九类常见递推数列求通项公式方法60079

1、For personal use only in study and research; not forcommercial use递推数列通项求解方法举隅类型一： an 1 pan q （ p 1）思路 1(递推法)： an pan 1 q p(pan 2 q) q p p pan 3 q q qFor personal use only in study and research; not for commercial usen 1 2 p a1 q(1 p pn2p )a1q pn 1 qp1 1 p思路 2（构造法）：设 an 1 p an，即 p 1 q 得q ，数列p1an是以 a

2、1为首项、 p 为公比的等比数列，则 anqa1p1q pn 1 ，即 p1qp1pn 1 1qp例 1 已知数列 an 满足 an 2an 1 3且 a1 1 ，求数列 an 的通项公式。 解：方法 1（递推法） ：an 2an 1 3 2（2an 2 3） 3 2 2 2an 3 3 3 3 2n 13(1 2222n2 )1 32n 13 2n 13。2 1 12方法2(构造法)：设an 12an ，即 3， 数列an3 是以a13 4为首项、 2为公比的等比数列，则an 34 2n 12n 1，即an2n13。类型二： an 1 an f (n)思路 1(递推法)：an an 1 f

3、(n 1) an 2 f (n 2) f (n 1) an 3 f (n 3) f (n 2) f (n 1) n1 a1f (n) 。i1思路 2(叠加法)： an an 1 f (n 1) ，依次类推有： an 1 an 2 f (n 2) 、 n1an 2 an 3 f (n 3)、 a2 a1 f (1)，将各式叠加并整理得 an a1f (n) ，即i1n1an a1f (n) 。i1例 2 已知 a1 1， an an 1 n ，求 an 。解：方法 1(递推法)：an an 1 n an 2 (n 1) n an 3 (n 2) (n 1) nn(n 1)2na1 2 3 (n

4、2) (n 1) n ni1方法 2(叠加法) ：anan 1n ，依次类推有：an 1an 2n1、an 2an 3n2、a2 a1 2 ，将各式叠加并整理得nan a1n ，i2nana1i2n n n(n 1)i 1 2类型三： an 1 f(n) an思路 1(递推法)：an f(n 1) an1 f(n 1) f(n 2) an 2 f(n 1) f(n 2) f(n 3) an 3 f (1) f (2) f (3) f(n 2) f(n 1) a1。思路 2(叠乘法)： an f (n 1) ，依次类推有： an 1 f (n 2) 、an 1an 2a2an 2 f(n 3)、

5、 a2 f (1) ，将各式叠乘并整理得 anan 3a1a1f (1) f (2) f (3) f (n 2) f (n 1) ，即 an f(1) f (2) f (3) f (n 2) f (n 1) a1 。n1例 3 已知 a1 1， anan 1 ，求 an 。n1解：方法 1(递推法)：ann 1an1n 1 n 2an 2n 1n 2 n 3an3n 1n 1 nn 1 n n 12。n(n 1)方法 2（ 叠乘法）an 1n1n1，依次类推有：an 1an 2n 2 an 2 n 3 、n an 3 n 1a3 2 a2 4an n 1 n 2 n 3 a1 n 1 n n

6、11 ，即3思路（特征根法） ：为了方便，我们先假定a1 m、 a2 n 。递推式对应的特征方程2为 x2 px q ，当特征方程有两个相等实根时，ancn d2pn1c、d 为待定系a2 12 ，将各式叠乘并整理得a1 3n1n2n 3 21ann n 1nn1432 n(n 1)类型四：an 1 pan qan 1数，可利用 a1 m、 a2 n求得） ；当特征方程有两个不等实根时 x1、 x2 时，an ex1n 1 fx2n 1（ e、 f 为待定系数，可利用 a1 m、 a2 n求得 ） ；当特征方程的根 为虚根时数列 an 的通项与上同理，此处暂不作讨论。例 4 已知 a1 2、a

7、2 3, an 1 6an 1 an,求an 。解：递推式对应的特征方程为 x2 x 6 即 x2 x 6 0，解得 x1 2 、 x23。设 an ex1fx2 ，而 a1 2 、 a2 3 ，即e f 2 ，解得2e 3f 39e5 ，即1an 92n1 1( 3)n1。55类型五： an 1 pan rqn ( p q 0 )思路(构造法) ： an pan 1 rqn 1 ，设 annann 11，nqn 1rqn 1 ，从而解得n 1 rpq。那么ar nr nqn是以pqa1r 为首项，q p qp 为公比的等比数列。 q例 5 已知 a1 1 ， an an 1 2n 1 ，求

8、an 。解：设 a2nn2ann 11，则 2 1 n1 2n 2n n 1 ，解得2，1ann 12n 311是以 1 1231 为首项， 1 为公比的等比数列，即 ann 16 22n 361 21 n1，ann2n 1。3类型六： an 1 pan f(n) ( p 0 且 p 1)思路(转化法) ：an pan 1 f (n )1 ，递推式两边同时除以 pn 得an n pan 1 f(n 1) annn 11n ，我们令 nn bn ，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。p p p例 6 已知 a1 2， an 1 4an 2n 1，求 an 。n n a a 1 n，令 ann

9、bn ，则4解：an4an 1 2n，式子两边同时除以 4n得4ann 4ann 1112bn bn 1b1112，依此类推有 bn 1 bn 2，各式叠加得bn b1 n 12 n 1 i 2 2bn b1112 n in1 12 nn1、 bn 2bn 3n，即1 12n212an4nbn4n1an4bn412类型七： an 1 panr （ an 0 ）思路（转化法） ：对递推式两边取对数得 logm an 1 r logm an logm p ，我们令bn logm an，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。例 7 已知 a1 10，an 1 an2，求 an。lgan1 2l

10、g an，令 lgan bn，则n12 为公比的等比数列，即 bn 2n 1 ，解：对递推式 an 1 an2 左右两边分别取对数得bn 1 2bn ，即数列 bn 是以 b1 lg10 1 为首项，b2n 1因而得 an 10bn 102 。c an类型八： an 1n （ c 0）pan d思路（转化法）1：对递推式两边取倒数得an 1c anpand ，那么 1d1p，an 1canc1令 bn，这样，an问题就可以转化为类型一进行求解了。4，an1 2 an ，求 an。n 1 2an 1 nan 12anan 11解：对递推式左右两边取倒数得 12an 1 即 1 1 11，令 1b

11、n则2 anan11bn 12bn 1。设 bn 1 2 bn，17即2 ， 数列 bn 2 是以 2 为442n 12n 2 71首项、 1 为公比的等比数列，则 bn 22n1，即 bn n1， an n2 。2n12n12n27类型九：an 1 a an b （ c 0 、 ad bc 0 ） c an da 1a d an a2cd为等差数列，我思路 （特征根法） ：递推式对应的特征方程为 x ax b 即 cx2 （d a）x b 0 。当 cx d特征方程有两个相等实根 x1 x2时，数列 即1 2an1们可设ad an 1 2c1（ 为待定系数，可利用 a1、a2 求得）；当特征

12、方程 ad2can有两个不等实根x1、an x1x2时，数列n 1 是以 a1 x1 为首项的等比数列，我们可设an x2a1 x2anx1anx2a1 x1a1 x2n 1 （ 为待定系数，可利用已知其值的项间接求得） ；当特征方程的根为虚根时数列an 通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。例 9 已知 a114an 1 32 ， anann11 2n 2 ），求 an 。解：当 n 2 时，递推式对应的特征方程为4x 3xx2即 x2 2x 3 0，解得x11、 x2 3 。数列an 1 是以 a1 x1an 3a1 x2221 为首项的等比数列，设2an 1 1 n 1 ，由an 31

13、 a 1a1 1 得 a2 2 则 3 ，3 ，即 an 1 1 3n 1 ，2an 3n3n 1 从而 an3n 1 11 ,n 12an2n3n 133n1 11,n 2寒假专题常见递推数列通项公式的求法重、难点：1. 重点： 递推关系的几种形式。2. 难点： 灵活应用求通项公式的方法解题。典型例题】例 1 an 1 kan b 型。1) k1时， an1anban 是等差数列，anb n(a1b)2)k 1时，设 an 1 mk(an m)an 1 kan km m比较系数： km m bbmk1an b n k 1 是等比数列，公比为k ，首项为bk1an(a1kb1) kn 1 kb

14、1anb(a1b ) k n 1n k 1 1 k 1 例 2 an 1 kan f (n) 型。1) k 1 时， an 1 anf(n) ，f(n) 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知 an 满足 a1 1 ，an 1 an1n(n 1) 求an 的通项公式。解：an 1ann(n 1)anan 111an 2an 3n1an 1an 2n 2 n1n3n211 a3 a2 2 3a2 a1112对这( n 1 )个式子求和得：ana111nan 2 1nn2)k 1时，当 f(n) an b则可设 an1 A(n 1) B k(an An B)an 1 kan (k 1)An (k

15、1)B A(k 1)A a a b aA B 2(k 1)B A b 解得： k 1 ， k 1 (k 1)an An B是以 a1 A B为首项， k 为公比的等比数列n1an An B (a1 A B) k n 1n1an (a1 A B) kn 1 An B将 A 、 B 代入即可n(3) f(n) q ( q 0，1)an 1 k an 1 n 1 n 1 n 等式两边同时除以 q 得 q q q qan n qCn 1kqCnqCn可归为 an 1kanb型例 3 an 1 f (n) an 型。1)若 f (n) 是常数时，可归为等比数列。2)若 f (n) 可求积，可用累积约项的

16、方法化简求通项。例：已知：1a1 3， an2n 1a2n 1 n 1( n2）求数列 an 的通项。anan 1解：an 1an 2an 2an 3a3a2a2 2n 12n 32n 5a12n 12n 12n 332n 1ana12n 12n 1an 例 4makm an 1 型。n1考虑函数倒数关系有 ank( 1an 1anan 1 mCn 令an 则Cn 可归为an 1kan b 型。练习：1. 已知 an 满足 a1 3 ， an 12an 1求通项公式。解：m1设 an 1 m 2(an m)an 1 2an m an 1 1是以 4 为首项， 2为公比为等比数列an 1 4 2

17、n 1an 2n 1 12. 已知 an 的首项 a1 1，an 1 an 2n ( n N）求通项公式。解：an an 1 2(n 1)an 1 an 2 2(n 2)an 2 an 3 2(n 3)a2 a1 2 12an a1 21 2 (n 1) n2 n2 an n n 1n3. 已知an 中， an 1n2ann且 a1解：anan 1an 2a3a2n1an 1an 2an 3a2a1n12求数列通项公式。n 2 n 3 n 4 2 1 2n n 1 n 2 4 3 n(n 1)an2 4a1 n(n 1) an n(n 1)4. 数列 an 中，an 12n 1 an2an ，

18、 a1 2 ，求 an 的通项。解：1an 12n 1 an2n 1an1an 1a1n2n1 1bn 设1anbn 1bn2n 1bnbn 121nbnbn 1bn 1bn 2n1bn 2bn 3n21b3 b2 23122bnb112212nbn12n5. 已知：a1 1 ，解：设anAn B2n12nn 2 时，an2121 (12)n 111212n2nan2n1n 1 2n 1，求an 的通项公式。12an 1 A(n 1) Ban 21an 1 12 An2212A12B1 A 2211AB22解得：A4B6a1 4 6 3 an 4n 6 是以 3 为首项，2 为公比的等比数列a

19、n 4n 6 3 (12)n 1an2n 14n 6模拟试题】1. 已知 an 中，a13 ， an 1an2求 an 。2. 已知 an 中，a11 ， an 3an 1 2n 2 )求 an 。4. 已知 an 中，an 4 a1 4 ，4an 1 （ n 2）求 an 。1，其前 n项和 Sn与 an满足2Sn22Sn 1 （ n 2）1）求证： Sn 为等差数列 （2）求an 的通项公式a15. 已知 an 中，an6. 已知在正整数数列an 中，前12 n项和Sn满足 Sn 81（an 2）21）求证： an是等差数列2）若bn2an 30求bn的前 n项和的最小值1. 解：由 an

20、 1an 2 ，得 anan 1 2anan 1 2n 1an 1an 2 2 n 2a2 a1 2ana12(1 2n 1) 2n 21 2 2 2an 2n 2 a1 2n 12. 解：由 an 3an 1 2 得： an 1 3(an 1 1)an 13an 1 1即an1 是等比数列an 1 (a1 1)3n 1an(a1 1) 3n 1 1 2 3n 1 13. 解：由 an 2an 1 2an2nan 12n 1 a2nn 成等差数列，an2n112 (n 1)n n 1ann 2 24. 解：an 1 2 2 42(an2)anananan 122(an2)1an 2 ( n 1 )1an 12an 2bn设an 2即bn 1 bn1 (n 1)2 bn 是等差数列an 2a1 2(n 1)an22n5. 解：SnSn 11)2Sn2