高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.5椭圆word版含答案(精编版)

1、第五节椭圆1椭圆的标准方程掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程2椭圆的几何性质掌握椭圆的简单性质知识点一椭圆的定义条件结论 1结论 2 平面内的动点m 与平面内的两个定点 f1，f2m 点的轨迹为椭圆f1，f2为椭圆的焦点|f1f2|为椭圆的焦距|mf1| |mf2|2a2a|f1f2| 易误提醒当到两定点的距离之和等于|f1f2|时，动点的轨迹是线段f1f2；当到两定点的距离之和小于|f1f2|时，动点的轨迹不存在自测练习 1已知椭圆x225y2161 上一点 p 到椭圆一个焦点f1的距离为 3，则 p 到另一个焦点f2的距离为 () a2b3 c5 d7 解析： a225， 2a10，由定义

2、知，|pf1|pf2|10，|pf2|10|pf1|7. 答案： d 知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(ab0) y2a2x2b21(ab0) 图形性质范围a xa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0， b)，b2(0，b) a1(0， a)，a2(0， a)，b1(b,0)，b2(b,0) 轴长轴 a1a2的长为 2a；短轴 b1b2的长为 2b焦距|f1f2|2c离心率eca(0,1) a，b，c的关系c2a2b2易误提醒注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2y2b21(ab0)上点的坐标为p(x，y)时

3、，则|x|a，这往往在求与点p 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因必记结论(1)当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成ax2by21 的形式， 其中a，b 是不相等的正常数，或设成x2m2y2n21(m2n2)的形式 (2)以椭圆x2a2y2b2 1(ab0)上一点 p(x0，y0)(y00)和焦点 f1(c,0)，f2(c,0)为顶点的 pf1f2中，若 f1pf2 ，注意以下公式的灵活运用：|pf1|pf2| 2a；4c2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2| cos ；spf1f212|pf1|pf2| sin . 自测练习 2若焦点在x 轴上的椭圆x22y

4、2m1 的离心率为12，则 m_. 解析： 因为焦点在x 轴上，所以0mb0)上任意一点p 到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为13，则椭圆方程为 _解析 ：由题意得2a6，故 a3.又离心率eca13.所以 c 1，b2a2c2 8，故椭圆方程为x29y281. 答案：x29y281 4椭圆 ：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，焦距为 2c，若直线y3(xc)与椭圆 的一个交点m 满足 mf1f22mf2f1，则该椭圆的离心率等于_解析：依题意得 mf1f260 ， mf2f130 ，f1mf290 ，设|mf1|m，则有 |mf2|3m，|f1f2| 2m，该椭

5、圆的离心率是e|f1f2|mf1|mf2|31. 答案：31 考点一椭圆的定义及方程|1已知两圆c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，动圆在圆c1内部且和圆c1相内切，和圆c2相外切，则动圆圆心m 的轨迹方程为() a.x264y2481b.x248y264 1 c.x248y2641 d.x264y248 1 解析： 设圆 m 的半径为r，则|mc1|mc2|(13r)(3r)16，m 的轨迹是以c1， c2为焦点的椭圆， 且 2a16,2c8， 故所求的轨迹方程为x264y2481. 答案： d 2.(2016大庆模拟 )如图，已知椭圆c：x2a2y2b21(ab0)，其中左

6、焦点为f( 2 5，0)，p 为 c 上一点， 满足 |op| |of|， 且 |pf|4，则椭圆c 的方程为 () a.x225y251 b.x236y216 1 c.x230y2101 d.x245y225 1 解析： 设椭圆的焦距为2c，右焦点为f1，连接 pf1，如图所示由 f(25，0)，得 c 2 5. 由|op|of|of1|，知 pf1pf. 在 rtpf1f 中， 由勾股定理， 得|pf1|f1f|2|pf|2452 428. 由椭圆定义，得|pf1|pf|2a4812，从而 a6，得 a2 36，于是 b2 a2 c236 (25)216，所以椭圆c 的方程为x236y21

7、61. 答案： b 3若椭圆c：x29y221 的焦点为f1，f2，点 p 在椭圆 c 上，且 |pf1|4，则 f1pf2() a.6b.3c.23d.56解析： 由题意得a 3，c7，则 |pf2|2. 在 f2pf1中，由余弦定理可得cosf2pf14222 2 722 4212. 又 f2pf1(0， )， f2pf123. 答案： c 椭圆定义应用的两个方面一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、 最值和离心率等考点二椭圆的几何性质|(1)(2015 高考广东卷 )已知椭圆x225y2m2 1(m0)的左焦点为f1(4,0)，则m() a2b3 c4

8、 d9 (2)如图，已知椭圆e 的左、右焦点分别为f1，f2，过f1且斜率为2 的直线交椭圆e 于 p，q 两点，若 pf1f2为直角三角形，则椭圆e 的离心率为 () a.53b.23c.23d.13解析 (1)由 425m2(m0)? m 3，故选 b. (2)由题意可知，f1pf2是直角，且tan pf1f22，|pf2|pf1|2.又|pf1| |pf2|2a， |pf1|2a3， |pf2|4a3.根据勾股定理得2a324a32(2c)2，所以离心率eca53. 答案 (1)b(2)a 求解直线与椭圆位置关系问题的常规思路(1)求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，既不画

9、出图形，思考时也要联想到图形 当涉及顶点、 焦点、 长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系(2)求椭圆离心率问题，应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 e 的等式或不等式， 从而求出 e 的值或范围 离心率 e 与 a， b 的关系e2c2a2a2b2a21b2a2?ba1e2. 1如图，已知f1，f2分别是椭圆的左、右焦点，现以f2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点m，n，若过f1的直线 mf1是圆 f2的切线，则椭圆的离心率为() a.31 b23 c.22d.32解析： 因为过 f1的直线 mf1是圆 f2的切线，

10、所以可得 f1mf290 ， |mf2|c.因为 |f1f2|2c，所以可得 |mf1|3c.由椭圆定义可得|mf1| |mf2|c3c2a，可得离心率eca21331. 答案： a 考点三直线与椭圆的位置关系|已知点 a(0， 2)，椭圆 e：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，f 是椭圆的一个焦点，直线af 的斜率为2 33，o 为坐标原点(1)求 e 的方程；(2)设过点 a 的直线 l 与 e 相交于 p，q 两点，当 opq 的面积最大时，求l 的方程解(1)设 f(c,0)，由题意kaf2c233，c3，又离心率eca32，a2，ba2c21，故椭圆的方程为x24y21.

11、(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k，方程为 ykx2，联立直线与椭圆方程，得x24y21，y kx2，化简，得 (14k2)x216kx120. 16(4k23)0， k234. 设 p(x1，y1)， q(x2，y2)，则 x1x216k14k2，x1 x2121 4k2，|pq|1 k2|x1 x2|1 k244k2314k2. 坐标原点 o 到直线 l 的距离 d2k21. sopq121k244k2314k22k2144k2314k2. 令 t4k23(t0)，则 sopq4tt244t4t. t4t4，当且仅当t4t，t2 时，等号成立，sopq 1，故当 t

12、2，即4k232，k72时， opq 的面积最大，从而直线 l 的方程为y 72x2. 2(2016 邯郸质检 )已知椭圆c：x2a2y2b21(ab0)过点 a22，32，离心率为22，点 f1，f2分别为其左、右焦点(1)求椭圆 c 的标准方程(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆c 恒有两个交点p，q，且opoq？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解： (1)由题意，得ca22，得 bc. 因为222a2322b21(ab0)，得 c1，所以 a22，所以椭圆c 方程为x22y21. (2)假设满足条件的圆存在，其方程为x2y2 r2(0r0 恒成立直线 p

13、q 与圆相切，r2b21k223，存在圆x2y223. 当直线 pq 的斜率不存在时，也存在圆x2y223满足题意综上所述，存在圆心在原点的圆x2y223满足题意26.几何法求解椭圆离心率范围问题【典例】(2015 山西大学附中月考)已知椭圆c：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 f1，f2，若椭圆c 上恰好有6 个不同的点p，使得 f1f2p 为等腰三角形，则椭圆c 的离心率的取值范围是() a.13，23b.12，1c.23，1d.13，1212，1思维点拨 利用对称性分|pf1| |f1f2|，|pf2|f1f2|两种性质讨论，结合几何特征建立相关不等式求解解析 6 个不同的

14、点有两个为短轴的两个端点，另外4 个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称不妨设p 在第一象限 ，|pf1|pf2|，当|pf1|f1f2|2c 时，|pf2|2a|pf1|2a2c，即 2c2a2c，解得 eca12.因为 e1，所以12e2c，且 2c2c2a2c，解得13e12.综上可得13e12或12eb0)的左、 右焦点分别为f1(c,0)，f2(c,0)，若椭圆上存在点 p 使asinpf1f2csinpf2f1，则该椭圆的离心率的取值范围为_解析： 由asin pf1f2csinpf2f1，得casinpf2f1sinpf1f2.又由正弦定理得sinpf2f1sinpf1

15、f2|pf1|pf2|，所以|pf1|pf2|ca， 即|pf1|ca|pf2|.又由椭圆定义得|pf1|pf2|2a， 所以 |pf2|2a2ac， |pf1|2acac.因为 |pf2|是 pf1f2的一边，所以有2c2acac2a2a c0，所以e22e10(0eb0)的一个焦点，若椭圆上存在点a 使得 aof 为正三角形，那么椭圆的离心率为() a.22b.32c.312d.3 1 解析：由题意，可设椭圆的焦点f 的坐标为 (c,0)， 因为 aof 为正三角形， 则点c2，32c在椭圆上，代入得c24a23c24b21，即e23e21e24，得e2423，解得e31，故选d. 答案：

16、 d 2 已知椭圆e：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为f(3,0)， 过点 f 的直线交e 于 a， b 两点若ab 的中点为m(1， 1)，则 e 的方程为 () a.x245y2361 b.x236y2271 c.x227y2181 d.x218y291 解析： kab013112，kom 1，由 kab komb2a2，得b2a212， a22b2.c3， a218，b29，椭圆 e 的方程为x218y291. 答案： d 3(2016 厦门模拟 )椭圆 e：x2a2y231(a0)的右焦点为f，直线 yx m 与椭圆 e 交于a，b 两点，若 fab 周长的最大值是8，则 m 的

17、值等于 () a0 b1 c.3 d2 解析： 设椭圆的左焦点为f， 则 fab 的周长为afbfabafbfafbf4a8，所以a2，当直线ab 过焦点f(1,0)时， fab 的周长取得最大值，所以0 1m，所以 m1.故选 b. 答案： b 4已知 f1，f2是椭圆x225y291 的两个焦点， p 是该椭圆上的任意一点，则|pf1| |pf2|的最大值是 () a9 b16 c25 d.252解析： 设 p(x，y)，则 |pf1|a ex，|pf2|aex，|pf1| |pf2|(aex)(aex)a2e2x2. 当 x0 时， |pf1| |pf2|取最大值a225. 答案： c

18、5已知 f1，f2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点p，使得 pf1pf2，则椭圆的离心率的取值范围是() a.55，1b.22，1c. 0，55d. 0，22解析： 设 p(x，y)，pf1(cx，y)，pf2 (c x，y)，由 pf1 pf2，得 pf1 pf20，即 (cx， y) (c x， y) x2 y2 c2 x2b21x2a2 c2c2x2a2 b2c20， x2a2c2b2c20， c2b20， 2c2a2， e22.又 eb0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e_. 解析： 因为圆 (x2)2y21 与 x 轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，所以 c 1，a3，

19、eca13. 答案：137(2015 泰安模拟 )若椭圆x2a2y2b21(a0，b0)的焦点在x 轴上，过点 (2,1)作圆 x2y24 的切线，切点分别为a，b，直线ab 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为_解析： 设切点坐标为(m，n)，则n1m2nm 1，即 m2n2n2m0.m2n24，2mn40，即直线ab 的方程为2xy 40.直线ab 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 2c4 0，b4 0，解得 c2，b 4，所以 a2b2c220，所以椭圆方程为x220y2161. 答案：x220y2161 8(2016 保定模拟 )直线 l 过椭圆 c：x22y21 的左焦点f，且与

20、椭圆c 交于 p，q 两点， m 为弦 pq 的中点， o 为原点，若 fmo 是以线段of 为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为 _解析： 因为 fmo 是以线段of 为底边的等腰三角形，所以直线om 与直线 l 的斜率互为相反数设直线l 的斜率为 k，则有 k (k)12，解得 k22. 答案： 229.如图，椭圆c：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为f，右顶点、上顶点分别为a，b，且 |ab|52|bf|. (1)求椭圆 c 的离心率；(2)若斜率为2 的直线 l 过点 (0,2)，且 l 交椭圆 c 于 p，q 两点， opoq，求直线l 的方程及椭圆c 的方程解： (1)由已知

21、|ab|52|bf|，即a2b252a,4a2 4b25a2,4a24(a2c2)5a2， eca32. (2)由(1)知 a24b2，椭圆c：x24b2y2b21. 设 p(x1，y1)， q(x2，y2)，直线 l 的方程为y22(x 0)，即 2xy20. 由2xy20，x24b2y2b21，消去 y，得 x24(2x2)24b20，即 17x232x164b20. 3221617(b24)0，解得 b21717. x1 x23217，x1x2164b217.opoq， op oq0，即 x1x2y1y20， x1x2 (2x1 2)(2x2 2)0，5x1x24(x1x2) 40. 从

22、而5 164b2171281740，解得 b1，满足 b21717，椭圆 c 的方程为x24y21. 10已知椭圆c：x2a2y2b21(ab0)过点1，32，且椭圆c 的离心率为12. (1)求椭圆 c 的方程；(2)若动点 p 在直线 x 1 上，过 p 作直线交椭圆c 于 m，n 两点，且p 为线段 mn中点，再过p 作直线 lmn.证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标解： (1)因为点1，32在椭圆 c 上，所以1a294b21.又椭圆 c 的离心率为12，所以ca12，即 a2c，所以 a24，b3，所以椭圆c 的方程为x24y231. (2)设 p( 1，y0)，y0 32，

23、32，当直线mn 的斜率存在时，设直线mn 的方程为yy0k(x1)，m(x1，y1)，n(x2，y2)由3x24y212，yy0k x1 ，得 (34k2)x2 (8ky08k2)x (4y20 8ky04k212)0，所以 x1x28ky0 8k234k2. 因为 p 为 mn 中点，所以x1x22 1，即8ky08k234k2 2，所以 k34y0(y00)因为直线 lmn， 所以 kl4y03， 所以直线l 的方程为yy04y03 (x1)， 即 y4y03x14，显然直线l 恒过定点14，0 . 当直线 mn 的斜率不存在时，直线mn 的方程为x 1，此时直线 l 为 x 轴，也过点

24、14，0 . 综上所述，直线l 恒过定点14，0 . b 组高考题型专练1(2015 高考福建卷 )已知椭圆e：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为f，短轴的一个端点为m，直线 l：3x 4y0 交椭圆 e 于 a，b 两点若 |af|bf|4，点 m 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆e 的离心率的取值范围是() a. 0，32b. 0，34c.32，1d.34，1解析： 设椭圆的左焦点为f1，半焦距为c，连接 af1，bf1，则四边形af1bf 为平行四边形，所以 |af1| |bf1|af|bf|4.根据椭圆定义，有|af1|af|bf1|bf|4a.所以84a， 解得 a2.因为点

25、 m 到直线 l： 3x4y0 的距离不小于45， 即4b545， b 1， 所以 b2 1，所以 a2c21,4 c21，解得 0c3，所以 0b0)的右焦点f(c,0)关于直线ybcx 的对称点q在椭圆上，则椭圆的离心率是_解析：设左焦点为f1， 由 f 关于直线ybcx 的对称点q 在椭圆上， 得|oq|of|， 又|of1|of|，所以f1qqf ，不妨设 |qf1|ck，则 |qf|bk，|f1f|ak，因此2cak.又 2a ckbk，由以上二式可得2cak2abc，即caab c，即 a2c2bc，所以 bc，e22. 答案：223(2015 高考陕西卷 )如图，椭圆e：x2a2y2b21(ab0)经过点a(0， 1)，且离心率为22. (1)求椭圆 e 的方程；(2)经过点 (1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆e 交于不同的两点p，q(均异于点a)，证明：直线 ap 与 aq 的斜率之和为2. 解： (1)由题设知ca22，b1，结合a2b2c2，解得a2.所以椭圆的方程为x22y21. (2)证明：设直线pq 的方程为yk(x1)1(k 2)，代入x22y21，得 (12k2)x24k(k1)x2k(k2)0. 由已知 0. 设 p(x1，y1)， q(x2，y2)，x1x20，则