2017-2018学年高中数学考点8函数与方程、函数模型及其应用(含2015年高考试题)新人教A

1、考点 8 函数与方程、函数模型及其应用 、选择题 1. （ 2015 安徽高考文科T4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） 2 A.y=l nx B.y=x +1 C.y=si nx D.y=cosx 【解题指南】根据偶函数的定义域关于原点对称， 偶函数的图像关于 y 轴对称及函数零点的 的定义进行判断。 【解析】选Do 选项 具体分析 结论 A y=lnx 的定义域为 x0,故 y=lnx 不具备奇偶性 厂 错误 B 2 亠 . . . _. _ y=x +1是偶函数，但x2+1=0无解，即不存在零点 错误 C y=sinx 是奇函数 错误 D y=cosx是偶函数且当 x=k兀+二

2、，kz时 cosx=0 正确 2. （2015 安徽高考理科T2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A y =cosx B 、y =sinx C 、ynx D 、y，1 【解题指南】根据偶函数的定义域关于原点对称， 偶函数的图像关于 y 轴对称及函数零点的 的定义进行判断。 【解析】选 Ao 选项 y/iSk 具体分析 结论 A y=cosx是偶函数且当、x = k 兀+ ,kz 时 cosx=0 正确 B 2 y=sinx 是奇函数 错误 C y=x21 是偶函数，但x2+1=0 无解，即不存在零点 错误 D y=l 门气的定义域为 x0,故 y=lnx 不具备奇偶性 错误 3. （20

3、15 北京高考文科T8）某辆汽车每次加油都把油箱加满 ，下表记录了该车相邻两次加 油时的情况： 加油时间 加油量（升） 加油时累计里程（千米） 2015 年 5 月 1 日 12 35 000 2015 年 5 月 15 日 48 35 600 注：“累计里程”是指汽车从出厂开始累计的路程2 在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 ( ) A.6 升 B.8 升 C.10 D.12 升 【解题指南】平均耗油量=加油量 100 里程 4812 【解析】选 A. 100 = 6 35600-3500 |2 x , x 兰 2, 4.(2015 天津高考理科T8)已知函数f x = 2 函数

4、 (X-2), x2, 中 b R,若函数 y=f(x)-g(x) 恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是 ( A.( ，+ a) B.(- C.(0,) D.( ,2) 【解析】选 D.由 x , x 兰 2, 得 2 r x-2 , x 2, 2 x +x2, 12- f(2 Xi x ,x3 0 x ： 0 4 |x| |2 = x|, 0 兰 x 兰 2 , 2 豪 X|+(X2)2X2 所以 y = f (x) f (2 - x)二 y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b, 所以 y=f(x)-g(x) 恰有 4 个零点等价于方程 f(x)+f(2-x)-b=0 有 4

5、个不同的解，即函数 y=b 的图象有 4 个公共点，由图象可知 b2 y=f(x)-g(x) 的零点的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选A.当x0时,f(2-x)=x 1+乞 x=-; 当 00,所以 f(f(a)=2 徇成立时，令 f(a)=t,只需考虑 t : 1 3 1 及 t _1 即分三类：3a-1 ：1 和仁 3a-1：2 及 2a _2 ( f(a) _1)考虑. 3 I 1 4 2 当 3a -1 ： 1 即卩 a 时，选项 A B 都排除，只有f(a)_1时满足题意. 3 9 3 当 a _1 时，f (a) =2a _2，此时 f (f (a) =

6、2f (a)； 当 a ：1 时，f (a) =3a -1，若 f (a) =3a -1 _1，则 a _ 2 时 f(f (a) =2f. 73 ? 2 ) 故a的取值范围是、土，址. 3 丿 & 3x b,xc1, 5 8.(2015 山东高考文科T10)设函数f(x)= 若f(f()=4，则b = 2x,X_1. 6 可以对分段函数 f(x)分情况讨论，或将选项代入验证 7 3 1 【注】本题也可以将b = 1、 、丄逐一代入验算. 8 4 2 、乐K a 2x0 【解析】选 C.f(x)= :、填空题 ,则 f(f(-2)=f(2 8 2x a 1 12. (2015 北京高考

7、理科T14)设函数f(x) = _d， ，若 a=1,则 f(x) 4(x 的最小值为 _ ;若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是 _ . 【解题指南】 对于问，可以作出图象求最小值对于问讨论 a 找零点个数. 【解析】 f(x)二 2 _1,x ：1 |4(x _1)(x_2), x -1. a : 2 若 a0,当 x1,f(x)=2 x-a 恰有一个零点 log 2a 时，有 a : 1解得*空a ： 1； 2a 一1 当x ：1,f(x) =2x a无零点时， 若a冬0时，当x :：: 1时，f(x) 所以a_1 ,无解。 2a -1 综上，丄空a ：1或a _2。

8、2 答案：-1 13. (2015 a2 ，解得 a3 2。 1 a ： 2a 无零点；当X_1时，由题意知应恰有两个零点, 四川高考理科T13)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：C ) 满足函数关系y b(e=2.718为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0C的保鲜 时间是 192 小时,在 22C的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33C的保鲜时间是 小时. 9 【解题指南】把题设中两组时间与温度的值代入函数解析式 当x=33时吨192=24 答案：24 0,0 XE1, 14. (2015 江苏高考 T13)已知函数 f(x)=|lnx|,g(x)=

9、2 则方程 |Jx 4|2,XA1, |f(x)+g(x)|=1 实数根的个数为 _ . 【解题指南】 求|f(x)+g(x)|=1 实数根的个数即为求 y=f(x)与 y=1-g(x)图象交点的个数和 的解析式即可 0,0 : x 叮， 【解析】因为 g(x)= 2 -x2,1 ： x ： 2, # -6,x 3 2, 1,0 ex M, 所以 1-g(x)= X2 -1,r： X ：2, 7 -X2,2, -1,0 ： x 叮, 2 -1-g(x)= X -3,1：X ：2, I 2 5 -x , x _ 2. ,而 y=f(x)与 y=1-g(x)的图象有两个交点 ，y=f(x) 与 y=-1-g(x)的图象也有两个交点，所以|f(x)+g(x)|=1 实数根的个数为 4. 答案：4 【解由题意得 192 48