2022届高三数学一轮复习（原卷版）第二章 2.6对数函数-教师版

1、 第1课时进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)若mn>0，则loga(mn)logamlogan.(×)(2)logax·logayloga(xy)(×)(3)函数ylog2x及ylog3x都是对数函数(×)(4)对数函数ylogax(a>0且a1)在(0，)上是增函数(×)(5)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(6)对数函数ylogax(a>0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()作业检查无第2课时阶段训练题型一对数的运算例1(1)

2、已知loga2m，loga3n，则a2mn_.(2)计算：_.答案(1)12(2)1解析(1)loga2m，loga3n，am2，an3，a2mn(am)2·an22×312.(2)原式1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算(1)计算：log2_，_.(2)2(lg)2lg ·lg 5_.答案(1)3(2)1解析(1)log2log22 ，×3

3、×3.(2)原式2×(lg 2)2lg 2×lg 5lg 2(lg 2lg 5)1lg 2lg 21lg 21.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a>0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()aa>1，c>1 ba>1,0<c<1c0<a<1，c>1 d0<a<1,0<c<1(2)当0<x时，4x<logax，则a的取值范围是()a(0，) b(，1)c(1，) d(，2)答案(1)d(2)b解析(1)由该函数的图象通过第一

4、、二、四象限知该函数为减函数，0<a<1，图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，该函数的图象是由函数ylogax的图象向左平移不到1个单位后得到的，0<c<1.(2)构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在(0，上的图象，可知f()<g()，即2<loga，则a>，所以a的取值范围为(，1)思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题

5、，利用数形结合法求解(1)若函数ylogax(a>0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()(2)已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()a(1,10) b(5,6)c(10,12) d(20,24)答案(1)b(2)c解析(1)由题意ylogax(a>0，且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3.选项a中，y3x()x，显然图象错误；选项b中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；选项c中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；选项d中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选b.(2)方法一不

6、妨设a<b<c，取特例，如取f(a)f(b)f(c)，则易得a10，b10，c11，从而abc11，故选c.方法二作出f(x)的大致图象(图略)由图象知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设a<b<c，则lg alg bc6，lg alg b0，ab1，abcc.由图知10<c<12，abc(10,12)题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例3已知定义在r上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()aabc bacbccab dcba答案c解析由f(x

7、)2|xm|1是偶函数可知m0，所以f(x)2|x|1.所以a，b4，cf(0)2|0|10，所以c<a<b.命题点2解对数不等式例4(1)若loga<1，则a的取值范围是_(2)已知函数f(x)则不等式f(x)>1的解集为_答案(1)(0，)(1，)(2)(1，)解析(1)当a>1时，函数ylogax在定义域内为增函数，所以loga<logaa总成立当0<a<1时，函数ylogax在定义域内是减函数，由loga<logaa，得a<，故0<a<.综上，a的取值范围为(0，)(1，)(2)若x0，则不等式f(x)>1可

8、转化为3x1>1x1>0x>1，1<x0；若x>0，则不等式f(x)>1可转化为logx>1x<，0<x<.综上，不等式f(x)>1的解集是(1，)命题点3和对数函数有关的复合函数例5已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解(1)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x3>0，得1<x<3，函数f(x)的定义域为(1,3)

9、令g(x)x22x3，则g(x)在(1,1)上递增，在(1,3)上递减又ylog4x在(0，)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1,3)(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，即解得a.故存在实数a使f(x)的最小值为0.思维升华(1)对数值大小比较的主要方法化同底数后利用函数的单调性；化同真数后利用图象比较；借用中间量(0或1等)进行估值比较(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题(1)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是

10、()a1,2 b0,2c1，) d0，)(2)已知f(x)ln(xa)，若对任意的mr，均存在x0>0使得f(x0)m，则实数a的取值范围是_答案(1)d(2)4，)解析(1)当x1时，21x2，解得x0，所以0x1；当x>1时，1log2x2，解得x，所以x>1.综上可知x0.(2)由题意知，函数f(x)的值域为r，txa的值域为0，)，由x>0，知xa.实数a的取值范围是4，)第3课时阶段重难点梳理1对数的概念一般地，如果axn(a>0，且a1)，那么数x叫做以a为底n的对数，记作xlogan，其中a叫做对数的底数，n叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的

11、运算法则如果a>0，且a1，m>0，n>0，那么loga(mn)logamlogan；logalogamlogan；logamnnlogam (nr)(2)对数的性质nn；logaann(a>0，且a1)(3)对数的换底公式logab(a>0，且a1；c>0，且c1；b>0)3对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，)值域：r过定点(1,0)，即x1时，y0当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0在(0，)上是增函数在

12、(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线_yx_对称【知识拓展】1换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab.其中a>0且a1，b>0且b1，m，nr.2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大重点题型训练典例(1)若a>b>0,0<c<1，则()alogac<logbc blogca<logcbcac

13、<bc dca>cb(2)若a20.3，blog3，clog4cos 100，则()ab>c>a bb>a>cca>b>c dc>a>b(3)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是()aa<b<c bb<a<ccc<b<a da<c<b解析(1)对a：logac，logbc，0<c<1，lg c<0，而a>b>0，所以lg a>lg b，但不能确定lg a、lg b的正负，所以它们的大小不能确定，

14、所以a错；对b：logca，logcb，而lg a>lg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项b正确；对c：由yxc在第一象限内是增函数，即可得到ac>bc，所以c错；对d：由ycx在r上为减函数，得ca<cb，所以d错故选b.(2)因为20.3>201,0log1<log3<log1，log4cos 100<log410，所以a>b>c，故选c.(3)由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：1<c<b<a；0<a<1<c<b；0<b

15、<a<1<c；0<c<b<a<1.对照选项可知a中关系不可能成立答案(1)b(2)c (3)a1设函数f(x)|ln x|(e为自然对数的底数)，满足f(a)f(b)(ab)，则()aabee babecab dab1答案d解析|ln a|ln b|且ab，ln aln b，ab1.2函数f(x)lg(|x|1)的大致图象是()答案b解析由函数f(x)lg(|x|1)的定义域为(，1)(1，)，值域为r.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项b正确3已知a，b，c，则()aa>b>c bb>a>cca>c>b

16、 dc>a>b答案c解析c，log3>log331且<3.4，log3<log33.4<log23.4.log43.6<log441，log3>1，log43.6<log3.log23.4>log3>log43.6.由于y5x为增函数，>>.即>>，故a>c>b.4函数y的定义域为_答案(，1解析由log0.5(4x3)0且4x3>0，得<x1.作业布置1函数y的定义域是()a(1，) b1，)c(1,1)(1，) d1,1)(1，)答案c解析要使有意义，需满足x1>0且x1

17、0，得x>1且x1.2设alog37，b21.1，c0.83.1，则()ab<a<c bc<a<bcc<b<a da<c<b答案b解析alog37，1<a<2.b21.1，b>2.c0.83.1，0<c<1.即c<a<b，故选b.3函数y2log4(1x)的图象大致是()答案c解析函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除a、b；又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除d.故选c.4已知函数f(x)则f(2 018)等于()a2 019 b2 018c2 017 d2 016答案a解

18、析由已知f(2 018)f(2 017)1f(2 016)2f(2 015)3f(1)2 017log2(51)2 0172 019.5若直线xm(m>1)与函数f(x)logax，g(x)logbx的图象及x轴分别交于a，b，c三点若ab2bc，则()aba2或ab2 bab1或ab3cab1或ba3 dab3答案c解析当a>1>b时，则a(m，logam)，b(m，logbm)，c(m,0)，由ab2bc，得|logamlogbm|2|logbm|，即logamlogbm2logbm，所以logamlogbm，即，所以ab1；当b>a>1时，由ab2bc，得|

19、logamlogbm|2|logbm|，即logamlogbm2logbm，所以logam3logbm，即，所以ba3，所以ab1或ba3，故选c.6若函数f(x)loga(x2x)(a>0，且a1)在区间(， )内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为()a(0，) b(2，)c(1，) d(，)答案a解析令mx2x，当x(，)时，m(1，)，f(x)>0，所以a>1，所以函数ylogam为增函数，又m(x)2，因此m的单调递增区间为(，)又x2x>0，所以x>0或x<，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，)7lg2lg 21_.答案1解析l

20、g 2lg 21lg lg 222lg 2121.8函数f(x)log2·(2x)的最小值为_答案解析f(x)log2·log(2x)log2x·2log2(2x)log2x(1log2x)设tlog2x(tr)，则原函数可以化为yt(t1)(t)2(tr)，故该函数的最小值为，故f(x)的最小值为.9已知函数f(x)loga(2xa)在区间，上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是_答案(，1)解析当0<a<1时，函数f(x)在区间，上是减函数，所以loga(a)>0，即0<a<1，解得<a<，故<a<

21、1；当a>1时，函数f(x)在区间，上是增函数，所以loga(1a)>0，即1a>1，解得a<0，此时无解综上所述，实数a的取值范围是(，1) *10.已知函数f(x)则f(f(2)_；若f(x)2，则实数x的取值范围是_答案2(，41，)解析f(2)log221，f(f(2)f(1)2.当x0时，由2x2，得x1；当x<0时，由log2(x)2，得x4，x4.实数x的取值范围是(，41，) *11.设f(x)loga(1x)loga(3x)(a>0，且a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0，上的最大值解(1)f(1)2，loga42(a>0，且a1)，a2.由得1<x<3，函数f(x)的定义域为(1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当x(1,1时，f(x)是增