2022年初中数学竞赛专题选讲对称式

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载中学数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一.内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f x、y、z 中,假如变量x、y、z 任意交换两个后,代数式的值不变,就称这个代数式为肯定对称式,简称对称式.例如：代数式 x+y ,xy ,x 3+y 3+z 33xyz、x 5+y5+xy、11 ,xy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xyyzxyzxyzzx.都为对称式 .xyz精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中 x+y 和 xy 叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f x、y、z 中,假如变量x、y、z

2、 循环变换后代数式的值不精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变,就称这个代数式为轮换对称式,简称轮换式.例如：代数式a2 b c+b 2c a+c2a b、2x2y+2y 2z+2z2x、111abc1,abc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ xy+yz+zx ） 1x11 ,yza 21b 2c21b 2c 2a 21.c 2a 2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载都为轮换式 .明显,对称式肯定为轮换式、而轮换式不肯定为对称式.二.性质1. 含两个变量x 和 y 的对称式,肯定可用相同变量的基本对称式来

3、表示.这将在下一讲介绍 .2. 对称式中, 假如含有某种形式的一式,就必含有, 该式由两个变量交换后的一切同型式,且系数相等.例如：在含x、y、z 的齐二次对称多项式中,假如含有x 2 项,就必同时有y2、z2 两项；如含有xy 项,就必同时有yz、zx 两项,且它们的系数,都分别相等.故可以表示为：mx 2+y 2+z2+nxy+yz+zx其中 m、n 为常数 .3. 轮换式中, 假如含有某种形式的一式,就肯定含有, 该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式,且系数相等.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载例如：轮换式a3bc+b 3 c a+c3a b中,有因式a

4、 b 一项 、必有同型式b c 和ca 两项 .4. 两个对称式 （轮换式） 的和, 差,积, 商（除式不为零） ,仍旧为对称式 （轮换式） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例如： x+y、xy 都为对称式, x+y xy,（ x+y ） xy ,xxyy 等也都为对称式.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 xy+yz+zx 和 1x11都为轮换式,yz精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 11xy11xy+yz+z ,（zx11）（ xy+yz+z ） . 也都为

5、轮换式.yz精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.例题例 1.运算：（xy+yz+zx ） 1x11 yz1xyzx211y 2z2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：（ xy+yz+zx ） 1x11 yz为关于 x、y、z 的轮换式,由性质2,在乘法绽开时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载只要用 xy 分别乘以1 , 1 , 1 连同它的同型式一齐写下.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xyz精品

6、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：原式（yzzxxy ）（ z+x y） +y+z+x yzzx xy 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xyzxyz2x+2y+2z.例2. 已知： a+b+c=0、abc 0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求代数式1a2b2c21b2c2a21的值c 2a2b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：这为含a、 b、 c 的轮换式,化简第一个分式后,其余的两个分式,可直接写出它精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的同型式 .解：1a 2b 2c 2a 21b2ab 21,2ab精品学习资料精选学习

7、资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1a2b 2c21b 2c2a 21c2a 21b 22ab12bc12ca精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ca 2abcb 0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例3. 运算：（ a+b+c） 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载分析：绽开式为含字母a、b、c 的三次齐次的对称式,其同型式的系数相等,可用待定系数法 .例4. 解：设（ a+b+c） 3 ma3 +b3+c3+na2b+a2 c+b2 c+b2a+c2a+c2b+pabc.（ m、n、p 为待定系数）

8、令a=1、b=0、c=0 .比较左右两边系数得m=1 ；令a=1、b=1、c=0比较左右两边系数得2m+2n=8 ；令a=1、b=1、c=1比较左右两边系数得3m+6n+p=27.m1m1解方程组2m2 n8得n33m6np27p6（ a+b+c） 3 a3+b3+c 3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.例5. 因式分解：a3b c+b 3c a+c3 ab ；（ x+y+z ） 5（ y+z x ） 5（ z+x y） 5（ x+y z） 5.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b c+b解：当a=b 时, a333c a+cab 0.精品学习

9、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有因式a b 及其同型式b c、c a.原式为四次齐次轮换式,除以三次齐次轮换式（a b） b cc a,可得一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得a3bc+b 3c a+c3a b ma+b+c （ a b） b cc a比较左右两边a3b 的系数,得m= 1. a3b c+b 3c a+c3a b a+b+c（ a b） b cc a.x=0 时,（ x+y+z ） 5（ y+z x ）5（ z+x y） 5（ x+y z） 5 0有因式x ,以及它的同型式y 和 z.原式为五次齐次轮换式,除以三次轮换式xyz ,其商为二次齐次轮换式.用待定系数

10、法：可设（ x+y+z ）5（ y+z x ）5（ z+x y） 5（ x+y z） 5 xyz mx+y+z+nxy+yz+zx .令x=1、y=1、z=1 .比较左右两边系数,得80=m+n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载令x=1、y=1、z=2.比较左右两边系数,得480=6m+n.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解方程组mn6mn80480精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m 80得.n 0（ x+y+z ） 5（ y+z x ） 5（ z+x y） 5（ x+y z）5 80xyzx+y+z.三.练习1. 已知含字母x、y、

11、z 的轮换式的三项x3+x 2y 2xy 2、试接着写完全代数式2. 已知有含字母a、b、c、d 的八项轮换式的前二项为a3b a b,试接着写完全代数式 .3. 利用对称式性质做乘法,直接写出结果：（ x2y+y 2z+z2x）（ xy2+yz2 +zx2）.（ x+y+z ）（ x 2+y 2+z2 xy yz zx）.4.运算：（ x+y ） 5.5. 求（ x+y ） y+zz+x+xyz除以 x+y+z所得的商 .6. 因式分解：aba b+bcb c+cac a；x+y+z 3 x 3+y 3+z3 ；（ ab+bc+ca） a+b+c abc；ab c3+bc a3+ca b3

12、.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1117. 已知：abc1.abc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证： a、b、c 三者中,至少有两个为互为相反数.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8. 运算：2aa 2abacbcb 2b 2bcbacac2c 2.cacbab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9. 已知： s1 （ a+b+c） .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证：224 a b222abc224b c222bca 2224c ac22ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载161616 3s（ sa） s bs c.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10. 如 x、y 满意等式x=1+1 和 y=1+y1 且 xy 0,那么 y 的值为（）x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a ） x 1.（b ） 1x.（c） x.（ d） 1+x.参考答案1.y 3+z3+y 2z+z2x 2y2z 2z2x2.b3 c+c3 d+d3 a b c c d d a 3. x 3