第三章 半导体中载流子的统计分布

1、第三章 半导体中载流子的统计分布引言1.热平衡状态：在一定的温度下，没有其他的外界作用，电子从价带跃迁到导带（本证激发），形成导带电子和价带空穴或者通过杂质电离的方式，电子从施主能级跃迁到导带产生导带电子；电子从价带激发到受主能级产生价带空穴，这一过程称为载流子的产生；与其相反的过程，即电子从高能量的量子态跃迁到低能量的量子态，并向晶格放出一定的能量，从而导带电子和价带空穴不断减少的过程称为载流子的复合。在一定的温度下，这两个相反的过程之间的动态平衡称为热平衡状态。这时，导带的电子浓度和价带空穴浓度保持一个稳定的数值，热平衡状态下的导电电子和空穴称为热平衡载流子。2.热平衡状态载流子浓度的计算

2、：允许的量子态按能量如何分布；电子在允许的量子态中如何分布；§3.1状态密度一、概念 表示在能带中能量E附近每单位能量间隔内的量子态数。二、计算状态密度的步骤Ø 首先算出单位k空间中的量子态数，即k空间中的量子态密度；Ø 然后算出k空间中与能量E(E+dE)间所对应的k空间体积，并和k空间中的量子态密度相乘，从而求得在该能量间隔的量子态数dZ；Ø 最后，根据式(1)求得状态密度g(E).三、k空间中量子态的分布k空间就是以波矢k的三个互相正交的分量kx、ky、kz为坐标轴的直角坐标系所描写的空间。k空间中电子的波矢k只能取分立值，而不能取任意值，其允许值

3、为：任一k值，沿一个坐标轴方向均为2𝛑/L的整数倍，在k空间均匀分布 其中，L是半导体晶体的线度，V=L3是晶体体积Ø 每个允许的能量状态在k空间中与由整数组(nx，ny，nz)决定的一个代表点(kx，ky，kz)相对应；Ø 电子有多少个允许的能量状态，在k空间就有多少个代表点；Ø 每一代表点的坐标，沿三个坐标轴方向均为2/L的整数倍，所以代表点在k空间内是均匀分布的。Ø 在k空间中，体积为83/V的小立方体中有一个电子。Ø 在k空间中，电子的允许能量状态密度是V/83Ø 如果计入自旋，k空间中每一个代表点包含自旋方向

4、相反的两个量子态。所以在k空间中，电子的允许量子态密度是2V/83，每个量子态只能容纳一个电子。四、球形等能面情况下的状态密度1.导带底状态密度及其推导为简单起见，先考虑能带极值在k=0、球形等能面的情况。假设导带底在k=0处，（3.1-2）在k空间中，以|k|、|k+dk|为半径作两个球面，分别为能量E(k)和(E+dE)的等能面。k空间的量子态密度：k空间的体积：4k2dk则在能量E (E+dE)之间的量子态数为：（3.1-3）由（2）式得到 对k两边取微分得到 代入（3）式得到（3.1-4）所以导带底附近的状态密度：（3.1-5）2.价带顶状态密度（）上式表明，导带底附近单位能量间隔内的

5、量子态数目，随着电子的能量增加按抛物线关系增大。即电子能量越高，状态密度越大。如右图所示状态密度与能量的关系。五、旋转椭球等能面情况下的状态密度1.导带底状态密度对于实际的Si、Ge半导体，在其导带底附近，等能面是旋转椭球面；导带底由s个(Si：6，Ge：4)状态；极值Ec不在k=0处。则E(k)与k的关系为：利用前述方法可得：（3.1-6）其中（3.1-7）2. 价带顶状态密度 在实际Si、Ge中，价带中起作用的能带是极值相重合的两个能带，与这两个能带相对应的有轻空穴有效质量(mp)l和重空穴有效质量(mp)h，因此价带顶附近状态密度应为这两个能带的状态密度之和，称为价带顶空穴的状态密度有效

6、质量(空穴态密度有效质量)。价带顶状态密度式子与球形等能面情况下的价带状态密度有相同的形式，（3.1-8）其中（3.1-9）§3.2费米能级和载流子的统计分布一、 费米分布函数1.定义电子服从泡利不相容原理，能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率为(3.2-1)（电子的费米分布函数)，描写热平衡状态下，电子在允许的量子态上如何分布的一个统计分布函数。其中k0为波尔兹曼常数。2.费米能级EF把半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，则费米能级是系统的化学势，即：（3.2-2）其中，：系统的化学势；F： 系统的自由能； N：电子总数；决定费米能级的条件是：上式的意义是：当系统处于热平

7、衡状态，也不对外界作功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。Ø 处于热平衡状态的系统有统一的化学势，故处于热平衡状态的电子系统有统一的费米能级；Ø 费米能级与温度、半导体材料的导电类型、杂质的含量以及能量零点的选取有关；Ø 只要知道了费米能级的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定。3. 费米分布函数的特性T=0K时：即热力学温度为0K时，能量小于EF的量子态被电子占据的概率为100%，故这些量子态上都是有电子的；反之，则被电子占据的概率为0，故这些量子态上都没有电子，是空的；热力学温度为

8、0K时，费米能级可看成量子态是否被电子占据的一个界限。T>0K时：即系统热力学温度大于0K时，能量小于EF的量子态被电子占据的概率大于50%；能量等于EF的量子态被电子占据的概率等于50%；能量大于EF的量子态被电子占据的概率小于50%；热力学温度大于0K时，费米能级是量子态基本上被电子占据或基本上是空的的一个标志；随着温度的升高，电子占据能量小于费米能级的量子态的概率下降，而占据能量大于费米能级的量子态的概率增大。一般可以认为：Ø 在温度不很高时，能量大于费米能级的量子态基本上没有被电子占据；能量小于费米能级的量子态基本上为电子所占据；Ø 电子占据费米能级的概率在各

9、种温度下总是1/2；Ø 所以费米能级的位置比较直观地标志了电子占据量子态的情况，通常就说费米能级标志了电子填充能级的水平；Ø 费米能级位置较高，说明有较多的能量较高的量子态上有电子。二、玻耳兹曼分布函数当，这时，费米分布函数转化为(3.2-3)其中,称为电子的波尔兹曼分布函数。电子的玻耳兹曼分布函数在上述能量范围，量子态被电子占据的概率很小，正是玻耳兹曼分布函数适用的范围。三、空穴的分布函数 f(E)表示能量为E的量子态被电子占据的概率，因而1- f(E) 就是能量为E的量子态不被电子占据的概率，这也就是量子态被空穴占据的概率。即空穴的费米分布函数为：当空穴的费米分布函数转

10、化为（3.2-4）其中这表明当E远低于EF时，空穴占据能量为E的量子态的概率很小，即该量子态几乎都被电子所占据Ø E增大时，空穴占有几率增加；EF增大时，空穴占有几率减小，即电子的填充水平增高；Ø 服从玻耳兹曼分布的电子系统称为非简并系统，相应的半导体称为非简并半导体；服从费米分布的电子系统称为简并系统，相应的半导体称为简并半导体。四、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度（非简并情况）导带中大多数电子是在导带底附近，而价带中大多数空穴则在价带顶附近。导带价带电子浓度（3.2-5）空穴浓度（3.2-8）有效状态密度（3.2-6）有效状态密度（3.2-9）电子占据Ec的量子态的概

11、率（3.2-7）空穴占据Ev的量子态的概率（3.2-10）影响n0、p0的因素Ø 导带中电子浓度n0和价带中空穴浓度p0随温度T和费米能级EF的不同而变化；Ø 其中温度的影响，一方面来源于Nc和Nv；另一方面，也是更主要的来源，即玻耳兹曼分布函数中的指数随温度迅速变化；Ø 另外，费米能级也与温度及半导体中所含杂质情况密切相关。因此，在一定温度下，由于半导体中所含杂质的类型和数量的不同，电子浓度及空穴浓度也将随之而变化。五、载流子浓度乘积n0p0（非简并情况，本证半导体和杂质半导体均可用）（3.2-11）代入Nc和Nv得（3.2-12）Ø 该乘积和费米能级

12、无关；Ø 半导体材料一定，该乘积只决定于T，与所含杂质无关；Ø 温度一定，该乘积只决定于半导体材料的Eg；Ø 半导体材料和温度一定，该乘积就一定。§3.3本征半导体的载流子浓度本征半导体及其特点Ø 本征半导体：没有杂质和缺陷的半导体。Ø T=0K时，价带中的全部量子态都被电子占据，而导带中的量子态都是空的，也就是说，半导体中共价键是饱和的、完整的。Ø T0K时，就有电子从价带激发到导带，同时价带中产生空穴，这就是所谓的本征激发。由于电子和空穴成对产生，导带中的电子浓度n0等于价带中的空穴浓度p0。（本征激发电中性条件：）一、

13、本征半导体的费米能级Ei由于热平衡状态下（3.3-1），而，此二式代入（3.3-1）有得到本征半导体的费米能级（3.3-2）将，代入（3.3-2）得到本征半导体的费米能级（3.3-3）一般温度下，Si、Ge、GaAs等本征半导体的费米能级Ei近似在禁带中央，只有温度较高时才会偏离禁带中央。二、本征载流子浓度，代入（3.3-2）得到本征载流子浓度（3.3-4）（3.3-4）表明一定的半导体材料，其本征载流子浓度ni随温度的升高而迅速增加；对于不同的半导体材料，在一定的温度下，禁带宽度越大，本征载流子浓度越小。将（3.3-4）和（3.2-11）比较得到（3.3-5），此式在本征和杂质半导体下均适用

14、。（3.3-5）式说明，在一定温度下，任何非简并半导体的热平衡载流子浓度的乘积n0p0等于该温度时的本征载流子浓度ni的平方，与所含杂质无关。该式适用于本征半导体材料和杂质半导体材料。总结Ø 一般的半导体器件，载流子主要来源于杂质电离，本征激发忽略不计；Ø 若本征载流子浓度没有超过杂质电离提供的载流子浓度，如果杂质全部电离，载流子浓度一定，器件稳定工作；当温度足够高时，本征激发占主要地位，器件不能稳定工作；Ø 本征载流子浓度随温度升高而迅速增加；Ø 一般半导体材料制成的器件都有一定的极限工作温度，超过这一温度后，器件就会失效；Ø 锗禁带宽度比硅

15、小，锗器件极限工作温度比硅低，约为370K左右；Ø 砷化镓禁带宽度比硅大，砷化镓器件极限工作温度比硅高，高达720K左右，适宜于制造大功率器件；Ø 由于本征材料制作的器件性能很不稳定，制造半导体器件一般都用含有适当杂质的半导体材料；§3.4杂质半导体的载流子浓度 杂质能级与能带中的能级是有区别的，在能带中的能级可以容纳自旋方向相反的两个电子；而对于施主杂质能级只能是如下两种情况的一种：Ø 被一个有任一自旋方向的电子所占据；Ø 不接受电子。施主能级不允许同时被自旋方向相反的两个电子所占据，故不能用费米分布函数公式来表示电子占据杂质能级的概率。一、

16、杂质能级上的电子和空穴1. 施主能级情况(gD是施主能级基态简并度，简称施主简并因子，常取2)Ø 电子占据施主杂质能级的概率为：(3.4-1)Ø 施主能级上的电子浓度nD(没有电离的施主浓度)：(3.4-2)Ø 电离施主浓度nD+：(3.4-3)Ø 施主能级与费米能级的相对位置反映了电子占据施主能级的情况：ü 当ED-EF>>k0T时，nD0；nD+ ND。即当费米能级远在ED之下时，施主杂质几乎全部电离；ü 反之，EF远在ED之上时，施主杂质基本上没有电离，即：nD ND；nD+ 0 。ü 当EF与ED重合时，

17、nD2 ND/3，nD+ ND/3 。即施主杂质有1/3电离，还有2/3没有电离。2. 受主能级情况(gA是受主能级基态简并度，简称受主简并因子，常取4)Ø 空穴占据受主杂质能级的概率为：(3.4-4)Ø 受主能级上的空穴浓度pA (没有电离的受主浓度)：(3.4-5)Ø 电离受主浓度pA-：(3.4-6)Ø 受主能级与费米能级的相对位置反映了空穴占据受主能级的情况：ü 当EF-EA>>k0T时，pA0；pA+ NA。即当费米能级远在EA之上时，受主杂质几乎全部电离；ü 反之，EF远在EA之下时，受主杂质基本上没有电离，即

18、：pA NA；pA+ 0；ü 当EF与EA重合时，pA4 NA/5，pA+ NA/5 。即受主杂质有1/5电离，还有4/5没有电离。二、n型半导体的载流子浓度假设只含一种n型杂质，半导体是电中性的：(3.4-7)，其中p0主要由本征激发产生，浓度十分小。温度一定则可决定EF(3.4-8)当温度由低到高变化时，对不同温度还可将此式进一步简化，分以下几种情况：(一) 杂质离化区特征：本征激发可以忽略，p0 0，导带电子主要由电离杂质提供。电中性条件：可以近似为。(3.4-9)1. 低温弱电离区（nD+<<ND）Ø 当温度很低时，大部分施主杂质能级仍为电子所占据，只有

19、很少量施主杂质发生电离，这少量的电子进入了导带，这种情况称为弱电离。Ø 因为温度很低，所以几乎没有本征激发。Ø 该情况下导带中的电子全部由电离施主杂质所提供。（1）费米能级由于nD+<<ND，所以>>1，(3.4-9)可以简化为(3.4-10)取对数后化简得到(3.4-11)Ø ： (3.4-12)即费米能级位于导带底和施主能级间的中线处。Ø 费米能级与温度的变化关系：(3.4-13)，表明费米能级达到了极值。杂质含量越高，其达到极值的温度也越高；温度继续升高时， ,即EF开始不断减小低温弱电离区EF与T的关系（2）载流子浓度 将

20、前面得到的费米能级公式代入，得： 0Ø 温度很低时，随着温度升高，n0呈指数上升：Ø n0T关系： 关系图为一直线，其斜率为 ，故可通过实验测定n0T关系，确定出杂质电离能，从而得到杂质能级的位置。2. 中间电离区温度继续升高，当2Nc>ND后，式：中的第二项为负值，EF下降到(Ec+ED)/2以下；当温度升高到使EF=ED时，由式：可得，施主杂质有1/3电离。3. 强电离区（当温度升高到大部分杂质都电离时称为强电离。）特征：杂质基本全部电离，nD+ND；电中性条件简化为n0= ND（饱和区：施主杂质全部电离时，n0与温度无关)保持等于杂质浓度的温度范围。）（1）费米

21、能级由于nD+ND，于是<<1,则(3.4-14)解得费米能级(3.4-15)Ø 费米能级由温度和施主杂质浓度决定；Ø 一般掺杂浓度下Nc > ND，故上式第二项为负；Ø 一定温度T时，ND越大，EF越向导带方向靠近；Ø 一定ND时，温度T越高，EF越向本征费米能级Ei方向靠近。硅的费米能级与温度及杂质浓度的关系（2）载流子浓度(二) 过渡区当半导体处于饱和区和完全本征激发之间时称为过渡区。这时导带中的电子一部分来源于全部电离的杂质，另一部分则由本征激发提供，价带中产生了一定量的空穴。特征：杂质全部电离，nD+ND；本征激发不能忽略；电

22、中性条件：(3.4-18)1. 费米能级本征激发时：将NC代入n0得到（3.4-19）同理（3.4-20）将这两个载流子浓度公式代入电中性条件式得：=解之得（3.4-21）Ø 一定温度时，已知ni和ND，即可求得(EF-Ei)；Ø ND/(2ni)很小时，即EF接近Ei，半导体接近于本征激发情况.Ø ND/(2ni)增大时，即EF-Ei也增大，向饱和区方面接近。2. 载流子浓度消去p0得到（3.4-22）解得（3.4-23）（3.4-24）（1）当ND>>ni时 <<1,这时（3.4-25）略去更高次项，将（3.4-25）代入（3.4-23

23、）和（3.4-24）得显然，当ND>>ni时，n0>>p0,这时的过渡区接近于强电离区（2）当ND<<ni时(3.4-28)(3.4-29)显然，当ND<<ni时，n0=p0,这时的过渡区接近于本征激发区(三) 高温本征激发区 温度升高到一定程度，本征激发产生的本征载流子数远多于杂质电离产生的载流子数，即n0>>ND，p0>>NA。这种情况与未掺杂的本征半导体情形一样，因此称为杂质半导体进入本征激发区。 电中性条件：n0=p0Ø 这时，费米能级接近禁带中线，载流子浓度随温度而迅速增加；Ø 显然，杂质浓度

24、越高，达到本征激发起主要作用的温度也越高。(四) n型Si中电子浓度与温度关系Ø 低温时，电子浓度随温度升高而增加；Ø 温度在100500K时，杂质全部电离，载流子浓度近似等于杂质浓度；Ø 温度高于500K后，本征激发开始起主要作用。例题1：设n型Si的施主浓度分别为1.5×1014cm-3和1012cm-3，计算500K时电子和空穴的浓度n0和p0。已知500K时Si 的本征载流子浓度为ni= 3.5×1014cm-3。例题2.已知在室温下（300K）三块半导体硅材料的空穴浓度分别为： ， ，。（室温下Si的禁带宽度，）（1）分别计算这三种硅

25、材料的电子浓度；（2）判断这三种材料的导电类型；（3）分别计算这三种材料的费米能级的位置。解：（1）根据载流子浓度乘积公式，可求出：。即：（2）因为，即，故该材料为p型半导体。 因为，即，故该材料为本征半导体。 因为，即，故该材料为n型半导体。 （3）（i）对p型材料有： 即p型半导体的费米能级在禁带中线下0.37eV处。 （ii）同（i），因为 所以，即费米能级位于禁带中线位置。 （iii）对n型材料有： 即对n型材料，费米能级在禁带中线上0.35eV处。 三、p型半导体的载流子浓度（） 对于只含一种受主杂质的p型半导体，可进行类似的讨论:(一) 低温弱电离区（n0=0，p0=pA-）(3.

26、4-29)(3.4-30)(二) 强电离(饱和区) （n0=0，p0=pA-=NA）(3.4-31)(三) 过渡区(p0= NA+ n0)(3.4-33)(3.4-34)(3.4-35)(四) 总结Ø 掺有某种杂质的半导体的载流子浓度和费米能级由温度和杂质浓度所决定：ü 对于杂质浓度一定的半导体，随着温度的升高，载流子从以杂质电离为主要来源过渡到以本征激发为主要来源的过程；费米能级从位于杂质能级附近逐渐移近禁带中线处；ü 当温度一定时，费米能级的位置由杂质浓度所决定：对于n型半导体，随施主浓度的增加，费米能级从禁带中线逐渐移向导带底附近；对于p型半导体，随受主浓度

27、的增加，费米能级从禁带中线逐渐移向价带顶附近；ü 说明在杂质半导体中，费米能级的位置不但反映了半导体的导电类型，而且还反映了半导体的掺杂水平：对于n型半导体, 费米能级位于禁带中线以上，ND越大，费米能级位置越高；对于p型半导体, 费米能级位于中线以下，NA越大，费米能级位置越低。Ø 不同掺杂情况下的费米能级：ü 强p型中，NA大，导带中电子最少，价带中电子也最少。即强p型半导体中，电子填充能带的水平最低，EF也最低；ü 弱p型中，导带及价带中电子稍多，能带被电子填充的水平也稍高，EF也升高了；ü 本征半导体，无掺杂，导带和价带中载流子数一样多

28、；ü 弱n型中，导带及价带中电子更多，能带被电子填充的水平也更高，EF升到禁带中线以上；ü 强n型中，导带及价带中电子最多，能带被电子填充的水平最高，EF也最高。四、少数载流子浓度n型半导体中的电子和p型半导体中的空穴称为多数载流子(简称多子，和杂质浓度及温度之间的关系如上分析)。 n型半导体中的空穴和p型半导体中的电子称为少数载流子(简称少子)。下面给出在强电离情况下的少子浓度。(一) n型半导体多子浓度：(3.4-36)少子浓度：(3.4-37)(二) p型半导体多子浓度：(3.4-38)少子浓度：(3.4-39)Ø 少子浓度和本征载流子浓度的平方成正比，与多子浓度成反比。Ø 多子浓度在强电离区不变，而本征载流子浓度,所以少子浓度随温度的升高而迅速增大。附：n型半导体和p型半导体载流子浓度对照表.do