2018年高考数学一轮复习考点一篇过专题35直线的位置关系理

1、专题 35 直线的位置关系(1)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直(2)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(3)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离、两条直线的位置关系斜截式 Tl2: y = k2x + p一般式t Zx + By + Gl2:A2X+B2y +C2= 0l1与l2相交A| B?_ A2B1式0l1与l2垂直kk=1A A2 +B1B2= 0l1与l2平行K = k2且 d 式b2A B2 A?B1= 0A B2 A?B = 0或fF1C2 B2G鼻0kAC_AG H 0l1与l2重合k= k?且 d= b?A B2- A Bi

2、= AC2- A2G = 3 C2- B2G = 0注意：(1)当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；(2)当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.、两条直线的交点对于直线li：Aix+By+ G= 0,l2：Ax+Ry+C2= 0,l1与l2的交点坐标就是方程组1的解.B2y C2= 0A2X(1 )方程组有唯一解h与 J 相交， 交点坐标就是方程组的解;(2)方程组无解二Jl2；(3 )方程组有无数解l1与l2重合.二、距离冋题(1 )平面上任意两点Pi(xi,yi),F2(X2,y2)间的距离 |PF2| =7(x2-(y2- y1)2.

3、(2) 点F0(x。，y。)到直线l:Ax+By+C= 0 的距离d=1Ax_By二C1.- 2 -TAW(3) 两条平行线Ax+By+G= 0 与Ax+By+G= 0(C G)间的距离d=|Cl一Cj四、对称问题(1)中心对称：点B(x, y)为点AyJ与C(X2,y2)的中点，中点坐标公式为x=22V 2(2)轴对称：若点P关于直线 I 的对称点为P，贝UPP直线1与p的中点在|上点考向考向一 两直线平行与垂直的判断及应用由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看

4、是否出现增解或漏解 典例引领典例 1 (1)若直线ax+2y6=0与x + ( a 1 )y+ a21 = 0平行，贝Va=_ .(2)已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线|1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_.【答案】(1) 2 或-1； (2) 1 或 0.【解析】 因为两直线平行，所法有心一1) = 2,BP-A-2 = 0,解得2或“-1-当a=0时，12的斜率k2= -21L1-2a.a -0a1 2a因为li _ I2,所以kik2- -1，即a1,解得a=i.a当a=0 时，P(0, -1),Q(0,0)，这时直线l2为y轴

5、，A( -2,0),B(1,0)，直线h为x轴，显- 3 -然 h _ l2.综上可知，实数a的值为1 或 0.变式4s展1.直线|1的斜率为 2,l1II l2，直线12过点-1,1，且与y轴交于点P,则P点坐标为A.3,0B.：；-3,0C.0,-3D. 0,3考向二两直线的相交冋题1. 两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交 点的坐标.2. 求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线 方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程典例引领

6、典例 2 已知直线I经过直线 2x-y-3=0 和 4x-3y-5=0 的交点 P,且垂直于直线 2x+3y+5=0,求直线I的方程.【答案】直线l的方程为 3x-2y-4=0.- 4 -2xy 3 = 0壮_3 卩-5=卩解得 0 =芒即点P的坐标为 Q1），因为直线与直线加切廿=0 垂直,所叹直线的斜率为 I，由点斜式得直线/的方程为孑阿伞或:*鳥,解得 = 2即点戶的坐标为 2U,因为直线与直线 2x+3y+5=0 垂直，所以可设直线I的方程为 3x-2y+c=0,把点P的坐标代入得 3X2-2X1+C=0,解得c=-4.故直线I的 方程为 3x-2y-4=0.方法三：直线I的方程可设为

7、 2x-y-3+入（4x-3y-5）=0（其中入为常数）,即一一2 + 4入2（2+4 入）X-（1+3 入）y-5 入-3=0,因为直线I与直线 2x+3y+5=0 垂直，所以 - （）=-1,解1+3k3得入=1.故直线I的方程为 3x-2y-4=0.变式拓展2.若两条直线 2x-m什 4=0 和 2mx+ 3y-6=0 的交点在第二象限，则m的取值范围是B.G,0)D. （2,：）考向三距离问题1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形 状等.2. 解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定

8、斜率法，此时必须讨论斜率是否存在3. 求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.典例引领方法二： 由彳A（3,2）- 5 -典例3(1)若点A(2 , 3) ,B( 4, 5)到直线I的距离相等，且直线l过点P( 1,2)，则直 线I的方程为;(2)若直线m被两直线I1：xy+ 1= 0 与12:xy+ 3= 0 所截得的线段的长为2 2，则直线m的倾斜角0(0为锐角)为_.【答案】(1)x+ 3y 5= 0 或x= 1; (2) 15 或 75【解折。方法一当直线的斜率不存在时，直尸-X 点儿選到直线 d 的

9、距离相等符合题青. 当直线/的斜率存在叭 设盲线的方程为丁-2 二甌即 to- + A+2=0.二直线 I 的方程为 y-2=扌(兀+ 即 x + 3y-5=o.综上，直线I的方程为x+3y-5=0或兀=-1 方法二 当肋/M时，有血=3=-直线d的方程为閉-2二-口+1),即x+3y-XS当过血的中点时，由廊的中点为(-咧，得直线(的方程为尸-1.综上，直线？的方程为x+3y-5=C或尸T 显然直线h It h,直线山，b之间的距离N =设直线曲与山血分别相交于点员A9则AB=22 ,过点A作直线/垂直于直线A,垂足为G贝J|Aq= 2 ,在RtAABC中，sin /ABCI =2=，所以/

10、AB(=30,| AB| 242 2又直线I1的倾斜角为 45,所以直线m的倾斜角为 45 30 =15或 45 +30 =75 故直线m的倾斜角0=15或 75.变式拓展3.已知直线I与直线丨1： 3x-y+ 3=0 和丨2： 3x-y-仁0 的距离相等，则直线I的方程是考向四对称问题解决对称问题要抓住以下两点：(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直；(2)以已知点和 对称点为端点的线込3气即片】十汩斗解得匸斗尿+1- 6 -段的中点在对称轴上.- 7 -典例引领典例 4 已知直线l:3x-y+3=0,求：(1) 点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；(2) 直线x-y-2=0 关于直线l

11、对称的直线方程【答案】(1) (-2,7) ;( 2) 7x+y+22=0.【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0 的对称点为P(x,y).kppkl=-l, 3=-1,x -X又PP的中点在直线 3x-y+3=0 上， 3 宀宀+划-95=長+知+3r5(把 Z 尸 5 代入得工 7 产入二珂沽戻于直线/的对称点P的坐标为刀 用分别代换叶M中的吋得关于/对称的直线方程为 仝字二2一迁2一2=0,即 7x+y+22=0.变式拓展4如图，在等腰直角三角形ABC中，AB= AC=4，点P是边AB上异于A B的一点，光线从 点P出发，经BC, CA发射后又回到原点P.若光线QF经过三角形

12、ABC的重心，则求AP的 长.x x-y y+3=0.2 2联立， 解得- 8 -求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点典例引领典例 5 求证：不论m取什么实数，直线（2m- 1）x+ （m+ 3）y（m- 11） = 0 都经过一个定点，并 求出这个定点的坐标.【答案】详见解析【解析】证法一：对于方程 (2 m- 1)

13、x+ (m 3)y ( m-11) = 0, 令戢得 x-3-ll=0| 令 得 x + 4y+10=0.将点（2, 3 只弋入已知直线方程左边，得卩曲一 1）或+11） =4 战2加一 9用+11=0,这表明不论槪为什么实数所给直线 i 潞过定点 T）.证法二：以肮为未知数，整理为（4 十y1）曲+（址十曲一五 +p -1 = 0；-x4-3y + ll = 0所以所给的直线不论m取什么实数，都经过定点(2 , - 3).x+4j4-10=0得两直线的交点为（芻-3）.由于槪取值的任意性，所仪考向五直线过定点问题- 9 -变式拓展5.已知直线I:kxy+ 1 + 2k= 0(k R).(1)

14、 证明：直线I过定点；(2) 若直线I不经过第四象限，求k的取值范围.芦点冲知氏1.过点(2,1)且与直线x+2y-仁 0 平行的直线方程是A.x-2y-2=0B.x-2y+2=0C.x+2y-4=0D.x+2y+4=0i 1 f fl/Jy 3177H17 fr2.干三”是直线 2ax+(a-1)y+2=0 与直线(a+1)x+3ay+3=0 垂直”的hJA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2019TT3.已知倾斜角为a的直线I与直线x+2y-3=0 垂直,则COS(-2a)的值为B.C. 24.若直线l1:x+ay+6=0 与12:(a-2)x+3y+2

15、a=0 平行，则两直线间的距离为A.D.- 10 -B. -16.在平面直角坐标系中，已知双曲线1,过 的左顶点引的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及 轴围成的三角形的面积为A.1C.D.:2 27.已知圆Qx+y=4 上到直线l:x+y-a的距离等于 1 的点至少有 2 个，则实数a的取值范围为A.（一3、232）B. （-8,-3）U（3，+s）C. （-2,2）D. -3,3&设点M是圆C x2+y2-4y+3=0 上的一个动点，则点M到直线l:x-y+3：=0 的最大距离为A. +1B. 1-C.D. +2A.B. 25.若过点P(2,2)且与直线ax+y+1=0 垂

16、直的直线2 2l被圆x+y=9 所截得的弦长为2,则a=A. 3B. -3D. 1B.- 11 -9 求经过点二的直线，且使！宀，匚；.到它的距离相等的直线方程A. 4x - y - 2 = 01 110.已知点Rmn)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,则()+()n的最小值为A. -3C. 1611 .若直线- - - / - -与直线：匸-二 一十-互相垂直，则实数a =12.已知直线：一匸-二与直线 Im “门平行，则它们之间的距离为_ .13 .直线a：2x+y-4=0 关于直线l:3x+4y-1=0 对称的直线b的方程为_.a14.已知函数f(x)=ex (a R,e 为自

17、然对数的底数)的导函数f (x)是奇函数，若曲线y=f(x)在(X0,f(x。)处的切线与直线x+y+1=0 垂直，则x=_ .iax + y - 1 = 0,15.若关于的方程组-：，一 有无数多组解，则实数_ .16.若；，为圆一的弦/的中点，则直线爪的方程是_ .x217.已知双曲线C:-y2=1 与直线l:x+ky+4=0,若直线I与双曲线C的一条渐近线C. =“0.若I1丄12,且11过点(1,3).(1) 求11,12的方程 ;(2) 若光线沿直线11射入,遇到直线x=0 后反射，求反射光线所在的直线方程.- 15 -既矣考答案.变式拓展-1.【答案】D【解析】ki=2,l1H l

18、2, k2=2.设P 0,y，则k2= 口 =y -1 =2, y=3,即P 0,3.选 D.0+12.答案】C【解析】解出两直线的交点为(亦-乎4mm),由交点在第二象限，得2(3 + m ) 3 + m3.答案】3x-y+仁 0【解析】法一：宙題意可设 J 的方程为力 p +且七容一 1，于是有y I =巴,即|曰!+弘解得,贝恒线 J 的方程为 3r + Z j3+w+ w法二由題意知 I 必介于 h 与 h 中间且与直线山 h 平行，故设/的方程为 3 匕+ (3 且 H 1 ),4.解析】建立如图所示的坐标系，可得B(4 , 0) , Q0 , 4),2(3 m2)6 4m3，解得m

19、(?，2).于是有则直线l的方程为 3x-y+仁 0.- 16 -故直线BC的方程为x+y= 4,三角形ABC勺重心为（_0_-3*J、即刊比斗-劭易得 P 关于丁轴的对称点啟-询由光的反射原理可知卩 1, QfR, ft y = 4-a四点共线，4 i 0 A /j4 /j直线 a 的斜率为 Q 宵 = 严,故直线 OR 的方程为尸宵 a 十劭4（P）4+&4+a444由干直线 QR过氐ABC 的重心,jb 代入化简可得坯一=0解得尸 2 或尸 0（舍去 X4八4故 P（亍所以皿卩|= 5.【解析】 证法一：直线l的方程可化为y=k（x+ 2） + 1,故无论k取何值，直线I总过定点

20、（2,1）.证法二：设直线I过定点（xo,yo），贝ykxoyo+1+ 2k= 0 对任意k R 恒成立, 即卩（Xo+ 2）ky+ 1 = 0恒成立，所以xo+ 2= 0，yo+ 1 = 0,解得xo= 2,yo= 1,故直线I总过定点（一 2,1）.（2）直线|的方程为y=kx+ 2k+ 1 ,设F（a,0）,其中 0vav4，则点P关于直线BC的对称点P(x，y-oy)满足x aj a + x2(-1) = -1Pt A P B- 17 -则直线l在y轴上的截距为 2k+ 1,要使直线I不经过第四象限，k0则*解得k0.1 + 2k 0,故k的取值范围为0 ,+).考点冲关1.【答案】C

21、x+2y-4=0.故选 C.方法二：设所求直线方程为x+2y+c=0,又直线经过点(2,1),故c=-4,则所求方程为x+2y-4=0. 故选 C.方法三：四个选项中的直线只有选项C,D 中的直线与直线x+2y-仁 0 平行,而只有选项 C 中的直线经过点(2,1),故选 C.2.【答案】A【解析】当占主两直线方程分别为勒两直线斜率的乘积为*何=匚两直线垂直故吨刃是两直线垂直的充分条件；当直线与直线+l)x+3+3=0 垂直时，有加斗 1)+衍1)=0,即 5屁8=0=解得(2=0 或 a=:* 所以“吨标杲两直线垂直的不必要条件故选 A.【名师点睛】用两条直线垂直的充要条件AA+BB=0 求

22、解,可以避免讨论斜率存在性.3. 【答案】B【解析】方法一：由题意，知所求直线的斜率为1 1-,故所求直线- 18 -2 019n【解析】由题意可知tana =2,所以 cos(-2a)=cos(1 008n+-2a)=-sin2sinacosa 2tancr 42a=_ ui一 门輕-订二1-:=_3IT4.【答案】C1 a 62【解析】由l11I 12知，丰,解得a=-1,所以11：x-y+6=0,12：x-y+=0,两条平行直21-亍 182 2线11与12间的距离d=.故选 C.5.【答案】C【解析】由已知得圆的圆心为O(0,0),半径r=3.因为直线l被圆所截得的弦长为2,所以圆心到

23、直线l的距离d=2.因为直线l与直线ax+y+1=0 垂直,故可设直线I的方程为x-ay+m=0.因为点P在直线I上,所以 2-ax2+m=0,解得 m=2a-2.故直线l的方程为x-ay+2a-2=0.所以圆心到直线l2a-2整理得a2+2a+1=0,解得a=-1.故选 C.6.【答案】C- 19 -【解析宙双曲线方程2疋_尸=1可得渐近线方程为孑=V2x,令过G的左顶点(岁引G的一条渐近线y =业尤的平行线y =1.该直线与另_条渐近线y= _皿的交点坐标为(-芳)贝0该直线与另一荼:渐近线及工轴围成的三角形的面积冗黑K右=巻7.【答案】A【解析】由圆的方程可知圆心为(0,0),半径为 2

24、.因为圆O上到直线I的距离等于 1 的点至la| 11少有 2 个,所以圆心到直线I的距离dr+仁 2+1,即d=0,（ ）n0,所以（）m+（ ）*22m + n =- 61 ” 1（捫=（諾,即 2m=n=-3 时取等号11.【答【解由题得1:，,解得 故答案为12.【答【解m.A2x + y + 3 = 0可化为，由题意可得两条平行线之间的距离d=13.【答案】2x+11y+16=0=16,当且仅当2- 21 -化简,得 2x+11y+16=0.故所求直线b的方程为 2x+11y+16=0.解法三：设直线b上的动点为P(x,y),直线a上的点为Qxo,4-2xo),且 P,Q两点关于直线

25、|3x + 4y- 1| l3xo + 4(4 - 2x0) -15=5y-(4-2x0)4x-x 3Jl:3x+4y-1=0 对称，则有【解析】解法一：由；打:丸得直线盘与直线 I 的交点卩（3 均在直线辺好;M 上找一点越 2/）一设点烈詈解得，丸一 Ha儿口一由两点 Jt 得直线心的方程为罢专=莒即加巩炉H-解迭二： 设直线 b 上的动点 Pg） 关于肓线?3%441-0 的对称点为 测肌） 贝 有 尤+叼y + y07x-24y十叫25，-24尤-7y + 8 Xo=解得25又Qxo,yo)在直线a：2x+y-4=0 上,7x - 24y + 6 - 24x - 7y + 8则 2X2525-4=0,- 22 -消去X0,得 2x+11y+16=0 或 2x+y-4=0(舍去).- 23 -故所求直线b的方程为 2x+11y+16=0.In214.【答案】【解析】由題青知厂宅也孔因为厂 a 伪奇函埶所 a/r（o）=i-d-o,m匕故/曲-贰因対曲线$伙巧在伽冲叨处的切线与直线血+尸 1=0 垂直所決 f=殳解得尹=珂 2 所臥15.【答案】fax 4- y- 1 = 0,【解析】依题意，若关于的方程组有无数多组解，则直线all、