2019-2020学年青海省西宁市数学高二下期末监测试题含解析

1、2019-2020 学年青海省西宁市数学高二 （下）期末监测试题、单选题（本题包括 12 个小题，每小题 35，共 60 分每小题只有一个选项符合题意） 1给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，C（-3，-1）D（3，+）甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（A12 种B18种C 24 种D64种2复数 z （12i） i（i 为虚数单位 ）等于（）A 2B 2C 2iD 2iA 2,2.5B 3,3C 4,3.5D6,4.84n ”是 “m2n2 ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5一个圆柱形的

2、罐子半径是4 米，高是9 米，将其平放，并在其中注入深2 米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米3已知变量 x， y 之间的一组数据如下表：x1357y2345由散点图可知变量 x ，y 具有线性相关，则 y 与 x 的回归直线必经过点（2424 3B3636 33624 3D4836 3若15 5 2 2x a 2xa1x a2x3a3x4a4x5a5 x5 ，则 a a1 a3 a5 （ ）0B 1C243D 2AC6A1 i ，则 z 的共轭复数的虚部为（z 满足 z）7设复数A1B-1C iD8设集合A=x|x 2-5x+6>0， B= x|x-1<0 ，则 AB=B

3、（-2， 1）A （-， 1）2x 1 2m f x m 0 有 5 个不同的实x2 1， x 19已知函数 f x ln x ，若关于 x 的方程 2， x 1x数解，则实数 m 的取值范围是( )A1，B 0，C0，D1，xf x 2f x 0 恒成立，且 f2 1，则使 x2 f x < 2成立的实数 x 的集合为()A， 2 U 2，B2， 2C， 2D 2，10已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，其导函数为x ，若对任意的正实数 x ，都有0)，满足 f (1) 2，且函数 g(x)f(x) x 无零点，则(211已知函数 f (x) ax2 bx c(aA方程 g(f

4、 (x) 0有解B方程 f (f (x) x有解C不等式 f ( f(x) x有解D不等式 g(f (x) 0有解3212函数 f x ax3 bx2 cx 34(a, b, c R) 的导函数为 f x ，若不等式 f x 0的解集为x| 2 x 3，且 f x 的极小值等于 196 ，则a的值是 ( ) 。811ABC 5D 4223二、填空题(本题包括 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)13由曲线 y x2 2x与直线 y x 所围成的封闭图形的面积为 14孙悟空、猪八戒、沙和尚三人中有一个人在唐僧不在时偷吃了干粮，后来唐僧问谁偷吃了干粮，孙悟空说是猪八戒，猪八戒说不是他，沙和尚

5、说也不是他。他们三人中只有一个说了真话，那么偷吃了干粮的是 15 某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5 名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这 5 名同学不同的主食选择方案种数为 (用数字作答)16 z m2 2 2m 1 i m R ，其共轭复数 z对应复平面内的点在第二象限，则实数m 的范围是 三、解答题(本题包括 6 个小题，共 70 分)17(本小题满分 12 分)在等比数列 an 中， a2 3,a5 81.(1)求 an ；(2)设bn log3 an ，求数列

6、bn 的前n项和 Sn.18 已知函数 f x kx(I)求函数 f(x) 的单调区间；1 (k 1)ln x ，kR x20(6 分)如图所示，椭圆C:x最大值取得最小值与(II)当 k>0 时，若函数 f(x)在区间 (1， 2)内单调递减，求 k 的取值范围 2S19( 6分)已知数列 an 的前n项的和 Sn，满足n an 1(n N )，且 a2 3.n1)求数列 an 的通项公式；an2)若数列 bn 满足： bn 2nn ，求数列 bn 的前 n项的和 Tn .222 y2 1(a b 0) ， A1、 A2 ，为椭圆 C 的左、右顶点2 b 若椭圆 C 上的点到焦点距离的

7、最大值为:当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的左、右顶点时， PF13，最小值为 1，求椭圆 C 的标准方程3 若直线 l : ykxm 与 2 中所述椭圆 C 相交于 A 、B 两点( A 、 B 不是左、右顶点)，且满足AA2BA2 ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标21(6 分)(1)已知矩阵 A1a的一个特征值为0b2 ，其对应的特征向量，求矩阵 A 及它的另一个特征值2)在极坐标系中，设 P 为曲线 C：2 上任意一点，求点 P 到直线 l ： sin3 的最小距离x 1 x22( 8分)若 f(x) ex ae1 x (a e)x a 1(a R)(1)讨论 f (x)

8、的单调性；求实数 的取(2)若对任意 a (0,1) ，关于 x的不等式 f (x)(ea 1 a)在区间 a 1, 上恒成立， 值范围参考答案一、单选题（本题包括 12 个小题，每小题 35，共 60 分每小题只有一个选项符合题意）1C【解析】【分析】根据题意，分 2 步进行分析： ，将 4 人分成 3 组， ，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排 给泥工或油漆，将剩下的 2 组全排列，安排其他的 2 项工作，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意，分 2 步进行分析：2 ，将 4 人分成 3 组，有 C4 6 种分法； ，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有

9、2 种情况，将剩下的 2 组全排列，安排其他的 2 项工作，有 A22 2 种情况，此时有 2 2 4 种情况，则有 6 4 24 种不同的安排方法；故选： C【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题2B【解析】【分析】由复数的乘法运算法则求解 .【详解】2z 1 i 2i 2igi 2.故选 B 【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题 .3C【解析】【分析】由表中数据求出平均数 x 和 y 即可得到结果 .详解】由表中数据知， x2+3+4+5=3.5，则 y与 x 的回归直线必经过点 4,3.5故选： C点睛】本题主要考查回归分析的基本思想及应用，理解并掌握

10、回归直线方程必经过样本中心点 x,y ，属基础题 .4D【解析】取m2,n 3 ，则 mn ，但 m22 2 24,n 9,m n ，故 mn m2n2；取 m3,n2，则2322 ，但是 mn ，故 m2n2 m n ，故“ m n ”是“ m2n2 ”的既不充分也不必要条件，选 D.5D【解析】9 为高的柱体，求出底面面积，代入分析：由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底，以 柱体体积公式，可得答案详解：由已知中罐子半径是 4 米，水深 2 米，故截面中阴影部分的面积 S=114 3 16=16 4 3.平方米，3 4 3 又由圆柱形的罐子的高 h=9 米，故水的体积 V=Sh

11、=48 36 3 立方米，故选 D点睛：本题考查的知识点是柱体的体积公式，扇形面积公式，弓形面积公式，难度中档6C【解析】分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得 1 a5 0,a1，再分别求得 a2,a1,a3,a5的值， 从而可得结果 .详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得1 a5 0, a 1 ，且 a1 2C15 2C51 20,a3 23C53 23C53 160 ，a5 25C55 22C55 64 ，a a1 a3 a5 1 20 160 64 243 ，故选 C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一

12、，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：1）考查二项展开式的通项公式 Tr 1 Cna b ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用7A【解析】【分析】先求解出 z 的共轭复数 z ，然后直接判断出 z 的虚部即可【详解】因为 z 1 i ，所以 z 1 i ，所以 z 的虚部为 1.故选： A.【点睛】本题考查共轭复数的概念以及复数的实虚部的认识，难度较易 8A【解析】【分析】 先求出集合 A，再求出交集【详解】由题意得， A x x 2或x 3 ,B x x 1 ，则 A B.复数 z a bi 的实部

13、为 a ，虚部为 b .x x 1 故选 A【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目9C解析】分析】ln x利用导数研究函数 y= 的单调性并求得最值，求解方程x1=m或 f （x） = 画出函数图象，数形结合得答案2【详解】2f（x）2+（12m）f（x）m=1得到 f（x）设 y=ln xx1 ln x2x由 y =1，解得 x=e，当 x（1，e）时，y> 1，函数为增函数，当 x（e，+）时， y< 1，函数为减函数故选 :B.当 x=e 时，函数取得极大值也是最大值为f （e）= e方程 2f（x）2+（12m）f（x） m=1化为f （ x） m2f （x）+1=1 1

14、解得 f （x）=m或 f （x）=2如图画出函数图象：1可得 m的取值范围是（ 1， 1 ）e（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性，考查函数图像和性质的综合运用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理转化能力.（2） 本题的解答关键有两点，其一是利2用导数准确画出函数 f x 的图像，其二是化简 2 f x 1-2m f x m 0 得到 f （ x ）=m或 f（x）=1= 2 10B【解析】【分析】2抽象函数解不等式考虑用函数的单调性，构造函数 h x x2 f x ，可得 h x 为偶函数，且在 h x 在0， 上为增函数，将不等式化为 h（|x|）

15、 h（ 2） ，即可求解 .【详解】2令 h x x2 f x ，易知函数 h x 为偶函数，当 x 0时， h x 2xf x x2f x x 2f x xf x >0 ，所以 h x 在 0， 上为增函数，所以 x2 f x <22 f 2 ，即 h | x | h 2 ，所以 x 2 ，解之得 2 x 2 .【点睛】本题考查抽象函数不等式，利用函数的单调性将不等式等价转换，解题的关键构造函数，构造函数通常从 已知条件不等式或所求不等式结构特征入手，属于中档题 .11C【解析】【分析】 首先判断开口方向向上，得到 g x f x x 0 恒成立，依次判断每个选项得到答案【详解】

16、函数 g x f x x 无零点， f 1 2， g 1 f 1 1 1 0g x f x x 0 即 f x x 恒成立A. 方程 g f x 0有解.设 f(x) t g(t) 0这与 g x 无零点矛盾，错误B. 方程 f f x x 有解. f x x恒成立f f x f (x) x ，错误f (x) ，C. 不等式 f f xx有解. f x x恒成立f f x f(x) x，正确D. 不等式 g f x0有解.即 f f x f (x) 0，由题意： f x x恒成立f f x错误答案选 C【点睛】本题考查了函数恒成立问题，零点问题，函数与方程关系，综合性强，技巧高深，意在考查学生

17、解决问题 的能力 .12D【解析】【分析】 求导数，利用韦达定理，结合 f x 的极小值等于 196，即可求出 a 的值，得到答案【详解】依题意，函数f32 x ax bx2cx 34 ，得 f x 3ax2 2bx c 0 的解集是 2,3 ，3a02b3a于是有23，解得 b,c 18a ，3a2c233a函数 f x 在 x 3处取得极小值， f 3 27a 9b 3c 34 196 ，3a即 f 3 27a 9 ( ) 3 ( 18a) 34 196 ，解得 a 4，2故选： D【点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查韦达定理的运用，着重考查了学生分析解决问题的能力， 比较

18、基础 .二、填空题(本题包括 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)1136【解析】【分析】 计算交点的横坐标为 x1 1， x2 0 ，再利用定积分计算得到答案详解】解方程1， x2 0 ，2x，消去 y 解得 x1 x故面积为1x* 2 2x dx x20x dx13x312x20116解析】 【分析】分类讨论：甲选包子，则有 2人选同一种主食，剩下 2人选其余主食；甲不选包子，其余 4人中 1 人选包 子，方法为 4种，甲花卷或面条，方法为 2 种，其余 3 人，有 1人选甲选的主食，剩下 2人选其余主食， 或没有人选甲选的主食，相加后得到结果【详解】分类讨论：甲选包子，则有 2 人

19、选同一种主食，方法为 C42C31=18，2剩下 2 人选其余主食，方法为 A22 =2，共有方法 18×2=36 种；甲不选包子，其余 4 人中 1人选包子，方法为 4种，甲花卷或面条，方法为 2 种，其余 3 人，若有 1 人选甲选的主食，剩下 2 人选其余主食，方法为 3 A22 =6；若没有人选甲选的主食，方法为 C3 A2 =6，共有 4×2×（ 6+6） =96 种， 故共有 36+96=1 种， 故答案为： 1【点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置 ）的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说， 解排列组合问题常以元

20、素 （或位置 ）为主体，即先满足特殊元素 （或位置 ），再考虑其他元素 （或 位置 ）（2）不同元素的分配问题， 往往是先分组再分配 在分组时， 通常有三种类型： 不均匀分组； 均匀分组； 部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法16 2,2【解析】【分析】 根据共轭复数对应的点所在的象限，列出不等式组求解 .【详解】由已知得： z m2 2 2m 1 i ，且在第二象限，2所以：m2 2 0 ，2m 1<02 m 2解得：1，m<21所以 2 m .21故答案为 2,2【点睛】 本题考查共轭复数的概念和其对应的点所在的象限，属于基础题 三、解答题（本题包括 6 个小题

21、，共 70 分）2 n 1 n n17 （1）an 3 .（2） Sn.2解析】a1q 3试题分析： （1）设 an 的公比为 q，依题意得方程组 a1q14 81a1 1解得 aq1 31，即可写出通项公式2）因为 bn log3 an n 1，利用等差数列的求和公式即得试题解析： （1）设 an 的公比为 q ，依题意得 a1q 3 ， 4 ， a1q81a1 1解得 aq1 31，因此， an3n12）因为bn log3 an n 1，所以数列bn 的前 n 项和 Snn(b1 bn)22nn2考点：等比数列、等差数列18 （）见解析； （） 0解析】分析：（）先求出函数的定义域，求导数

22、后根据k 的取值通过分类讨论求单调区间即可）将问题转化为 f ' x 0 在 (1，2）上恒成立可得所求详解：（ I）函数 f x的定义域为 0,由题意得 f ' x kk 1 1kx2k22 x xxkx 1 x 11）当 k 0 时，令f'x0 ，解得 0x1；令f ' x0 ，解得 x1（2）当k 0 时，1当 11 ，即 k 1时，k令f'x0 ，解得 0x1或 x 1；kk令 f ' x 01，解得 x 1 k当 k1 时， f ' x0 恒成立，函数f x 在 0,上为单调递增函数；1当 11 ，即 0 k1时，k令f'

23、;x0 ，解得 0x1或 x1令 f ' x 0，1 解得 1 x kk综上所述，当 k 0 时，函数 f x 的单调递增区间为（ 0,1 ），单调递减区间为 1, ； 11当 0 k 1时，函数 f x 的单调递增区间为（ 0,1 ）， , ，单调递减区间为 1, ； kk当 k 1 时，函数 f x 的单调递增区间为 0, ； 11当 k 1 时，函数 f x 的单调递增区间为 0, ， 1, ，单调递减区间为 , kk（ II）因为函数 f x 在（ 1，2）内单调递减，所以 f ' xkx 1 x 12x0在（ 1,2）上恒成立又因为 x 1,2 ，则 x 1 0 ，

24、所以 kx 1 0在（ 1,2）上恒成立，1即 k在（ 1,2 ）上恒成立，x11 因为 1 1 1，2x1 所以 k 1 ，2又 k 0，1所以 0 k 1 21故 k 的取值范围为 0, 2点睛：解题时注意导函数的符号和函数单调性间的关系特别注意：若函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 f ' x 0（或 f ' x 0）（ 'f x 在该区间的任意子区间内都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围19（ 1） an2n 1；( 2) Tn 32n 32n解析】【分析】（ 1）根据 2Sn an 1得到 2Sn nan

25、n ，再得到 2Sn 1 n等差数列，进而可得出结果；n 1 an 1 n 1 ，两式作差，判断出数列为2）根据（ 1）的结果，利用错位相减法，即可求出结果详解】2Sn 1n1 an 1n1两式相减得： nann1an1 1，则有 n 1an 1nan21.-得：2an 1anan2，所以数列a 是等差数列，n 是等差数列，当 n 1， 2a1a11,a11 即 da2即 an2n 1.132n 1（2）QTn12Ln L ，Q21222n11两式相减得1Tn1241 2n112n11n2n22n解：（ 1）由条件得： 2Sn nan n,21112TnTn 3 2n 322232n 12n

26、1L2n点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式，以及错位相减法求和，熟记等差数列的通项公式、求和公式，以及错位相减法的一般步骤即可，属于常考题型20 1 见解析；2 x y 1； 3 见解析， (72 ,0) .4 3 7解析】分析】1 设点 P 的坐标为 x, y ，令 f x2xPF 2，由点 P 在椭圆 C上，得 x222xa2by221，b2则 y2 b2 b2 x2 ，代入式子，利用二次函数的性质和x的取值范围，求出函数的最值以及对应的 x 的取a2值，即可求证；2 由已知与 1 ，得 a c 3 ， a c 1，解得 a 2，c 1，再由 b2 a2 c2求出 b ，进而求出椭 圆

27、的标准方程；3 假设存在满足条件的直线，设 A x1, y1， B x2,y2 ，联立直线方程和椭圆方程进行整理，化简出一元二次方程， 再利用韦达定理列出方程组，根据题意得kAA2 kBA21,代入列出关于 m的方程， 进行化简求解.详解】1 设点 P 的坐标为 x, y ，令 fPFxc2y2由点 P 在椭圆 C上，得 x2 a22 y b21，则 y2 b2 b2 x2 ，代入 fa2得 f (x) (xc)2b2 b22 xa2c2xa2cx2a，由题意，知ca 恒成立，f x 在区间a,a 上单调递增当且仅当椭圆C 上的点 P 在椭圆的左、右顶点时，PF取得最小值与最大值2 由已知与1

28、 ，得 a c 3 ， a c 1 ，2 2 21 b2 a2 c2 32椭圆 C 的标准方程为 x4 y32 1 3 如图所示，设 A x1,y1 ， B x2,y2 ，y kx mn联立 x2 y2，得 (3 4k2 )x2 8mkx 4(m2 3) 1，1432 2 2 264m2x2 16(3 4k 2)( m2 3) 0x1 x2 则x1x28mk3 4k 2m2 33 4k 2则 y1y2(kx1 m)( kx2m)x2 ) m2点睛】k2x1x2 mk( x13(m2 4k 2)3 4k2Q 椭圆的右顶点为 A2 2,0 ，AA2BA2，k AA2 kBA2 1 ，x12 x22

29、 y1 y2 0即 y1y2x1x22 x1 x2 403(m24k2)4( m2 3)16mk4032224k23 4k 23 4k 27m216km24k2 0 ，解得 m12k，2k m2，且均满足 3224k 2 m2027当m2k 时，l 的方程为 ykx2 直线过定点2,0 ，与已知矛盾当m2k时，l 的方程为 yk(x2) 直线过定点2( ,0) ，满足题意，777本题考查椭圆的方程和简单几何性质， 以及直线与椭圆的位置关系， 同时也考查了利用构造函数的方法处理最值问题，属于难题21（ 1）2；（2）1 .解析】分析】1）由矩阵运算，代入可求得1或2 ，即求得另一个特征值。 （2

30、）由直角坐标与极坐标互换公式详解】1）由 Acossin2y2得：矩阵 A 的特征多项式为令f0，得，实现直角坐标与极坐标的相互转化。所以矩阵 A 的另一个特征值为2.211 2a 2,2b 4,3,2,2,0，解得1或2,2）以极点为原点，极轴为 x 轴建立平面直角坐标系xOy因为 sin3 ，所以31sin23cos23，将其化为普通方程，得 3x y0.将曲线 C ：2化为普通方程，y2 4 所以圆心 O 0，0 到直线 l : 3x0 的距离6313.所以 P 到直线 l 的最小距离为 d1.点睛】cos直角坐标与极坐标互换公式sin22y，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。22（ 1）见解析（ 2）解析】分析】1)求导得 f (x) ex ae1 x (a e) (e e)(xe a) ，再分成 a 0 、0 ae、ae、ae四种情况，结合导数的符号得出函数的单调性；12)设h(a) lna a 1，h(a)1，得单调性，则 lna a 1 ，由( 1)可得af ( x) minf (1)则ea11 aa，令 g(a)ea11 aa，求导 g(a) (a(e