第二节-复化求积公式和龙贝格求积公式培训讲学

1、第三节第三节 复化求积公式复化求积公式(gngsh)(gngsh)将积分区间将积分区间 分成若干个分成若干个小区间小区间，然后在每个小区，然后在每个小区间上采用间上采用低阶低阶的的牛顿牛顿- -柯特斯柯特斯公式。然后将所有小区间公式。然后将所有小区间的计算结果加起来。的计算结果加起来。 , a b一、复化梯形一、复化梯形(txng)公公式：式：将积分区间将积分区间 n等分等分： , a b分点分点,kbaxakh hn 在区间在区间 上采用梯形公式上采用梯形公式10 11,(, ,)kkxxkn 110( )( )( )kknbxaxkI ff x dxf x dx 112( )( ()(),

2、kkxkkkxhIf x dxf xf x 1102()()nkkkhf xf x 第一页，共27页。复化梯形复化梯形(txng)公式公式1122( )( )()( )nnkkhTff af xf b 复化梯形复化梯形(txng)公式的几何意义公式的几何意义小梯形面积小梯形面积(min j)之和近似之和近似( )yf x 第二页，共27页。复化梯形复化梯形(txng)公式的余项公式的余项设设2( ) , f xCa b 212( )( )( )nnbaRfITfh f ，则余项估计，则余项估计(gj)式为：式为：的误差的误差(wch)是二阶的。是二阶的。由上式可知，误差与由上式可知，误差与 同

3、阶，此时称同阶，此时称复化梯形公式复化梯形公式2h误差的阶数越高，精度越好！误差的阶数越高，精度越好！第三页，共27页。二、复化辛蒲生公式二、复化辛蒲生公式(gngsh)：分点分点,kbaxakh hn 在区间在区间 上采用上采用辛蒲生辛蒲生公式公式10 11,(, ,)kkxxkn ( )( )baI ff x dx 110( )kknxxkf x dx 1110246()()()nkkkkhf xf xf x 其中其中(qzhng)122()()kkhf xf x 将积分区间将积分区间 n等分：等分： , a b111246( )( ()()(),kkxkkkxkhIf x dxf xf

4、xf x 第四页，共27页。复化辛蒲生公式复化辛蒲生公式(gngsh)111012426( )( )()()( )nnnkkkkhSff af xf xf b 复化辛蒲生公式复化辛蒲生公式(gngsh)的几何意义的几何意义小抛物面积小抛物面积(min j)之和近似之和近似( )yf x 第五页，共27页。复化辛蒲生公式复化辛蒲生公式(gngsh)的余项的余项设设4( )( ) , f xCa b 441802( )()()( )nnbahRfISff ，则有余项估计，则有余项估计(gj)式式复化辛蒲生公式中复化辛蒲生公式中“半点半点(bndin)”的处理的处理可将整个区间等分成可将整个区间等分

5、成偶数个偶数个小区间，每两个小区间小区间，每两个小区间合并起来视为复化辛蒲生公式中的一个小区间。合并起来视为复化辛蒲生公式中的一个小区间。第六页，共27页。111100427321290()( )()()nnnkkkkhCff af xf x 1130143214()()( )nnkkkkf xf xf b 类似地，可以得到类似地，可以得到(d do)复化柯特斯公式复化柯特斯公式它的余项为它的余项为6629454( )()()()( ), ( , )nnbahRfICffa b 第七页，共27页。例例2 2：将：将0,10,1区间区间(q jin)(q jin)八等分，根据如下函数八等分，根据

6、如下函数值表，利用复值表，利用复化梯形公式、复化辛蒲生公式计算积分化梯形公式、复化辛蒲生公式计算积分 的近似值。的近似值。10sin xIdxx 0 1/8 1/4 3/8 10.997398 0.989688 0.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 10.958851 0.936156 0.908858 0.877193 0.841471ix()if x解：解：分别采用分别采用(ciyng)(ciyng)复化辛蒲生公式、复化梯复化辛蒲生公式、复化梯形公式形公式第八页，共27页。复化梯形复化梯形(txng)公式公式1122()( )()( )nnkkhTff af xf b 复化辛蒲

7、生公式复化辛蒲生公式(gngsh)111012426( )( )()()( )nnnkkkkhSff af xf xf b 第九页，共27页。复化梯形复化梯形(txng)(txng)公式公式(n = 8)(n = 8)，复化辛蒲生公式复化辛蒲生公式(gngsh)(n = 4)(gngsh)(n = 4)，81113022 8848153712848( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )T ffffffffff 18h 0 945692. 411357046 4888811321424( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )Sffffffffff 0 9

8、460832. 14h 0 946083070367.第十页，共27页。（1）使用使用复化复化梯形公式、梯形公式、辛蒲生辛蒲生公式，首先要确定步长公式，首先要确定步长 ；h（2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数(do sh)的估计；的估计；（3）高阶导数的估计一般）高阶导数的估计一般(ybn)比较困难，且估计值往往比较困难，且估计值往往偏大；偏大；（4）计算机上实现起来不方便）计算机上实现起来不方便(fngbin)，通常采用，通常采用 “事后事后估计法估计法”。三、三、积分步长的积分步长的自动自动选取选取：注意事项：注意事项： 基本思想基本思想

9、：将积分区间将积分区间逐次分半，逐次分半，比较前后两次的近似值比较前后两次的近似值 终止法则终止法则：前后两次近似值的误差小于已知精度前后两次近似值的误差小于已知精度2nnII 第十一页，共27页。 具体具体(jt)过程（以复化梯形公式为例）过程（以复化梯形公式为例）1、首先将区间首先将区间 n等分：等分： , a bbahn 1122( )()( )nnkkhTf af xf b 2、再将区间再将区间 2n等分，即步长减半：等分，即步长减半： , a b12hh 11121102222( )()()( )nnnkkkkhTf af xf xf b 1102122()nnkkhTf x 122

10、()()kkhf xf x 第十二页，共27页。上述条件满足，程序终止；否则上述条件满足，程序终止；否则(fuz)，继续分半计算。，继续分半计算。3、终止、终止(zhngzh)条件：条件：由复化梯形由复化梯形(txng)公式的余项公式的余项知知2112()()nba baITfn 222122()()nba baITfn 24nnITIT ( )fx 变化不大变化不大时时由此得到近似关系式由此得到近似关系式2214 1()nnnITTT 误差控制条件误差控制条件214 1()nnTT 第十三页，共27页。例例3 3：根据如下函数值表，利用复化梯形公式计算：根据如下函数值表，利用复化梯形公式计算

11、(j (j sun)sun)积分积分 的近似值，要求误差不超过的近似值，要求误差不超过 。10sin xIdxx 0 1/8 1/4 3/8 10.997398 0.989688 0.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 10.958851 0.936156 0.908858 0.877193 0.841471ix()if x解：解：先在整个区间上用先在整个区间上用(shn(shn yn yn) )梯形公梯形公式式60 5 10. 第十四页，共27页。110010 92073562( ( )( ).Tff 然后将区间二等然后将区间二等(r dn)分，利用递推公式求出分，利用递推公式求出

12、211110 9397933222( ).TTf12102122(), nnnkkhbaTTf xhn 递推公式递推公式(gngsh)进一步二分积分进一步二分积分(jfn)区间，类似可求出区间，类似可求出4211130 94451532444 ( )( ).TTff如此不断二分并利用递推公式，可得下表中的结果如此不断二分并利用递推公式，可得下表中的结果第十五页，共27页。2kn k 表示二分次数，区间数表示二分次数，区间数knTknT1234567890.93979330.94451350.94569090.94598500.94605960.94607690.94608150.9460827

13、0.9460830由表中可以由表中可以(ky)看出，对分看出，对分8次和对分次和对分7次之间的差次之间的差8762210 00000040 5 103().TT 因而因而 是满足精度要求的解。是满足精度要求的解。820 9460827.T 误差控制条件误差控制条件214 1()nnTT 第十六页，共27页。收敛收敛(shulin)速度慢速度慢 对于对于(duy)复化辛蒲生公式、柯特斯公式可以类似得到复化辛蒲生公式、柯特斯公式可以类似得到222141()nnnISSS 223141()nnnICCC 不足不足第十七页，共27页。加速加速(ji s)收敛收敛2214 1()nnnITTT 2221

14、41()nnnISSS 223141()nnnICCC 应用步长逐次减半应用步长逐次减半(jin bn)(jin bn)得到的复化梯形值、复化得到的复化梯形值、复化辛蒲生值、复化柯特斯值与精确值的比较辛蒲生值、复化柯特斯值与精确值的比较nS nC nR 第十八页，共27页。第四节第四节 龙贝格求积公式龙贝格求积公式(gngsh)(gngsh) 龙贝格积分龙贝格积分(jfn)思想思想由上节分析知，用由上节分析知，用复化复化梯形公式计算积分值梯形公式计算积分值I2nT的的误差误差大约为：大约为：213()nnTT 令令2213()nnnITTT243nnTT 由复化梯形由复化梯形(txng)(tx

15、ng)公式知公式知12102122()nnnkkbaTTf xn 第十九页，共27页。12102412333()()nnnnkkTTbaTf xn 1122( )()( )nnkkbaTf af xf bn 11102246( )()()( )nnkkkkbaf af xf xf bn nS 111012426()( )()()( )nnnkkkkhSff af xf xf b 第二十页，共27页。梯形公式梯形公式(gngsh)的加速方的加速方法：法：2244134 14 1nnnnnTTSTT 利用利用复化复化梯形梯形公式前后两次的积分近似值公式前后两次的积分近似值 和和 ，2nTnT按按照

16、上式作出的照上式作出的线性组合线性组合是具有是具有更高精度更高精度的的积分值。积分值。龙贝格积分龙贝格积分(jfn)公式正是由此产公式正是由此产生！生！上述上述(shngsh)公式说明：公式说明：第二十一页，共27页。龙贝格龙贝格 值序列值序列(xli)辛蒲生加速辛蒲生加速(ji s)公公式：式：222441nnSS 柯特斯加速柯特斯加速(ji s)公式：公式：323441nnnCCR 类似于梯形加速公式的处理方法，得到：类似于梯形加速公式的处理方法，得到：222141()nnnISSS 222441nnnSSC 223141()nnnICCC 323441nnCC 柯特斯柯特斯 值序列值序列

17、第二十二页，共27页。上述用若干个积分上述用若干个积分(jfn)(jfn)近似值算出更精确的积分近似值算出更精确的积分(jfn)(jfn)近近似值的方法，称之为外推法。似值的方法，称之为外推法。4个积分个积分(jfn)值值序列：序列： 2kT梯形梯形(txng)值序列值序列辛蒲生值序列辛蒲生值序列龙贝格值序列龙贝格值序列柯特斯值序列柯特斯值序列 2kS 2kC 2kR1222441kkkTTS 122222441kkkSSC 132232441kkkCCR 第二十三页，共27页。外推法的计算外推法的计算(j sun)步骤步骤1T2T4T8T16T1S2S4S8S1C2C4C1R2R32T16S

18、12102122()nnnkkbaTTf xn 8C4R第二十四页，共27页。例例3 3：利用利用龙贝格龙贝格积分法式积分法式计算积分计算积分要求精确到小数点后面要求精确到小数点后面7位。位。1 5011.Idxx 解：解：11( )f xx 11 501 51 052. ( )( . ).Tff 根据根据(gnj)龙贝格积分法计算得龙贝格积分法计算得2111 50 750 9535714292.( .).TTf 21140 9214285713.TTS 第二十五页，共27页。4210 750 751 1250 9259835752. ( .)( .).TTff 42240 916787624