安徽师范大学20062007学年第1学期近世代数考试答案

1、近世代数试卷共 ?页第 1 页安 徽师范大 学2006- 2007 学年第学期数学与应用数学专业近世代数期末考试答案(a)(时间 120 分钟) 答案及评分细则题号一四总分得分填空题(每空2分,共20分).1.设有集合a, b, |a| = 3, |b| = 2, 则可以定义8 个从a到b的映射,其中有6 个是满射, 0 个是单射.2.设群g的阶是pm,其中p是素数,m是正整数,则g的真子群的一切可能的阶是1, p, p2, . . . , pm - 1.3.设g = ( a)是循环群,则g与模n的剩余类加群同构的充要条件是?(a) = n(或|g| = n). 4.设h是群g的子群,a, b

2、 g,则ha = hb的充要条件是ba- 1 h(或ab- 1h等)5.一个有限非可换群至少含有6 个元素.n6.设g是阶为n的交换群,a是g的m(n)阶元,则群g/(a)的阶等千m .7.实数域r的理想有2 个.8. 剩余类环z6的子环s = 0 , 2 , 4 ,则s的单位元是4 . 二判断题(每小题2分,共20分).(对打“” , 错打“ ”)1. ( ) 规定实数集r的元素间的关系r为:? a, b r, arb 当且仅当ab 0,则r是r的元素间的等价关系.2. ( ) 任何集合与它的一个真子集之间皆不能有一一映射存在.学院年级/班级姓名要答学号装订线内v不题得分评卷人复核人得分评卷

3、人复核人近世代数试卷共 ?页第 2 页3. ( ) 若群g的每个元素都适合方程x2= e,则g是交换群.4. ( ) 设g是循环群,n 是g的子群,则g/n 是循环群.5. ( ) 群g的阶为n, d是n的一个因子, 则g一定有阶为d的子群.6. ( ) 模47的剩余类环z47没有零因子. 7. ( ) 设r是一个有单位元1的环,i是r的一个理想且1 i, 则i = r.8. ( ) 如果环r满足左消去律,则r必定没有右零因子.9. ( ) 设i和s都是环r的理想且i ? s ? r, 如果i是r的最大理想,则s / = 0.10. ( ) 若r是唯一分解环,则rx也是唯一分解环.计算题(每小

4、题10分共30分).1.找出模12的剩余类加群的所有子群.解. 由千模12的剩余类加群z12子群的阶为12的因数, 所以模12的剩余类加群的子群的阶只可能为1,2,3,4,6,12. . (4分) z12的1阶子群为0 ; . (1分) z12的2阶子群为0 , 6 ;. (1分) z12的3阶子群为0 , 4 , 8 ; . (1分) z12的4阶子群为0 , 3, 6 , 9 ; . (1分) z12的6阶子群为 0, 2, 4, 6,8, 10 ; . (1分)z12的2阶子群为z12. (1分) 得分评卷人复核人近世代数试卷共 ?页第 3 页2.设f (x) = 3 x3+5 x- 4

5、, g(x) = 4 x2- x+3 均为z8x中的多项式,在z8 x中计算f (x) + g(x), f (x) -g(x)与f (x)g(x)并求出它们的次数.解. f (x) + g(x) = 3 x3+ 4x2+ 4 x -1,其次数为3; . (3分) f (x) - g(x) = 3 x3- 4x2+ 6x - 7,其次数为3; . (3分) f (x)g(x) = 4 x5- 3x4+ 5 x3- 5x2+ 3x -4,其次数为5. . (4分) 3.求z16x中的方程x2= 0的根. 解. a为方程x2= 0的根的充要条件是4|a. . (5分) 所以,方程x2= 0的根为0

6、, 4 , 8 , 12 . (5分) 近世代数试卷共 ?页第 4 页匹证明题(每小题10分共30分).1.设a, b分别是群g的3阶和5阶元,且ab = ba, 证明ab的阶是15. 证. 设|ab| = k,由千(ab)15= a15b15= e,所以k|15 . (3分) 由a5k= a5kb5k= ( ab)5k= e,得3|5k,而(3, 5) = 1 ,所以3|k . (4分) 同理可得5|k,再由(3, 5) = 1得(3 5)|k . (2分) 综上所得,k = 15 ,即ab的阶是15 . (1分) 线内v不要答题得分评卷人复核人装订近世代数试卷共 ?页第 5 页q2.证明:

7、 有理数域q是所有复数a + bi(a, b q) 仵成的域q(i)的唯一真子域. 证. q显然是q(i)的一个真子域. (1分) 设f 是q(i)的任一子域,则0, 1 f,千是对? p, q (/ = 0) z,有p, q, p f,即q ? f . (4分) 若f / = q,则有a + bi f,其中a, b(/ = 0) q,千是bi = ( a + bi) -a f, i = b- 1bi f,即f = q(i) . (4分) 所以q是q(i)的惟一真子域 . (1分) 装订线内v不要答题近世代数试卷共 ?页第 6 页3.设r是主理想环,a(/ = 0) r. 证明: 在r中有且仅有有限个理想包含a.证. 如果a是r的单位,则对r的任一理想i,若a i,则1 = a- 1a i,所以i = r,即只有r包含a,纠论成立. (2分) 若a(/ = 0)不是单位,则由主理想环是惟一分解环可知a有分解a =p1p2 pn,其中pi为素元