因式分解定理PPT

1、15.3 5.3 因式分解定理因式分解定理2因式分解与多项式系数所在数域有关因式分解与多项式系数所在数域有关如：如： 422422xxx 2222xxx （在有理数域上）（在有理数域上） 2222xxxixi 问题的引入问题的引入（在实数域上）（在实数域上）（在复数域上）（在复数域上）3设设 ，且，且 ，若，若( ) p xP x 1p x ( )p x不能表示成数域不能表示成数域 P上两个次数比上两个次数比 低的多项式的低的多项式的 ( )p x 定义定义5.6乘积，则称乘积，则称 为数域为数域P上的上的不可约多项式不可约多项式.( )p x注注 一个多项式是否不可约依赖于系数域一个多项式是

2、否不可约依赖于系数域. 一次多项式总是不可约多项式一次多项式总是不可约多项式. 1、不可约多项式、不可约多项式4 多项式多项式 不可约不可约. ( )( ( )1p xp x ( )p x的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍. ( )( )( ),( )1.p xf xp xf x 或或 引理引理 多项式多项式 不可约，对有不可约，对有( ) f xP x( )p x证证：设：设 则则 ( ( ),( )( ),p xf xd x ( )( )d x p x或或( )( ),0d xcp xc( )( )d xcp x ( ( ),( )1p xf x

3、( )( )p xf x( )0d xa即即 或或axd )(5不可约不可约. ，若，若 ( )p x( ), ( ) f xg xP x ( )( ) ( ),p xf x g x则则 或或 ( )( )p xf x( )( ).p x g x证证：若：若 结论成立结论成立 .( )( ),p xf x若若 不整除不整除 ，则，则 ( ( ),( )1p xf x ( )( )p xf x定理定理5.7 设设( )( ).p xg x不可约，不可约， ( )p x12( )( )( )( ),sp xfx fxfx则必有某个使得则必有某个使得 ( ),if x( )( ).ip xfx推广：

4、推广：设设65.定定理理6若若 ，则，则 可可( ( )1f x( )f x唯一地分解成数域唯一地分解成数域 P上的一些不可约多项式的乘积上的一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，若有两个分解式所谓唯一性是说，若有两个分解式 1212( )( )( )( )( )( )( )stf xp x pxpxq x qxq x 定理定理5.8则则 ，且适当排列因式的次序后，有，且适当排列因式的次序后，有 st ( )( )iiip xc q x 其中其中 是一些非零常数是一些非零常数 (1,2, )ic is 2、因式分解及唯一性定理、因式分解及唯一性定理,)(xPxf7( )f x总可表成总可表

5、成 1212( )( )( )( )srrrsf xcpx pxpx ( ) ,( )1,f xP xf x 对对其中为其中为 的首项系数，的首项系数， 为互不相同的，为互不相同的，c( )f x( )ip x 首项系数为首项系数为1的不可约多项式，的不可约多项式，.irZ 的的标准分解式标准分解式.称之为称之为( )f x 标准因式分解式：标准因式分解式：8注：注： 若已知两个多项式若已知两个多项式 的标准分解式的标准分解式, ,( ),( )f xg x ( ),( ) .f xg x则可直接写出则可直接写出就是那些同时在就是那些同时在 的标准的标准( ),( )f xg x ( ),(

6、)f xg x分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在中所带的方幂指数方幂指数等于它在中所带的方幂指数( ),( )f xg x中较小的一个中较小的一个9( )( ),1,2,iif x g xrlis 例例 若的标准分解式分别为若的标准分解式分别为( ),( )f xg x1212( )( )( )( ),0srrrsif xapx pxpxr 1212( )( )( )( ),0slllsig xbpx pxpxl 则有则有 1212( ), ( )( )( )( ),ssf xg xpx pxpx min,1,2,iiir li

7、s 10 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，但并未给出一个具体的分解多项式的方法但并未给出一个具体的分解多项式的方法实际上，对于一般的情形，普通可行的分解多实际上，对于一般的情形，普通可行的分解多项项式式的方法是不存在的而且在有理数域上，多的方法是不存在的而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的项式的可约性的判定都是非常复杂的11在在分分别别求求设设多多项项式式)( ,)( xfxxf1234 数数域域上上的的标标准准有有理理数数域域、实实数数域域、复复解解：55.例例.因因式式分分解解式式)()( 22322 xxxf:有有理理数数域域)

8、()()( 22232 xxxxf:实实数数域域)()()()( 22223 xxixixxf:复数域复数域12二、重因式二、重因式设设 为数域为数域P的不可约多项式，的不可约多项式， ( )P ,f xx ( )p x则称则称 为为 的的 重因式重因式，其中，其中k是非负整数是非负整数.( )f xk( )p x若若 1, 则称则称 为为 的的重因式重因式.k( )f x( )p x（若（若 =0=0， 不是不是 的因式的因式) ) k( )f x( )p x若若 ，但但 ( )|( )kpxf x1( ) |( ) ,kpxf x 定义定义5.7若若 1, 则称则称 为为 的的单因式单因式

9、.k( )f x( )p x1 1、定义、定义13 若若 的标准分解式为：的标准分解式为： ( )f x1211( )( )( )( )srrrsf xcpx pxpx 则则 为为 的的 重因式重因式 . . ir1,2,is( )ip x( )f x时，时， 为单因式为单因式 ;1ir ( )ip x时时, 为重因式为重因式 .1ir ( )ip x2、重因式的判别和求法、重因式的判别和求法方法一：方法一：14方法二：方法二： （定理定理5.9）若不可约多项式若不可约多项式 是是 的的 重因式重因式( )f xk( )p x(1),k 则它是则它是 的微商的微商 的的 重因式重因式.1k (

10、 )fx ( )f x为为 的的 重因式，但未必是重因式，但未必是( )p x( )fx 1k ( )p x( )f x的的 重因式重因式. . k注：注： 定理定理5.95.9的逆命题不成立的逆命题不成立，即即15例举例说明下面命题是不对的例举例说明下面命题是不对的 ( )( )1fxnf xn 是是的的 重重根根是是的的重重根根解：令解：令 则则321( )5,3f xxxx22( )21(1) ,fxxxx 但但 1( 1)1150,3f 是是 的的2重根，重根， ( )fx1x 1不是不是 的根，从而不是的根，从而不是 的的3重根重根 ( )f x( )f x16推论推论1若不可约多项

11、式若不可约多项式 是是 的的 重因式重因式则则 是是 的因式的因式，但不是但不是 的因式的因式.( )p x( )( )kfx( )f x(1),k ( )p x(1)( ),( ),( )kf xfxfx k推论推论2不可约多项式不可约多项式 是是 的重因式的重因式 ( )p x( )f x是是 与与 的公因式的公因式. ( )f x( )p x( )fx 17推论推论3注注: :不可约多项式不可约多项式 为为 的的 重因式重因式 为为 的的 重因式重因式. . ( )f x( )p x( )p xk( ( ),( )f xfx 1k 与与 有完全相同的不可约因式，有完全相同的不可约因式，

12、( )f x( )( ( ),( )f xf xfx ( )( ( ),( )f xf xfx 且且 的因式皆为单因式的因式皆为单因式. 18 ，若若 其中其中 为不可约多项式，为不可约多项式， 则则 为为 的的 重因式重因式. . ( )f x( )P f xx 11( ( ),( )( )( ),srrsf xfxpxpx ( )ip x( )ip x1 ir推论推论4推论推论5多项式多项式 没有重因式没有重因式 ( )f x( ),( )1.f xfx 19根据推论根据推论3、4可用辗转相除法可用辗转相除法，求出求出( ( ),( )f xfx 注：注：来判别来判别 是否有重因式若有重因

13、式是否有重因式若有重因式 ，还可由还可由( )f x的结果写出来的结果写出来. ( ( ),( )f xfx 例例5.6 判别多项式判别多项式 有无重因式有无重因式.若有求出重因若有求出重因式，及其重数式，及其重数.( )f x123 xxxxf)( 解解：,)( 1232 xxxf利用辗转相除法，利用辗转相除法，201( )q x 1( )r x 2( )qx 123 xxx)( xf 1232 xx)( xfx310313223 xxx132312 xxx827 0332 xx1 x91 9192312 xx9898 x1 x89 0,)(),(1 xxfxf.)(重重因因式式的的是是21

14、xfx 21三、多项式函数与余数定理三、多项式函数与余数定理 1. 1. 多项式函数多项式函数将的表示式里的用代替，得到将的表示式里的用代替，得到P中的数中的数( )f xx 称为当时称为当时 的的值值，记作，记作( )f x( ).f x 这样，对这样，对P中的每一个数，由多项式中的每一个数，由多项式 确定确定P中唯一的一个数中唯一的一个数 与之对应，于是称与之对应，于是称 为为P上上的一个的一个多项式函数多项式函数 ( )f x( )f ( )f x设设,)(011axaxaxfnnnn ,011aaannnn 数数 ,P 22若多项式函数若多项式函数 在在 处的值为处的值为0，即，即 (

15、 )f xx ( )0,f 则称则称 为为 的一个的一个根根或或零点零点 ( )f x2. 2. 多项式函数的根多项式函数的根( (或零点或零点) ) 易知，若易知，若12( )( )( ),( )( ) ( ),h xf xg xh xf x g x 12( )( )( ),( )( ) ( ).hfghfg 则，则，23（余数定理）（余数定理）：若用一次多项式：若用一次多项式 去除多项式去除多项式 x 则所得余式是一个常数，该常数等于函数则所得余式是一个常数，该常数等于函数( ),f x值值 ( ).f 二、多项式函数的有关性质二、多项式函数的有关性质1. 1. 余数定理（定理余数定理（定

16、理5.105.10） 是是 的根的根 ( )f x()|( ).xf x 推论推论: :24 例例1 求求 在在 处的函数值处的函数值. 42( )49f xxxx 3x 法一：法一：把把 代入代入 求求 3x ( ),f x( 3).f 用用 去除去除 所得余数就是所得余数就是 3x ( ),f x( 3).f 法二：法二：( 3)69 .f 答案：答案：25若若 是是 的的 重因式，重因式， 则称则称 为为x ( )f xk 的重根的重根.( )f xk当当 时，称时，称 为为 的单根的单根 1k ( )f x当当 时，称时，称 为为 的重根的重根 1k ( )f x2. 2. 多项式函数

17、的多项式函数的k k重根重根定义定义26注：注： 是是 的重根的重根 是是 的重因式的重因式 ( )f xx ( )f x 有重根有重根 必有重因式必有重因式( )f x( )f x反之不然，即有重因式未必反之不然，即有重因式未必 有重根有重根( )f x( )f x22( )(1) ,f xxR x 例如，例如，为为 的重因式，但在的重因式，但在R上上 没有根没有根 ( )f x( )f x21x 273. 3. 根的个数定理根的个数定理 ( (定理定理5.115.11 ) )任一任一 中的中的 次多项式次多项式 在在 中的根中的根 P xn(0),n P不可能多于不可能多于 个，重根按重数

18、计算个，重根按重数计算 n4. 定理定理5.12且且 ( ), ( ) ,f xg xP x ( ) ,( ),f xg xn 若有若有 使使 121,nP ()(),1,2,1iifgin 则则 ( )( ).f xg x 28证：令证：令 则有则有 ( )( )( ),h xf xg x ()0,1,2,1,ihin 由由Th5.11，若，若 的话，则的话，则 ( )0h x ( ).h xn矛盾矛盾所以，所以，( )0,h x 即即 有有 ( )h x121,1nn 个根，个根，( )( ).f xg x 即即29解：解：例例2求求 t 值，使值，使32( )31f xxxtx 有重根有重根3231xxtx 236xxt ( )f x( )fx 13x32