人教A版必修一各章题型例题加变式

1、必修一各题型例题加变式题型一、集合例题1：已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，则P的子集共有()A2个 B4个C6个 D8个【解析】选B.M0,1,2,3,4，N1,3,5，MN1,3MN的子集共有224个变式1设A2，1，x2x1，B2y，4，x4，C1,7，且ABC，求x、y的值【解析】解：ABC1,7，必有7A,7B，1B.即有x2x17x2或x3.当x2时，x42，又2A，2AB，但2C，不满足ABC，x2不符合题意当x3时，x47，2y1y.因此，x3，y.变式2已知，且，求实数的取值范围【解析】解：，或当时，当，解得由上述知： 例题2：已知集合（1）若的取值范围；（

2、2）若的值【解析】（1）当时，B为空集，不合题意当时，应满足当时，应满足时，（2）要满足，显然且时成立，此时，而，故所求的值为3【点评】同不等式有关的集合问题是高考命题的热点之一，也是高考常见的命题形式，且多为含参数的不等式问题，需讨论参数的取值范围，主要考查分类讨论的思想，此外，解决集合运算问题还要注意数形结合思想的应用变式3：设全集是实数集，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）A BC D【答案】C【点评】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于图解决集合问题的能力变式4：定义集合运算：设，则集合的所有元素之和为 （ ）A0 B2 C3 D6【解析】本题为新定义

3、问题，可根据题中所定义的的定义，求出集合，而后再进一步求解由的定义可得：，故选D【点评】本题给出了集合一种新的运算，只要读懂新的运算法则，此类题就不难解决题型二、函数的概念及其性质1、函数的定义域问题例题1、函数y的定义域为 ()A. 4,1 B. 4,0)C. (0,1 D. 4,0)(0,1【解析】求y的定义域，即4,0)(0,1. 答案：D变式1、函数y的定义域为 ()A. (4，1) B. (4,1)C. (1,1) D. (1,1【解析】定义域 1x1. 答案：C变式2、，则 【答案】变式3、设函数f(x)则的值为 ()A. BC. D18【答案】A2、函数的值域问题例题：分别求下列

4、函数的值域：（1）y；（2）yx22x(x0,3)；（3）；（4）y.【解析】（1）分离变量法将原函数变形为y2.x3，0.y2，即函数值域为y|yR且y2.（2）配方法y(x1)21，根据二次函数的性质，可得原函数的值域是3,1.（3）换元法令（），则， 所以因为当，即时，无最小值。所以函数的值域为。 （4）分离常数法y12x1，02，111，所求值域为(1,1).3、三要素间的关系例题：下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A BC D【答案】C4、函数单调性例题1.（2009·福建高考）下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1<x2时，都有f(x1)&g

5、t;f(x2)”的是 ()A. f(x) B. f(x)(x1)2C. f(x)ex D. f(x)ln(x1)【解析】对任意的x1，x2(0，)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，f(x)在(0，)上为减函数.答案：A例题2、如果函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，则实数a的取值范围是 ()A. 3，) B. (，3C. (，5 D. 3，)【解析】f(x)x22(a1)x2的对称轴为x1a，f(x)在(，1a上是减函数，要使f(x)在区间(，4上是减函数，则只需1a4，即a3.答案：B例题3、已知函数f(x)=x+,x>0，证明当0<x&

6、lt;1时，函数f(x)是减函数；当x1时，函数f(x)是增函数.【解析】证明：任取x1、x2（0，+）且x1x2，则f（x1）f（x2）=（x1）（x2+）=（x1x2）+=，x1x2，x1x2<0，x1x2>0.当0x1x21时，x1x2-1<0，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2），即当0<x<1时，函数f(x)是减函数.当1x1x2时，x1x2-1>0，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2）,即当x1时，函数f(x)是增函数.变式1、函数ylog(43xx2)的一个单调递增区间是 ()A. (， B. ，)C. (1，) D. ，4)【

7、解析】由t43xx20得1x4，即函数ylog(43xx2)的定义域为(1,4)，又ylogt是减函数，t43xx2在，4)上递减，所以函数ylog(43xx2)在，4)上递增.答案：D变式2、已知函数f(x)(a1).（1）若a0，则f(x)的定义域是；（2）若f(x)在区间(0,1上是减函数，则实数a的取值范围是.【解析】（1）当a0且a1时，由3ax0得x，即此时函数f(x)的定义域是(，；（2）当a10，即a1时，要使f(x)在(0,1上是减函数，则需3a×10，此时1a3.当a10，即a1时，要使f(x)在(0,1上是减函数，则需a0，此时a0.综上所述，所求实数a的取值范

8、围是(，0)(1,3.答案：(1)(， (2)(，0)(1,35、函数的奇偶性例题：已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 ()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.A. B. C. D. 【解析】由奇函数的定义验证可知正确，选D.答案：D变式1：已知函数f(x)ax4bcosxx，且f(3)7，则f(3)的值为 ()A. 1 B. 7C. 4 D. 10【解析】设g(x)ax4bcosx，则g(x)g(x).由f(3)g(3)3，得g(3)f(3)34，所以g(3)g(3)4，所以f(3)g(3)3431.答案：A变式2：设函数f(x)(xR)为奇函数

9、，f(1)，f(x2)f(x)f(2)，则f(5) ()A. 0 B. 1C. D. 5【解析】由f(1)，对f(x2)f(x)f(2)，令x1，得f(1)f(1)f(2).又f(x) 为奇函数，f(1)f(1)，于是f(2)2f(1)1；令x1，得f(3)f(1)f(2)，于是f(5)f(3)f(2).答案：C6、函数的性质综合应用例题1：已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，bf(3)，cf(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是 ()A. c<b<a B. b<c<aC. c>a>b D. a<b&l

10、t;c【解析】由题意f(x)f(|x|).log47log2>1，|3|log23>1,0<0.20.6<1， |3|>|log47|>|0.20.6|.又f(x)在(，0上是增函数且为偶函数， f(x)在0，)上是减函数.c>a>b.答案：C变式1：若是奇函数，且在（0，）上是增函数，又，则的解是（）A. B. C. D. 【解析】选D。由题可知：f（x）是奇函数，（0，）上是增函数，图像关于原点对称要使，则当x>1时，f（x）<0,由图可知当x<1时，f（x）>0,由图可知【点评】此题考查奇函数的图像特点。例题2：已知

11、函数f(x)的定义域为(0，)，且对任意的正实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，且当x1时，f(x)0，f(4)1，（1）求证：f(1)0； （2）求f()； （3）解不等式f(x)f(x3)1.【解析】解：（1）证明：令x4，y1，则f(4)f(4×1)f(4)f(1).f(1)0.（2） f(16)f(4×4)f(4)f(4)2，f(1)f(×16)f()f(16)0， 故f()2.（3）设x1，x20且x1x2，于是f()0，f(x1)f(×x2)f()f(x2)f(x2). f(x)为x(0，)上的增函数.又f(x)f(x3)fx(x3)1

12、f(4)， 3x4.原不等式的解集为x|3x4.例题3：已知函数，且（1）求m的值；（2）证明的奇偶性；（3）判断在上的单调性，并给予证明;【解析】（1），. （2）因为，定义域为，关于原点成对称区间. 又，所以是奇函数. （3）设，则 因为，所以， 所以，因此在上为单调增函数. 变式：已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：（1）函数是上的减函数；（2）函数是奇函数 【解析】证明：（1）设，则，而函数是上的减函数（2）由得即，而，即函数是奇函数 【点评】在判断一个函数的单调性和奇偶性时，要严格按照单调性和奇偶性的定义来判断在判断此题函数的单调性时，需将再用题目给的关系式化为

13、作差法的第一步题型三、基本初等函数I1、指数函数与对数函数的定义域、值域问题例题1：求下列函数的定义域和值域（1） 2； （2）()； （3）10；（4）； （5）；【解析】提示：由于指数函数y=ax,(a0且a1)的定义域是R，所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求，教师适时点拨和提示，求定义域，只需使指数有意义即可，转化为解不等式.（1）令x-40，则x4，所以函数y=2的定义域是xRx4， 又因为0，所以21，即函数y=2的值域是y|y>0且y1.（2）因为-|x|0，所以只有x=0. 因此函数y=()的定义域是xx=0. 而y=()=()0=1，即函数y=(

14、)的值域是yy=1.（3）令0，得0， 即0，解得x<-1或x1， 因此函数y=10的定义域是xx<-1或x1. 由于-10，且2，所以0且1. 故函数y=10的值域是yy1,y10.（4）令，则， ， ，即函数值域为（5）令，则， ， 即函数值域为【点评】求与指数函数有关的定义域和值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性，特别是第（1）题千万不能漏掉y>0.变式：函数恒过定点_ .【解析】因为y=ax过点（0，1），所以当x=0时，y=0+5=5，所以原函数过定点（-5,2）【点评】解决定点问题，关键是理解指数与对数函数的定点2、解指数式、

15、对数式方程例题：已知，则（ ） 2 4 8 32【解析】例题：已知 ，求的值 ； ，求的值。【解析】 解：原方程可化为，x2=2，解得x=或x=.经检验，x=是原方程的解，x=不合题意，舍去. x=1或x= 6变式：解方程：（1）； （2）【解析】（1）解：原方程为6×3-x27=0，(3-x3)(3-x9)=0.3-x30，由3-x9=0得3-x=32.故x=2是原方程的解.（2）解：原方程为lg2(x10)3lg(x10)4=0，lg(x10)4lg(x10)1=0.由lg(x10)=4，得x10=10000，x=9990；由lg(x10)=1，得x10=0.1，x=9.9.检验

16、知： x=9990和9.9都是原方程的解.3、指数函数与对数函数的图像例题1：在同一坐标系中画出函数的图像，可能正确的是（ ）【答案】Dy=dxy=cxy=bxy=axOyx变式：（1）如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx,在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序（ ）A、a<b<c<d B、a<b<d<cC、b<a<d<c D、b<a<c<d（2）根据对数函数图象判断底数的大小关系：【答案】（1）C （2）由图可知4、指数函数与对数函数的性质例题1：已知指数函数

17、的图象过点（） （1）求的值； （2）利用图像比较三个函数值的大小。【解析】（1）设指数函数f(x)=ax（a0且a1）因为图象过点（3,）,所以f(3)=a3=,即a=,f(x)=()x.再把0,1,3分别代入,得：f(0)=0=1, f(1)=1=, f(-3)=-1=.（2）由图易知f(1)>f(0)>f(-3)【点评】根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用.例题2：解不等式：（1）； （2）（3）【解析】（1）（2）（3）由题意得又原不等式可化为例题3：比较下列两个数的大小:（1）； （2）； （3）； （4）,2.【解析】利用指数函数的性质

18、对两个数进行大小的比较：对（1）因为函数y=3x在R上是增函数，0.80.7，所以30.8>30.7；对（2）因为函数y=0.75x在R上是减函数，0.1-0.1，所以0.75-0.1>0.750.1；对（3）由指数函数的性质知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6，所以1.80.6>0.81.6；对（4）由指数函数的性质知()>()0=1=20>2，所以()>2.【点评】在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时，首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较。若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量，两

19、个数都与这个中间量进行比较，这是常用的比较数的大小的方法，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中间量法”.变式：比较大小设alog0.70.8，blog1.10.9，c1.10.9，则a、b、c的大小顺序是（ ）A、a<b<c B、b<c<a C、b<a<c D、c<b<a【解析】选C。因为0<a<1，b<0，c>1，所以b<a<c例题4：判断下列函数的奇偶性。 （1） （2）【解析】（1）函数的定义域为 又 是奇函数（2）恒成立，故的定义域为， ， 所以，为奇函数。【点评】讨论奇偶性前先讨论函数定义域，再

20、判断f(-x)与f(x)的关系。5、幂函数的概念与基本性质例题1：个幂函数：；，其中定义域为的是 （ ） 只有 只有 只有 只有【答案】C变式：设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为 （ ） ， ， ， ，【答案】A例题2：当时，幂函数为减函数，则实数（ ） 或 【答案】A6、基本初等函数的综合应用例题1：已知函数，（1）求函数的定义域；（2）讨论奇偶性；（3）讨论函数在定义域内的单调性【解析】（1）由，解得定义域为（2），函数为奇函数（3）在区间内，任取，且设，则， 在在上单调递减，又是奇函数， 所以在上也是减函数【点评】求与对数函数有关的定义域时，要注意到充分考虑并利用对数函数本身的要

21、求，并用单调性与奇偶性的定义证明其单调性与奇偶性例题2：函数的定义域为M，函数（）.（1）求M；（2）求函数的值域；（3）当时，若关于x的方程有实数根，求b的取值范围，并讨论实数根的个数.【解析】解：（1）， （2）设， 当时递减，当时递增，所以时，； 当时递增，所以 故的值域为 （3），即，方程有实根ó函数与函数（）的图象有交点. 由（2）知， 所以当时，方程有实数根. 下面讨论实根个数：当或当时，方程只有一个实数根 当时，方程有两个不相等的实数根 当时，方程没有实数根变式：已知函数在区间上是单调递减函数，求实数a的取值范围【解析】令，则，由以上知的图象关于直线对称且此抛物线开口向

22、上因为函数的底数21，在区间上是减函数所以在区间上也是单调减函数，且，解得故a的取值范围是【点评】本题主要考查复合函数单调性，注意对满足函数定义域的讨论题型四、函数的应用1、函数与方程例题1：（1）若函数有且仅有一个零点，求实数a的值；（2）若函数有4个零点，求实数a的取值范围【解析】（1）若a=0，则, 令，即，得，故符合题意；若a0，则是二次函数，故有且仅有一个零点等价于=1+4a=0，解得，综上所述或（2）若有4个零点，即有四个根，即有四个根， 令，作出的图象，由图象可知如果要使有四个根， 那么与的图象应有4个交点故需满足，即a的取值范围是【点评】本题（1）注意讨论零点时，讨论二次项系数

23、是否为0；本题（2）主要考查函数与方程思想的运用，需数形结合，把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题变式1：若函数f (x)=ax -x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 【解析】设函数a1)和函数，则函数f (x)=ax -x-a(a>0且a1)有两个零点，就是函数 a1)与函数有两个交点，由图象可知当时两函数只有一个交点，不符合，当时，因为函数的图象过点(0,1)，而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是【点评】本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系，隐含着对指数函数的性质的考查，根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答变式2：设二次函数，方程的两根和满足（I）求实数的取值范围；（II）试比较与的大小并说明理由【解析】（）令，则由题意可得故所求实数的取值范围是（II），令当时，单调增加，当时，即<【点评】本题主要考查二次方程根的分布和二次函数的基本性质，注意数形结合，二次方程根的分布问题