福建省莆田市201O年高三教学质量检查（数学理）

1、福建省莆田市2010年高中毕业班教学质量检查数学(理科)试题参考公式：如果事件a、b互斥，那么p(a+b)=p(a)+p(b)；如果事件a、b互相独立,那么p(a b)=p(a) p(b)；样本数据尤,x2,乙的标准差:x =(x x)2 + (x9 x)2 +. + (xn x)2,其中兀为样本平均数; v n"锥体体积公式：v=-sh，其中s为底面面积，/?为高。3第i卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题意要求的。把答案填写在试卷的指定位置。1.集合m =xx-l>0 , n = xx-l<

2、;2,则mjn=()a. x i x > 1b. xx> -1c. xll<x<3d. xlx<32.经过圆x2 + y2 + 2x的圆心，且与直线x + y = 0®直的直 线/的方程式()a. x+y + l = 0b. x- y4-1 = 0c. x + >'-1 = 0d. x-)?-1 = 0a的值为()3115157a.b.c.). 一1616843阅读如图所示的程序椎图，运行相应的程序，则输出)a.? 2与椭圆詁令=1有公共焦点,且离心率心訥双曲线方程为(r_ =%2d.x2y2132122侧視图7.下列既是奇函数,乂在区间-

3、1,1上为减函数的是（a. f（x） = -sin2xb. /（x） = -lx + l ic. f（x） = 2x-2xd. =2 + x8. 如图，d是边长为4的正方形区域，e是区域d内函数y = 图像下方的点构成的区域，向区域d中随机投一点，则该点落入区域 e中的概率为（）.11、11a. b.c.d.5432-2°2 x9. 已知 a> b c 为非零的共面向量,p:b-c=b + c, q: (a b)c = (a b)c = (a c)b ,则卩是9的（）a.充分不必要条件c.充分且必要条件b.必要不充分条件d.既不充分又不必要条件10.如果存在1, 2, 3,斤的

4、一个新系列勺，a2,an,使得 k + ak ( k 二1,5. 某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）a. 4羽b. 83c. 12巧d. 2436. 下列关于函数的零点的说法中，正确的是（）a.不存在零点b. 有且只有一个零点兀0，且兀00（八，1）c. 有且只有一个零点兀0，且x0 （1, e2）d. 有两个零点2,，n）都是完全平方数，则称为“好数”。若分别取4, 5, 6,则这三个数屮，“好数” 的个数是（）a. 3b. 2c. 1 d. 0第ii卷（选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，没小题4分，共20分。把答案填写在试卷的是定位置。12. 设函数/(x

5、)=(l) x<0,则fm = -的实数兀的值为2 2log4 x, x > 0 ,13. 在某电视台举办的挑战主持人人赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是07 98 4 尿】訓？14. 若实数兀、y满足线性约束条件"52泌。设冃标函数z = x 2y,则z的取值范围是。tt7t15. 某同学利用描点法画函数asin(ejc + 0)(其小a>0, 0<6><2, 一一<(/)<)22的图象，列出的部分数据如下表：x01234y101-1-2经检杏，发现表格中恰有一组数据计

6、算错课,请你根据上述信息推断函数asin(x + <p)的解析式应是o三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16. (本小题满分13分)在 abc中，角a、b、c所对的边分别是q、b、c,且a2+b2=c2-ab.(i )求角c的大小;(ii)若 cos a =v33,求cos2b的值。17. (木小题满分13分)己知等差数列%的公差d0,且a4 +a6 =10 , a4-a6 =24o(i) 求数列£的通项公式;（ii）设化=（n g n莺,数列bn的前n项和为7；,若tn>m对任意 w n*恒色®+i成立，求整数m的最

7、大值。1& （本小题满分13分）如图，在四棱锥p-abcd中，底e abcd为正方形，p4丄底面abcd , pa = ad = 2f e是棱pc的中点。（i）设点g在棱a3上，当点g在何处时，可使直线ge丄平epcd,并证明你的 结论；（ii）求直线ac与平面ade所成角的大小。19. （本小题满分13分）某学校举办“有奖答题”活动，每位选手最多答10道题，每道题对应1份奖站，每份奖 品价值相同。若选手答对一道题，则得到该题对应的奖品。答对一道题z后可选择放弃答题 或继续答题，若选择放弃答题，则得到前面答对题目所累积的奖品；若选择继续答题，一旦 答错，则前面答対题目所累积的奖品将全部

8、送给现场观众，结朿答题。2假设某选手答对每道题的概率均为一，各题z间答对与否互不影响。己知该选手已经 3答对前6道题。（i）如果该选手选择继续答题，并在最后4道题中，在每道题答对后都选择色继续答 题。（i）求该选手笫8题答错的概率;(ii)记该选手所获得的奖站份数为写出随机变量歹的所有町能取值并求歹的数学期望eg：(ii)如果你是该选手，你是选择继续答题还是放弃答题？若继续答题你将答到第几题? 请用概率或统计的知识给出一个合理的解释。20. (本小题满分14分)已知点3 (-1, 0)、c (1, 0),平面上的动点p满足冏网二丽荒，记动点p 的轨迹为曲线e。过点c作直线交曲线e于两点m、n

9、, g为线段mn的中点，过点g作 兀轴的平行线与曲线e在点m处的切线交与点人。(i )求曲线e的方程。(ii) 试问点力是否恒在一条定直线上？证明你的结论；(iii) 若直线ag平分zmac f求直线mn的方程。21. (本小题满分14分)1q.已知函数 /(x) = x3 - (a + l)x +4ax , (a wr)。(i )若函数y = /(x)在区间(-oo,0)上单调递增，在区间(0, 1)上单调递减，求实数 a的值；(1【)若常数avl,求函数/(兀)在区间0, 2上的最大值；(iii) 已知a=0,求证：对任意的加、n ,当m<n< 1时，总存在实数t w (m,

10、n),使不等式/(m) + f(n) < 2/(0成立。福建省莆田市2010年高中毕业班教学质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、木解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种揭发供参考，如果 考牛的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准制定相应的评分细则。二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答耒改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定示继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一 半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数。选择

11、题和填空题不给中间分。一、选择题1-5 bbcaa 6-10 ddcac二、填空题)8717113. l + 3i 14. 15. 16. y = 2sin(一xh)2536三、解答题16.本题主要考査三角形的边角关系、同角夕角函数基本关系、两角和与差的三角函数等基础 知识，考査运算求解能力、考査化归与转化思想满分13分.解：（）因为 wc'ab,所以 cosc = 2 分2ab= 4分6分7分9分11分13分又"（oe）,所以c考.3-所以 sinb =sin(y-i4)1+2 冷（h）因为c孝所以八恥芋,又 cos4 =所以 cos2b = 1 -2sib =17.本题主

12、要考査等差数列的概念、通项公式、数列求和、数列单调性等基础知识考査推理论 证能力、运算求解能力,考査函数与方程思想、化归与转化思想满分13分.解:(i)依题意得(flj +3j) + (a( +5(/) = 10,(di +3rf)(fl| +5d) =24,因为d>0,所以骨丁a = i.所以 am=aj +(n-l)c/ = n(nn*). (u)因为6一5wn)又比”,得®二1所以人=6】+ 6? +十6. = (1 亠七n +11 1 n(n + l) n n 4-t1 _ 1 n n +1)+10分由tm对一切"n恒成立，即】-一对一切"n恒成立：

13、h + 1t当“n时因为令)(一占卜占鼎>0,所以数列为递增数列.11分故由1m对一切nen*恒成立可得7mm,即mw* 12分又mwz,故m的最大值为0. 13分1&本题主要考査空间玄线与平面的位置关系等基础知识考査空间想象能力、推理论证能力、 .运算求解能力，考査化归与转化思想满分13分.解：(i )当0为/ib中点时.ge丄平面pcd,证明如下：4取pd的中点，连eh,ah9ge. eh/cd, eh = cd ,agcd,ag = *cd,.ag刃四边形age"为平行四边形,ge/ah. 2? 石中,pa =ad,. ah丄pd. 3刃丄底面abcd,. pa丄

14、cd.又 ad 丄 cd. pa cl ad = a, /. cd 丄面 pad. ahu 面cd 丄 ah.且 pd c cd 二 d ah 丄面 pcd. 5分x ge/ah,:. ge丄平面 pc6加(h)如图以人为原点分别以直线ab.ad.ap为兀轴轴/轴建立空间直角坐标系， 则 a(00,0),b(2,0.0),c(2,2,0),d(0,2,0), 7 分因为e为pc的史眾,所以 e( 1，1) fae = (1,1,1) ,ad - (0,2,0) 9ac = (2,2,0).,*>»出洽8 分设平面aed的一个法向倉为n二(x.y.z)，则備:予=>；】持&

15、quot;'9分令x = l,得n = (1.0l)是平面aed的一个法向量.:10分设直线ac与平面aed所成的角丸仇则 sin0 = loos <n > i =古書吉=* * 12分13分所以直线ac与平面aed所成的角为30。e.010p65168181e的分布列为9分10分19.本题主要考査概率、统计等基础知识，考査数据处理能力、运算求解能力以及运用数学知识 分析和解决问题的能力考査必然与或然思想满分13分.解:记“该选手答对第i题为事件人，则p(aj =壬(21,2,10).(i)(i)记“该选手第8题答错”为事件仏则p") *(,4“)二p(每)p(如

16、)=护十二寺 该选手第8题答错的概率为壬4分.(ii)g的所有可能取值为0,10.:,p(f = 10) p(a7ata9at0) = 3x3x3x3 "81* yp(“0)“p(q 10)=1 書二黑» 3 仏 r “j j o 1 o 16分7分8分所以今0嚼+ 10普器 (1【)如果我是该选手，那么答对前6道题后放弃答题理由如下：若选择继续答第7题，则答完该题后所获得的奖品份数7j的数学期望叼=0x*+7x寻労6,所以选择放弃答题.13分注:本小麵的结论及理由均不唯一，如果考生能用概率或统计知识分析，给出其他合理回 答同样给分如：如果我是该选手，那么将选择答完第7题后

17、放弃答题.理由如下：若选择继续答第7题并结束答题，则获得奖品的概率p(a7)=寻；而答到第8题并结束答 题,获得奖品的概率p(仏)# x壬诗 聲，所以选择答完第7题后放弃答题.5分6分ybb20.本题主要考査直线与直线、宜线与抛物线的位置关系和抛物线的几何性质等基础知识，考 査运算求解能力、推理论证璧力;考進数璽合思想、函数与方程思想满分14分.解：设动点ps)，由icpi1氏1 =丽迓,得 2 /(x-l)2+/=(x + l,y)(2,0), 2 分整理得/ =4%,所以曲线e的方程为/ =4x. 4分 (0 )设mg加)，n(巧，九)，由抛物线的对称性，不妨设点m在x轴的上方，即x &g

18、t;0.由y=277,i#/= 土，所以抛物线在点m处的切线am的斜率k = ± 所以直线am的方程为y-n-七&v xl 设直线mn的方程为"砒+ 1,由；2蟹"i'得/-4my-4=0, 因为 = (4m)2 + 16 >0,所以 x +y2 =4znf 所以mn的中点g(%,2m) 因为宜线ag/x轴，所以直线ag的方程为y=2m. 7分 由，得 =2m 77一力8分因为点m在曲线e和直线mn上，所以/ =4x,，且&二呼+ 1, 所以尤=my! -xj =«! - 1 -«| = -1. 9分所以对任意的m

19、 g r,点a的横坐标均为-1, 故点人恒在直线x = - 1上.(in )设直线ma交轴于点d,因为ag/x轴，且乙mm = "ac,所以zadc= "cd,由(u)知 43丄cd,所以iobi = ibci,所以 0( -3,0). 11 分又y-yj.令y = 0,得"-衍，所以 0( -尙，0).所以衍=3,北=2用=2再,m(3,2 7?):12分所以直线mn的方程为y=73(x-l), 13分结合抛物线对称性,得直线mn的方程为y=a(x1)或歹=a(x-l). 14分21 本题主要考査多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等

20、基 础知识，考査运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，考査数形结合思想、 分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想满分14分解 if (兀)=兀2-2(a + l)%+4a1 分(i )因为函数y=/(x)在区间(-«,0)上单调递增，(0,1)上单调递减，所以f(0) =4a=0,得a=0 3分又当応0时/(x) =/-2兀,所以当*0时/>0/(x)在区间(-oo,0)上单调递增; 当0<xl时")<0j(x)在区间(0,1)上单调递减.综上,八0时/幻在区间(-00,0)上是增函数,在区间(0,1)上是减函数.4分 (ii )令&

21、#163;(%) =0,得® = 2a,x2 =2.因为a<l,所以&<衍，5分当工变化时(%) /(%)印值的变化情况如下：厂 |(8,2a) 2a(2a,2) |2(2,+8)f(%)+0-0+ 7 分1 递增极大值| 递减 丨极小值遍注意到xe0,2.所以当awo时/(%)在区间0,2上单调递减/(*)的最大值为a0) =0. 8分当ovavl时/(%)在区间0,2a上单调递增，在区间2a,2上单调递减，/u)的最大值为/(2a) "a討. 9分10分12分13分(皿)解法一:取r二号，因为/(m) v(n)-2/*(y)+知 -n2 -(m + n)2+n)22( ?n n)jm fl)? (m + 7i 2).4注意到得(皿-町2>0,皿"-2<0.所以/(m) +/(“)-级申)<0.所以存在2号 (叫町5w1),使不等式/(