2022届高三数学一轮复习（原卷版）专题17 椭圆（解析版） (2)

1、专题17椭圆 命题规律内 容典 型给出一定条件求椭圆方程2019年高考全国卷文数以椭圆方程为背景研究椭圆的简单性质2019年高考全国卷文数与离心率有关的椭圆问题2018年高考全国卷文数与直线与椭圆的位置关系有关的简单问题2020年高考上海卷10与椭圆有关的最值(范围)问题2019年高考全国卷文数命题规律一 给出一定条件求椭圆方程 【解决之道】解决此类问题有两种方法：定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程；待定系数法：待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，再

2、用待定系数法求出m，n的值即可.【三年高考】1.【2019年高考全国卷文数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点若，则C的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B2.【2019年高考天津卷文数】设椭圆的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知（O为原点）.（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C

3、在直线x=4上，且，求椭圆的方程.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，由已知有，又由，消去得，解得.所以，椭圆的离心率为.（2）由（1）知，故椭圆方程为.由题意，则直线的方程为，点P的坐标满足消去并化简，得到，解得.代入到的方程，解得.因为点在轴上方，所以.由圆心在直线上，可设.因为，且由（1）知，故，解得.因为圆与轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆与相切，得，可得.所以，椭圆的方程为.3.【2020年高考全国卷文数19】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且（1）求的离心率；（2）若的四个顶点到的准线距离之和为12，求与的标准方程【解析】

4、（1）解：椭圆的右焦点坐标为：，抛物线的方程为，其中不妨设在第一象限，椭圆的方程为：，当时，有，因此的纵坐标分别为，又抛物线的方程为，当时，有，的纵坐标分别为，故，由得，即，解得（舍去），的离心率为（2）由（1）知，故，的四个顶点坐标分别为，的准线为由已知得，即，的标准方程为，的标准方程为4.【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（1、0），F2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1已知DF1=（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标【答

5、案】（1）；（2）.【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2x轴，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：，a=2，因为AF2x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x1) 2+y2=16，解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由，得，解得或.将代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.由，得，解得或.又因为E是线段

6、BF2与椭圆的交点，所以.将代入，得.因此.解法二：由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而BF1E=B.因为F2A=F2B，所以A=B，所以A=BF1E，从而EF1F2A.因为AF2x轴，所以EF1x轴.因为F1(1，0)，由，得.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此.命题规律二 以椭圆方程为背景研究椭圆的简单性质【解决之道】解决此类问题要明确椭圆的方程中各量的意义，遇到焦点三角形问题，要充分利用椭圆的定义、正余弦定理去解题.【三年高考】1.【2019年高考全国卷文数】若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个

7、焦点，则p=（ ）A2B3C4D8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D2.【2019年高考全国卷文数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若为等腰三角形，则M的坐标为_.【答案】【解析】由已知可得，设点的坐标为，则，又，解得，解得（舍去），的坐标为命题规律三 与离心率有关的椭圆问题【解决之道】求椭圆离心率的值(范围)，其方法为， (1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e求解(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2a2c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关

8、于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)【三年高考】1.【2018年高考全国卷文数】已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题可得，因为，所以，即，所以椭圆的离心率，故选C2.【2018年高考全国卷文数】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）ABC D【答案】D【解析】在中，设，则，又由椭圆定义可知，则，故选D命题规律四 与直线与椭圆的位置关系有关的简单问题【解决之道】充分利用设而不求思想与数形结合思想处理.【三年高考】1.【2020年高考上海卷10】已知椭圆，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若

9、关于轴对称的点为，且满足，则直线的方程为 【答案】【解析】由条件可知是等腰直角三角形，所以直线的倾斜角是，所以直线的斜率是，且过点，得到直线的方程为，即故答案为：2.【2019年高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_【答案】【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，由中位线定理可得，设，可得，与方程联立，可解得（舍），又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，由中位线定理可得，即，从而可求得，所以.命题规律五 与椭圆有关的最值(范围)问题【解决之道】与椭圆有关的范围或最值问

10、题常常涉及一些不等式例如axa，byb,0e1，所以在求与椭圆有关的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系【三年高考】1.【2020年高考山东卷9】已知曲线（ ）A若，则是椭圆，其焦点在轴上 B若，则是圆，其半径为C若，则是双曲线，其渐进线方程为D若，则是两条直线【答案】ACD【思路导引】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确故选：ACD2.【2018年高考浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足，则当m=_时，点B横坐标的绝对值最大【答案】【解析】设，由得，所以，因为，在椭圆上，所以，所以，所以，与对应相减得，当且仅当时取最大值3.【2019年高考全国卷文数】已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点（