高中数学数学归纳法预习学案新人教A版选修2

1、2.2.3 数学归纳法自学目标（1）了解数学归纳法原理，理解数学归纳法的概念；（2）掌握数学归纳法的证明步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题学习重点，难点一问题情境1情境：我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列na的通项公式1(1)naand，自然数平方和公式2222(1)(21)1236n nnn这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证2问题：怎样证明一个与自然数有关的命题呢？二 讨论以下两个问题的解决方案：我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了第一，使第一块砖倒下

2、；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖三建构数学一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果（ 1）当n取第一个值0n（例如01,2n等）时结论正确；（2）假设当nk（*kn，且0kn）时结论正确，证明当1nk时结论也正确那么，命题对于从0n开始的所有正整数n都成立数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据四数学运用1例题：例1用数学归纳法证明：等差数列na中，1a为首项，d为公差，则通项公式为1(1)naand证： （1）当1n时，等式左边1a，等式右边110ada，等式成立（2）假设当nk时等式成立，即1(1)kaakd，那么，当1nk时，有111(1)(1)1k

3、kaadakddakd这就是说，当1nk时等式也成立根据（ 1）和（ 2） ，可知对任何*nn，等式都成立注意： （1）这两个步骤是缺一不可的数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；（2） 在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步， 即1nk时为什么成立？1nk时成立是利用假设nk时成立， 根据有关的定理、 定义、公式、性质等数学结论推证1nk出时成立，而不是直接代入，否则1nk时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析变式练习 ：用数学归纳法

4、证明：等比数列na中，1a为首项，q为公比，则通项公式为11nnaa q例 2用数学归纳法证明：当*nn时，2222(1)(21)1236n nnn证： （1）当1n时，211，1 (1 1)(21 1)16，结论成立（2）假设nk时，结论成立，即2222(1)(21)1236k kkk，那么22222222(1)(21)(1)(266)123(1)(1)66(1)(276)(1)(2)(23)(1)(1) 12(1) 1666k kkkkkkkkkkkkkkkkkk所以当1nk时，命题也成立根据（ 1）和（ 2） ，可知结论当*nn时都成立变式练习：用数学归纳法证明：当*nn时1111111

5、11234212122nnnnn例 3. 求证当n取正奇数时，nnxy能被xy整除。证明： （1）1n时，11xyxy，能被xy整除，命题成立。（2）假设nk (k为正奇数 ) 时，有kkxy能被xy整除 , 当2nk时，22222222kkkkkkkkxyxxyyxxyxyxyy2222()()()()()kkkkkkxyxyxyxyxyxyxy以上两项均能被xy整除，22kkxy能被xy整除，即当2nk时命题仍成立。由（ 1） 、 （2）可知，对一切正奇数n，都有nnxy能被xy整除变式练习 . 求证 : 对于整数0n时 ,2211112nn能被 133 整除 . 例 4已知*1111(1,)23nsnnnn，求证：212nns*(2,)nnn证明： （1）当2n时，211125211234122ns，即2n时命题成立（2）假设当nk时命题成立，即2111112322kkks，当1nk时，112111111232212kkkks11112111111221222222222