2022届高三数学一轮复习（原卷版）专题13 等差与等比数列（解析版）

1、专题13 等差与等比数列 命题规律内 容典 型考查等差数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式及等差数列的性质2019年高考全国I卷理数等差数列与其他结合综合问题2020年高考浙江卷7考查等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式及等比数列的性质2020年高考全国卷理数6等比数列与其他结合综合问题2018年高考浙江卷等差数列与等比数列的综合问题2018年高考江苏卷命题规律一 考查等差数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式及等差数列的性质【解决之道】解决此类问题，要熟记等差数列定义、通项公式、性质、前n项和公式，根据题中条件即可得出关于首项与公差的方程式，即可解出首项与公差，即可解决相关问题

2、.对前n项和的最值问题，有两种方法，二次函数法，写出前n项和，利用二次函数求最值的方法求最值，注意n是正整数；转折项法，首项为正且公差为负，所有负项之和即为前n和的最大值，首项为负且公差为正，所有负项之和即为前n和的最小值.【三年高考】1.【2020年高考上海卷7】已知等差数列的首项，且满足，则 【答案】 【解析】由条件可知，2.【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和已知，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由题知，解得，,故选A3.【2018年高考全国I卷理数】设为等差数列的前项和，若，则（ ）A BC D【答案】B【解析】设等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，

3、故选B4.【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列an的前n项和，则_【答案】4【解析】设等差数列an的公差为d,因，所以，即，所以5.【2019年高考北京卷理数】设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=3，S5=10，则a5=_，Sn的最小值为_【答案】 0，.【解析】等差数列中,得又,所以公差,由等差数列的性质得时,时,大于0,所以的最小值为或,即为.6.【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_【答案】16【解析】由题意可得：，解得：，则.7.【2018年高考北京卷理数】设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为_【答案】【解析】设

4、等差数列的公差为，8.【2018年高考全国II卷理数】记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值【解析】（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16命题规律二 等差数列与其他结合综合问题【解决之道】解决此类问题，利用等差数列的相关的知识结合相关的知识即可进行运算即可作出判断.【三年高考】1.【2020年高考全国卷理数4】北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块

5、扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）A块 B块 C块 D块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即，即，解得，所以，故选C2.【2020年高考浙江卷7】已知等差数列的前项和，公差记，下列等式不可能成立的是（ ）A B C D【答案】B【解析】A由等差数列的性质可知，成立；B，若，则，即，这与已知矛盾，故B不成立；C ，整理

6、为：，故C成立；D，当时，即，整理为，即，方程有解，故D成立综上可知，等式不可能成立的是B，故选B3.【2020年高考北京卷8】在等差数列中，记，则数列（ ）A有最大项，有最小项 B有最大项，无最小项 C无最大项，有最小项 D无最大项，无最小项 【答案】A【解析】设公差为d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1n5使，an0，n6时，an0，所以n=4时，Tn0，并且取最大值；n=5时，Tn0；n6时，Tn0，并且当n越来越大时，Tn越来越小，所以Tn无最小项故选A命题规律三 考查等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式及等比数列的性质【解决之道】解决此类问题，要熟记等差数列定

7、义、通项公式、性质、前n项和公式，根据题中条件即可得出关于首项与公差的方程式，即可解出首项与公差，即可解决相关问题.【三年高考】1.【2020年高考全国卷理数6】数列中，若，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】在等式中，令，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，则，解得故选：C2.【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）A16B8C4D2【答案】C【解析】设正数的等比数列an的公比为，则，解得，故选C3.【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列an的前n项和若，则S5=_【答案】【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以

8、又，所以所以4.【2018年高考全国I卷理数】记为数列的前项和，若，则_【答案】【解析】根据，可得，两式相减得，即，当时，解得，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案是.5.【2018年高考全国III卷理数】等比数列中，（1）求的通项公式；（2）记为的前项和若，求【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）设的公比为，由题设得.由已知得，解得（舍去），或.故或.（2）若，则.由得，此方程没有正整数解.若，则.由得，解得.综上，.命题规律四 等比数列与其他结合综合问题【解决之道】解决此类问题，利用等差数列的相关的知识结合相关的知识即可进行运算即可作出判断.【三年高考】1.【2018

9、年高考浙江卷】已知成等比数列，且若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】令则，令得，所以当时，当时，因此. 若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，故选B.命题规律五 等差数列与等比数列的综合问题【解决之道】解决此类问题，根据等比数列与等比数列的关系，利用等差数列与等比数列的相关知识，即可解决问题.【三年高考】1.【2018年高考江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）【解析】（1）由条件知：因为对n=1，2，3，4均成立，即对n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得因此，d的取值范围为（2）由条件知：若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，即，