初三数学竞赛题【精选】[1]

1、1 亲爱的同行们，这不是病毒，这只是写在前面的话，答案在下面！一个倍感悲凉的数学竞赛辅导老师一年一度的全国初中数学竞赛又结束了，学生考完后带他们去吃了顿便饭，看到他们虽然考得一塌糊涂但是终于解放了的开心又带着一丝无奈的神情，我感到很揪心！下午一回到家，把儿子撂在一边，花了2 个半钟终于全部做完，虽然感觉解题能力比起三年前已大打折扣， 但还能全部做完并全部做对，还是感到一丝欣慰， 毕竟还没有那么老去！然而，当我上各大数学论坛浏览今天的竞赛消息时，却再一次发现了令人震惊的网上预知竞赛题的事情 （上一次是三年前的时候， 后来因做班主任歇了2 年没带竞赛），我不禁悲从中来，花那么多心血去辅导学生数学竞

2、赛知识，却没有别人弄几道全真题来的便宜！这是什么世界啊？要知道，我的学生都是农村中学的，他们很多人连十字相乘法与切割线定理都是手把手教会的啊！以后真的不想再带竞赛了，因为，我只是一个普通而平凡的数学老师！我所能靠的只是自己的良心！在这场不公平的比赛中，失败注定伴我左右！附网上论坛地址：http:/ 中国教育学会中学数学教学专业委员会“ 数学周报杯”2009 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5 小题，每小题 7 分，共 35 分. 以下每道小题均给出了代号为a，b，c， d 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1

3、已知非零实数 a，b 满足2242(3)42ababa，则ab等于（） （a）1 （b）0 （c）1 （d）2 【答】 c解：由题设知 a3，所以，题设的等式为22(3)0bab，于是32ab，从而ab12如图，菱形 abcd 的边长为 a，点 o 是对角线 ac 上的一点，且oaa，obocod1，则 a 等于（） （a）512（b）512（c）1 （d）2 【答】 a解：因为 boc abc，所以bobcabac，即11aaa，（第 2 题）2 所以，210aa由0a，解得152a3将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第

4、二次掷出的点数为b，则使关于x，y 的方程组322axbyxy，只有正数解的概率为（） （a）121（b）92（c）185（d）3613【答】 d解：当20ab时，方程组无解当02ba时，方程组的解为62,223.2bxabayab由已知，得,0232,0226baabab即, 3,23,02baba或.3,23,02baba由 a，b的实际意义为 1，2，3，4，5，6，可得2 3 4 5 612ab， ， ， ， ，共有 5210 种情况；或14 5 6ab， ，共 3 种情况又掷两次骰子出现的基本事件共6636 种情况，故所求的概率为36134如图 1 所示，在直角梯形abcd 中，ab

5、dc，90b. 动点 p 从点b 出发，沿梯形的边由bcda 运动. 设点 p 运动的路程为 x，abp 的面积为 y. 把 y看作 x的函数，函数的图像如图2 所示，则 abc 的面积为（） （a）10 （b）16 （c）18 （d）32 【答】 b（第 4题）图 1 图 2 3 解：根据图像可得 bc4，cd5，da5，进而求得 ab8，故sabc12 8 416. 5关于 x，y 的方程22229xxyy的整数解（ x，y）的组数为（） （a）2 组（b）3 组（c）4 组（d）无穷多组【答】 c解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为22(229)0 xyxy由于该方程有整数根，

6、则判别式0，且是完全平方数由2224 ( 22 9 )71 1 6yyy0，解得2y 11616.577于是2y0 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然，只有216y时，4是完全平方数，符合要求当4y时，原方程为2430 xx，此时121,3xx；当 y4 时，原方程为2430 xx，此时341,3xx所以，原方程的整数解为111,4;xy223,4;xy331,4;xy443,4.xy二、填空题（共5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000 km 后报废，行驶一定路程

7、后可以交换前、后轮胎如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km 【答】 3750解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k, 则安装在前轮的轮胎每行驶1 km磨损量为5000k, 安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k. 又设一对新轮胎交换位置前走了 x km，交换位置后走了 y km. 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程, 有4 ,50003000,50003000kxkykkykxk两式相加，得()()25 0 0 03 0 0 0k xykxyk，则237501150003000 xy7已知线段 ab 的中点为 c，以点 a 为圆心， ab

8、 的长为半径作圆，在线段ab 的延长线上取点 d，使得 bdac；再以点 d 为圆心， da 的长为半径作圆，与 a 分别相交于 f，g两点，连接 fg 交 ab 于点 h，则ahab的值为解：如图，延长 ad 与d 交于点 e，连接 af，ef 由题设知13acad，13abae，在fha 和efa 中，90efafha，faheaf所以rtfhartefa，ahafafae. 而afab，所以ahab13.8已知12345aaaaa， ，是满足条件123459aaaaa的五个不同的整数， 若b是关于 x 的方程123452009xaxaxaxaxa的整数根，则b的值为【答】 10解：因为1

9、23452009bababababa，且12345aaaaa，是五个不同的整数，所有12345bababababa，也是五个不同的整数又因为 2009117741，所以1234541bababababa由123459aaaaa，可得10b9如图，在 abc 中，cd 是高， ce 为acb的平分线若 ac15，bc20，cd12，则 ce 的长等于（第 7题）5 【答】6027解：如图，由勾股定理知ad9，bd16，所以 abadbd25 故由勾股定理逆定理知acb 为直角三角形，且90acb作 efbc，垂足为 f设 efx，由1452ecfacb，得 cfx，于是 bf20 x由于 efa

10、c，所以e fb fa cb c，即201520 xx，解得607x所以60227cex1010个人围成一个圆圈做游戏游戏的规则是：每个人心里都想好一个数， 并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来若报出来的数如图所示，则报 3 的人心里想的数是【答】2解： 设报 3 的人心里想的数是x，则报 5 的人心里想的数应是8x于 是 报7 的 人 心 里 想 的 数 是12(8)4xx， 报9 的 人 心 里 想 的 数 是16(4)12xx，报 1 的人心里想的数是20(12)8xx，报 3 的人心里想的数是4(8)4xx所以4xx，解得2x三、

11、解答题（共4 题，每题 20 分，共 80 分）11已知抛物线2yx 与动直线cxty) 12(有公共点),(11yx，),(22yx，且3222221ttxx. （1）求实数 t 的取值范围；（2）当 t 为何值时， c 取到最小值，并求出c 的最小值 . 解： （1）联立2yx 与cxty)12(，消去 y 得二次方程2(21)0 xtxc（第 9题）（第 10 题）6 有实数根1x ，2x ，则121221,xxtx xc 所以2221212121()()2cx xxxxx=221(21)(23)2ttt21(364)2tt 5 分把式代入方程得221(21)(364)02xtxtt 1

12、0 分t 的取值应满足2221223ttxx 0，且使方程有实数根，即22(21)2(364)ttt2287tt0，解不等式得t-3 或t1，解不等式得222 t 222. 所以， t 的取值范围为222t 222. 15 分(2) 由式知22131(364)(1)222cttt. 由于231(1)22ct在222t 222时是递增的，所以，当222t时,2min3211162(21)2224c. 20 分12已知正整数 a满足3192191a，且2009a， 求满足条件的所有可能的正整数a的和解：由3192191a可得31921a619232，且311(1)1(1) (1)(1)aaa aa

13、a aa 5 分因为11a a是奇数，所以6321a等价于621a， 又因为 3 (1) (1)aa a，所以331a7 等价于 31a因此有 1921a，于是可得1921ak 15分又02009a，所以0 110k， ， ，因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为11192（12 10）10571 20分13如图，给定锐角三角形abc，bcca，ad，be 是它的两条高，过点c作abc的外接圆的切线l，过点 d，e 分别作l的垂线，垂足分别为f，g试比较线段 df 和 eg 的大小，并证明你的结论解法 1：结论是dfeg下面给出证明 5 分因为fcdeab，所以 rtfcd rteab于是可

14、得cddfbeab同理可得ceegadab 10 分又因为tanadbeacbcdce，所以有be cdad ce，于是可得dfeg 20 分解法 2：结论是dfeg下面给出证明5 分连接 de，因为90adbaeb，所以 a，b，d，e 四点共圆，故cedabc 10 分又 l 是o 的过点 c 的切线，所以acgabc 15 分所以，cedacg，于是 defg，故 dfeg 20 分14n 个正整数12naaa， ，满足如下条件：1212009naaa；且12naaa， ，中任意 n1 个不同的数的算术平均数都是正整数求n 的最大值解 ： 设12naaa， ，中 去 掉ia 后 剩 下 的 n 1 个 数 的 算 术 平均 数 为 正 整 数ib ，（第 13a 题）（第 13a 题）8 1 2in， ，即12()1niiaaaabn于是，对于任意的1