(完整word版)高中数学复合函数练习题(2)

1、1第一篇、复合函数问题一、 复合函数定义：设 y=f(u)的定义域为 A, u=g(x)的值域为 B,若 A B,则 y 关 于 x 函数的 y=f g(x)叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量.二、 复合函数定义域问题：(一)例题剖析：(1)、已知f (x)的定义域，求f g(x)的定义域思路：设函数f (x)的定义域为 D,即x D，所以f的作用范围为 D,又 f 对g(x)作 用，作用范围不变，所以g(x) D，解得x E, E 为f g(x)的定义域。例 1.设函数f (u)的定义域为(0, 1),贝U函数f (In x)的定义域为 _ 。解析：函数f (u)的定义域为(0,

2、 1)即u (0,1)，所以f的作用范围为(0, 1) 又 f 对 Inx 作用，作用范围不变，所以0 In x 1解得x (1,e)，故函数f (In x)的定义域为(1, e)x 1即1，解得x1且x21x 1故函数f f(x)的定义域为x R|x 1且x 2(2)、已知f g(x)的定义域，求f (x)的定义域思路：设f g(x)的定义域为 D,即x D,由此得g(x) E,所以 f 的作用范围为 E,例 3.已知f(32x)的定义域为x1,2，则函数f (x)的定义域为又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以x E,E为f (x)的定义域。解析：f (3 2x)的定义域为1,2，即x1

3、,2，由此得3 2x 1,5例 2.若函数f(X)，则函数x 1f f (x)的定义域为解析：先求 f 的作用范围，由f(x)1，知xx 1即 f 的作用范又 f 对 f(x)作用所以f(x)R且f (x)1，即f f (x)中 x 应满足x 1f(x) 12所以 f 的作用范围为1,5，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以x 1,53即函数f(x)的定义域为1,52例 4.已知f(x24) lg，则函数f (x)的定义域为 _x 8x (4，)，即f (x)的定义域为(4,)(3)、已知f g(x)的定义域，求f h(x)的定义域思路：设f g(x)的定义域为 D，即x D，由此得g(x

4、) E，f的作用范围为 E，f的作用范围为即f (log2x)的定义域为2，4围是 f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。(二)同步练习：21、 已知函数f(x)的定义域为0, 1，求函数f(X)的定义域。答案：1,1解析：先求 f 的作用范围，由f(x24)2xlg二，知x282xx28解得x244，f 的作用范围为(4,)，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以又 f 对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x) E，解得x F，F 为f h(x)的定义域。例 5.若函数f (2x)的定义域为

5、1，1，则f (log2x)的定义域为解析：f (2x)的定义域为1，1，即x“，由此得/，2又 f 对log2x作用，所以log2x12，2，解得x 2，4评注：函数定义域是自变量x 的取值范围(用集合或区间表示)f 对谁作用，则谁的范42、 已知函数f(3 2x)的定义域为3, 3，求f(X)的定义域。5当0 a 1时，定义域为x |母的方法。答案：3, 93、已知函数y f(x 2)的定义域为(*)，求f(|2x 1 |)的定义域。13答案：(訐)(応)2xx24、设fxlg厂匚，则气f-的定义域为(A.4,00,4B.4, 11,4C.2, 11,2D.4, 22,4解：选 C由 J得

6、，f (x)的定义域为x| 2 x 2。故2 x2,，解得2.x 4, 1 U 1,4。故f- 的定义域为x4,1,45、已知函数f (x)的定义域为(1,|)，求g(x) f(ax)xf( )(aa0)的定义域。解析1由已知，有212ax(1)当a 1时，定义域为x|323(2)当32a32a，0 a 1时,12aa2;丄2a32a,3a.2定义域为x |定义域为x |a2|a，即1x2ala；a 1时，有12a故当a 1时，定义域为x |12a点评 对于含有参数的函数,求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字26三、复合函数单调性问题(1)引理证明已知函数y f(g(x).若u g

7、(x)在区间(a, b)上是减函数，其值域为 (c , d)，又 函数y f (u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y f(g(x)在区间(a,b)上 是增函数.证明：在区间(a,b)内任取两个数xi,x2，使a xix2b因为u g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1) g(x2),记u1g(x1),U2g(X2)即u u2,且u1,u2(c,d)因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(uj f (u2),即f(g(xj)f(g(x2)，故函数y f(g(x)在区间(a,b)上是增函数.(2) .复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为

8、了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：y f (u)增/减u g(x)增/减增/减y f(g(x)增/减减增/以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”(3) 、复合函数y f(g(x)的单调性判断步骤：i确定函数的定义域；ii将复合函数分解成两个简单函数：y f (u)与u g(x)。iii分别确定分解成的两个函数的单调性；iv若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数，或都是减函数)，则复 合后的函数yf(g(x)为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数，而另一个是减函数)，则复合后的函数y f(g(x)为减函数。(4) 例题演练例 1、求函数y

9、 log1(x22x 3)的单调区间，并用单调定义给予证明7解：定义域x22x 3 0 x 3或x1单调减区间是(3,)设X1,X2(3,)且X1X2则22x13)23)y1log1(疋y2log1(X22x222X22x13)(X222x23)=(X2xJ(X2X12)X2x-i3x2X10 x2x120(捲22x13)(X222x23)1又底数021y2y10即yy1 y在(3,)上是减函数.同理可证：y在(，1)上是增函数.例2、讨论函数f(x) loga(3x22x 1)的单调性3f(x) loga(3x22x 1)为增函数例 3、.已知 y=loga(2-ax)在0, 1上是 x 的

10、减函数，求 a 的取值范围.解：a 0 且 1当 a 1 时，函数 t=2-a0 是减函数由 y=loga(2-ax)在0, 1 上 x 的减函数，知 y=logat 是增函数，a 1由 x :0, 1时，2-ax2-a 0,得 av2,1vav2解 由3x22x 10得函数的定义域为x|x 11,或x1扌则当a1时，若x 1, .u 3x22x 1为增函数，f (x) loga(3x22x1)为增函数.若X1.3，.u 3X22x 1为减函数.f(x)loga(3x22x1)为减函数。当0 a1时,右X1,则f(x)loga(3x22x1)为减函数，若x-,则28当 0a0 是增函数由 y=

11、loga(2-ax)在0, 1上 x 的减函数，知 y=logat 是减函数， 0a0, 0a1 a 为负整数，p(x12x2) 2p 116p1,16p10.当X1,X2( 3,0)时,F(x)增函数,F(xJ F(X2)0.16p10.(5)同步练习:解析：先求函数定义域为(0,1)U(2,+)，令t(x)=X2+3x+2,函数t(X)在(一3,1)综上述，0a 0,解得X 4 或XV1,所以x1 )U( 4, +),当x(s.1)U(4,+), |=X25x+4=R+，所以函数的值域是 R+.因为函数y=log1(X2 5x+4)是由y=log1(x)与3(X)=x2 5x+ 4 复合而

12、成，函数y=log13(X)在其定义域上是单调递减的，函数5(X)=x25X+4 在(8,)25上为减函数，在-,+8上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,2y=log-13(x2 5X+ 4)的增区间是定义域内使y=log1(X)为减函数、(X)=x2 5X+ 4 也3为减函数的区间，即(一8,1) ；y=log1(x2 5x+ 4)的减区间是定义域内使y=log133(X)为减函数、(X)=x25X+4 为增函数的区间，即(4,+8).变式练习、选择题1.函数f(X)=Jog1(x1)212B. (2,+8)A. (1, +8)13C. (-m, 2)解析：要保证真数大于 0，还

13、要保证偶次根式下的式子大于等于0,x10所以logjx1) 0解得1vxw22答案：D2. 函数y=log1(x2 3x+ 2)的单调递减区间是()2A. (8,1)B. (2,+)33C.(8, )D. ( ,+722解析：先求函数定义域为(o,1)u(2,+8)，令t(x)=x2+3x+2,函数t(x)在(一8,1)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y=log1(x23x+2)在(2,+8)上单调递减.2答案：B3. 若 2lg(x2y)=lgx+lgy,则的值为()x1A. 4B. 1 或41C. 1 或 4D.-4错解：由 2lg(x 2y)=lgx

14、+lgy，得(x 2y)2=xy，解得x= 4y或x=y,则有x答案：选 B正解：上述解法忽略了真数大于 0 这个条件，即x2y0，所以x 2y.所以x=y舍掉.只有x= 4y.答案：D4.若定义在区间(一 1, 0)内的函数f(x) =log2a(x+1)满足f(x) 0,贝U a的取值范围为()11A. (0,)B. (0,22C.(1,+R)D.(1,2D. ( 0,+)142解析：因为x ( 1, 0),所以x+ 1 ( 0, 1).当f(X) 0 时，根据图象只有 0v12avI,解得 0Vav1(根据本节思维过程中第四条提到的性质)2答案：A25函数y=lg( 1)的图象关于()1

15、-XA.y轴对称B.X轴对称C.原点对称D.直线y=X对称21+x1+x1+x解析：y=lg(1)=lg，所以为奇函数.形如y=lg或y=lg1x1x1 x1 x的函数都为奇函数.答案：C二、填空题已知y=loga(2ax)在0, 1上是x的减函数，贝Ua的取值范围是 _.解析：a0 且a* 1(x)= 2 ax是减函数，要使y=loga(2 ax)是减函数，2则a 1,又 2ax0av -(0vxv1)av2，所以a( 1, 2).3答案：a( 1, 2)17.函数f(x)的图象与g(x) = ( )x的图象关于直线y=x对称，则f(2xx2)3的单调递减区间为 _ .解析：因为f(x)与g

16、(x)互为反函数，所以f(x) =log1x3则f(2xx2) =log1(2xx2),令(x)= 2xx20,解得 0vxv2.3(x)= 2xx2在(0, 1)上单调递增，则f(X)在(0, 1)上单调递减；(X)= 2xX2在(1, 2)上单调递减，则f(X)在1, 2) 上单调递增.所以f(2xX2)的单调递减区间为(0, 1).答案：(0, 1)1&已知定义域为 R 的偶函数f(x)在0,+上是增函数，且f( )= 0,152则不等式f(log4X)的解集是_ .21611解析：因为f(X)是偶函数，所以f( )=f()= o又f(X)在】0,+221上是增函数，所以f(x)

17、在(汽 0)上是减函数.所以f(iog4x)o iog4x 或 iog4x21v .21解得x 2 或 0vxv21答案：x 2 或 0vxv -2三、解答题9.求函数y=log1(x2 5x+ 4)的定义域、值域和单调区间.3解：由(x)=x2 5x+ 4 0,解得x 4 或xv1，所以x( s,1)U(4,+55, +上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,2(x2 5x+ 4)的增区间是定义域内使y=log1(X)为减函数、3为减函数的区间，即(一8,1) ；y=log1(x2 5x+ 4)的减区间是定义域内使y=log133(X)=x2 5x+ 4 为增函数的区间，即(4,+)

18、.232x10.-设函数f(x)=+lg,3x+53+2x(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 判断函数f(X)的单调性，并给出证明；(3) 已知函数f(x)的反函数f1(x),问函数y=f1(x)的图象与x轴有交点吗？若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由.32x5333m),当X(8,1)U(4,+) , |=x25X+4=R+，所以函数的值域是R+.因为函数y=log1(x2 5x+ 4)是由y=log1(x)与33(X)=x2 5x+ 4 复合而成,函数y=log13(X)在其定义域上是单调递减的，函数(X)5=X2 5X+ 4 在(2上为减函数，在y=log13(X)=x2 5x+

19、 4 也(X)为减函数、17解：(1 )由 3x+ 5丰0 且 0,解得XM -且一vxv.取交集得一vx3+2x32223v -.(2)令 (x)= 3X+ 5，随着X增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；32x6=-1+随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数.3+ 2x3+2x32X又y= lgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y=Ig3是减函数，所以f3+2x232x(x)=+Ig是减函数.3x+53+2x(3)因为直接求f(X)的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解.设函数f(x)的反函数f-1(x)与工轴的交点为(xo, 0)

20、.根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f(x)与y轴的交点是(0,Xo),将(0,xo)代入f(X),解得xo22=土 所以函数y=f1(X)的图象与X轴有交点，交点为(，0)。55-.指数函数与对数函数同底的指数函数y ax与对数函数y logaX互为反函数；(二) 主要方法：1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2 指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1 还是小于 1，要注意对底数的讨论；3 比较几个数的大小的常用方法有：以0和1为桥梁；利用函数的单调性；作差.(三) 例题分析：例1(1)若a2b a 1，则logb-，Iogba，logab从小到大依次为 _a(2)

21、若 2X3y5z，且X，y，z都是正数，贝U2x ,3y，5z从小到大依次为(3)设x0,且XXa b1(a 0，b0)，则a与b的大小关系是( )(A)b a1(B)a b 1(C)1b a(D)1 a b2解：(1 )由ab a1得ba，故logblogba 1logab.aa(2) 令2X3y5zt，则lgtt 1，xlgt ylgt zIg2lg3lg5/. 2x 3y2lg t3lgtlgt (Ig9 Ig8)0，2x3y；Ig2Ig3Ig2 Ig3同理可得：2x 5z 0，2x 5z，3y2x 5z.(3)取x 1，知选(B).例 2.已知函数f(x)Xx a2(a 1)，x 118求证：(1)函数f(x)在(1,)上为增函数；(2)方程f (x)0没有负数根.证明:(1)设1X1X2，则f (X1)f (X2)aX12X2aX22X11X21J川x-i2X22一XX23(x1x2)aax11Xa a1(X11)(X21)19Xi10,X210,XiX20,3(为X2)(Xi1)(X21)1