 1)，则AD的坐 标为(0 , 2, 1) , AG的坐标为(2 , 2, 1). 5.在四面体 OAB中,OA= a , 3* b , OG= c , D为BC勺中点，E为AD的中点，则OE= a , b, c表示) 答案 2a+4b+ jc 1 11 1 解析 OE= OAF 尹=OAF 2(AB+ AG = OAF4x(81 OAv O- OA 3 13 1 1 1 。內 4OC= 2a+ 4b+4 p-规律与方迭 - 1. 基底中

17、不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量 都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量 2. 空间几何体中，欲得到有关点的坐标时， 先建立适当的坐标系， 一般选择两两垂直的三条 线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示， 即得 所求向量的坐标. 3. 用基底表示空间向量， 一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边 形法则，加法、减法的三角形法则 .逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示 40 分钟课时作业 、选择题 _ .(用 c. 8 1. 以下四个命题中正确的是 （ ） A. 基底a, b, c中

18、可以有零向量 B. 空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底 C. ABC为直角三角形的充要条件是 XB- AC 0 D. 空间向量的基底只能有一组 答案 B 解析 使用排除法因为零向量与任意两个非零向量都共面，故 A 不正确； ABC为直角三 角形并不一定是 XB- AC= 0，可能是Bo- A= o,也可能是CA- 6B= o,故C不正确；空间基 底可以有无数多组，故 D 不正确 2. 下列说法中不正确的是 （ ） A. 只要空间的三个向量的模为 1,那么它们就能构成空间的一个单位正交基底 B. 竖坐标为 0 的向量平行于x轴与y轴所确定的平面 C. 纵坐标为 0 的向量都共面

19、D. 横坐标为 0 的向量都与x轴上的基向量垂直 答案 A 解析 单位正交基底除要求模为 1 夕卜，还要求三个向量两两垂直 3.若向量XA MB XC勺起点M和终点A, B, C互不重合且无三点共线，则能使向量 MA MB M成为空间一组基底的关系是 （ X 1 X 1 X 1X A.OMk 3O用 3。聊 3OC 3 3 3 答案 C 解析 对于选项 A,由结论OM= xOAbyOBzOCx + y + z = 1）? M A, B, C四点共面知，MA MB X（共面；对于 B, D 选项，易知MA MB 共面，故只有选项 C 中MA MB加不共面. 4.已知点 O A, B, C为空间不

20、共面的四点，且向量 a=OAF OB OC向量b= OAF OB- OC 则与a , b不能构成空间基底的向量是 （ ） A.OA B. OB C. OC D. OA或 OB 答案 C _X 1 1 解析 TOO3a尹且a , b不共线， ) B. MA= MBF C C.OM= OAF OBb OC D.MA= 2MB- 9 a , b , 3（共面， 0（与 a , b不能构成一组空间基底 5. 已知i、j、k是空间直角坐标系 Oxyz的坐标向量，并且 AB= i + j k，则B点的坐标为 ( ) A.( 1 , 1, 1) B.( i , j，一 k) C.(1， 1, 1) D.不确

21、定 答案 D 解析 向量AB勺坐标与B点的坐标不同. 由于A点的坐标未知，故无法确定 B点坐标. 6. 设OAB(是四面体，G是厶ABC的重心，G是 0G上的一点，且0G= 3GG 若0G= xOA yOB zOC 则(x, y, z)为( ) A p 1 n B a 3 3)C1 n D 2 2、 A. 4，4，4 B. 4，4，4 C. 3，3，3 D. 3，3，3 答案 A 解析 如图所示，连接AG交BC于点E ,则点E为BC中点，XE= (AB+ AC = (OB- 2OAF 0(, T 1 T T T AG= TAE= 3( OB- 20AF OC , 3 3 T 0G= 3GG=

22、3( OG OG , =-OAF $內-TC 故选 A. 4 4 4 、填空题 7. 如图所示,在正方体 ABCDAiCiD 中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为 1,则人曲勺 10 坐标为 _ , DC勺坐标为 _, BD勺坐标为 _ , 答案(1, 0, 0) (1, 0, 1) ( 1, 1,- 1) 解析 DC= AA+XB BD= BA + BC+ E3B= Xis+Xb-AA. 8. a, b, c为空间的一个基底， 且存在实数x, y, z使得xa+ yb+ zc = 0,则x= _ , y= _ , z= _ . 答案 ooo y z 解析 若x, y, z中存在一个不为 0

23、 的数，不妨设x丰0,则a= -b -6二a, b, c共面. x x 这与a, b, c是基底矛盾，故 x = y= z=0. 9. 已知四面体 ABCDh 辰a 2c, CD= 5a+ 6b 8c，对角线 AC, BD的中点分别为 E, F, 则 EF= _ . 答案 3a+ 3b 5c 解析 如图所示，取BC的中点G,连接EG FG 10.若四边形ABCD为平行四边形，且 A(4 , 1 , 3) , B(2 , 5 , 1) , C(3 , 7 , 5)，则顶点D 的坐标为 _ . 答案(5 , 13 , 3) 解析 由四边形 ABCDI平行四边形知 AD BC, 设 D(x , y , z),则 AD (x 4 , y 1 , z 3) , BC= (1 , 12 , 6), x 4 = 1 x = 5 所以y 1 = 12 ，解得y = 13 , z 3= 6 z = 3 即D点坐标为(5 , 13 , 3). 三、解答题 11. 已知向量p在基底a , b