2022年2022年高等数学上册复习资料

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载高等数学（上册）复习资料一： 函数的两个要素：定义域对应法就1 两个函数相同：（ 1）定义域相同（2）对应法就相同至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓；例如：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ysin xx与usin tt为同一个函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2函数的几种特性（1）有界性yf xxd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如存在实数 k1,使得f xk1,就称f x 在d 上有上界精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如存在实数 k2,使得f

2、xk1,就称f x在 d 上有下界；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有界：既有上界,又有下界；即存在实数k1 , k2 使得 k2f xk1等价于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载存在 k0,使得f xkxd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 单调性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如对区间i 内任意两点 x1x2,都有f x1 f x2 ,就称yf x 在 i 内单精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载调增加（削减）；精品学习资料精选学

3、习资料 - - - 欢迎下载如将“ ”改成“ ”称为严格单调增加（削减） ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）奇偶性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设函数yf x 的定义域关于原点对称精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如f xf x,就称f x 为偶函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如 f xf x,就称f x 为奇函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4） 周期性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 f xl f

4、 x就称 f x为以 l 为周期的函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：周期通常指的为它的最小正周期3 复合函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 yf u 的定义域为 d1,又 ug x 的定义域为d ,且gd d1,就函精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数 yfg xxd 称为由函数ug x 和函数yf u构成的复合函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载u 称为中间变量, 记为： f o g xfg x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

5、下载4 基本初等函数 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）幂函数yx（2）指数函数ya xa0 、 a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）对数函数 yloga x特例 ae、 yln x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）三角函数ysin x、 ycos x等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（5）反三角函数yarcsin x、 yarccosx 等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

6、5 初等函数： 由常数和基本初等函数经过有限次四就运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例： f xx1x0x21x0两个式子,故不为初等函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6 函数的极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x时,如f x 无限地接近于某个确定的数a ,就称a 为 f x 当 x时精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的极限；记为 limxf xa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

7、载重要结论 ： limf xalimf xlimf xa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xxx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limxf xa一.的几何意义：ya 为他的水平渐近线例如：1lim0xx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.limf xalimf xb而ab,就说明它有两条渐精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载近线；例如： lim arctan x、 y、 y两条渐近线；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x当 xx0 时,假如22f x 无限地接近于某一确定的常数a ,

8、就称 a 为f x 当精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0 时的极限；记为：limxx0f xa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：（ 1）f x在 x0 处的极限存在与否与f x 在 xx0 处有无定义没有关精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载系；由于定义中没有要求xx0 ,只为xx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） x 趋近于 x0 的方式为任意的；（即 可以从左边,也可以从右边）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载左极限： 当 x 从左边趋近于x0 （记为：xx0）时,f xa ,就称 a 为精品学习资料精选学习资料

9、- - - 欢迎下载f x当 xx0 时的左极限；记为：limxx0f xa或 fx0 a；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载右极限 ：limxx0f xa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limxx0f xalimxx0f xlimxx0f xa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即左右极限存在且相等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如：f x0 f x0 ,就 limxx0f x 不存在精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7 无穷小量定义：以0 为极限的 变量称为无穷小（量）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义： 当xx

10、0 （或 x）时 ,对应的函数值的肯定值f x无限增大精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意 无穷大为一种特殊的无界变量,但无界变量不肯定为无穷大无穷大的几何意义：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limxx0f x,直线xx0 为函数yf x 图形的铅直渐近线（回忆精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载水平渐近线定理二： 在自变量的同一变化过程中,假如f x 为无穷大,就1f x为无穷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载小；反之,假如f x为无穷小,且f x0,就1f x为无穷大；精品学习资料精选学习资料

11、 - - - 欢迎下载无穷小的性质：定理三：有限 个无穷小的和仍为无穷小定理二： 有界函数与无穷小的乘积为无穷小推论：（ 1） 有极限的量与无穷小的量的乘积为无穷小；（有极限有界）（ 2）常数与无穷小量的乘积为无穷小（ 3）有限个无穷小量的乘积也为无穷小8 无穷小的比较精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义：设、都为无穷小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 如lim0,就称为比高阶的无穷小,记为：0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 如lim(3) 如li

12、m,就称为比低阶的无穷小c0,就称与为同阶无穷小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(4) 如lim1,就称与为等价无穷小,记为：最重要为等价无穷小,关于等价无穷小,我们要记住以下结论精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x0 时, sin x x、 tan x x、ln1x x、 ex1 x, arcsin x x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载, arctanx x, n 1x1 1 x n, 1cos x 1 x22, a x1 xln a,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1x1x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意其引申s

13、in kx kx、 tan kx kx即上面的无穷小可换成其他无穷小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理一：设',',且lim'存在,就'精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载'limlim'9 函数的连续性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义：设函数yf x 在点x 0 的某一邻域内有定义,假如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limylimf x0xf x0 0,就称yf x 在点x 0 处连续；精品学习

14、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载强调：x0 包含x0、x0；x0、x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载记： x0x x,就yf x0xf x0 f xf x0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xf x0 yx 0相当于xx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y 0相当于f xf x0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此 ,我们得到连续的另一个等价定义精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义 2：设y f x 在点x 0

15、的某一邻域内有定义,假如limxx0f xf x0 ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载称 yf x 在点x0 处连续；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 ：在x 0 处的极限等于它在该点的函数值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与左.右极限相对应,也有左.右连续的概念精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 limy0,即 limf xf x0 ,就称f x 在点x0 处左连续精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0xx0精品学习资料精选学习资

16、料 - - - 欢迎下载如 limy0,即 limf xf x0 ,就称f x 在点x0 处右连续精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0xx0yf x 在点 x 0 处连续左右都连续精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即limf xlimf xf x0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如函数yf x 在点x0 处不连续,就称yf x 在点x0 处间断；x0 称为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yf x 的间断点；（ 1）可去间断点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载极限 limxx

17、0f x 存在,但yf x 在点x0 处无定义或yf x 在点x0 处有定精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载义 ,但limxx0f xf x0 ；就称x0 为f x 的可去间断点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2 ）跳动间断点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 limxx0f x 与limxx0f x 存在,但limxx0f xlimxx0f x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可去间断点和跳动间断点统称为第一类间断点；第一类间断点的特点为左右极限都存在；第一类间断点以外的间断点称为其次类间

18、断点；特点：为至少有一个单侧极限不存在；常见的有 无穷间断点；特点：至少有一个单侧极限为无穷大；一切初等函数在其定义区间内为连续的10 函数的导数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义：设函数yf x 在点x0 处的某个邻域u x0 内有定义,给x0 以增量x （精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0 、 x0xu x0 仍旧在该邻域内）,如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ylimx0xlimx0f x0xf x0 x存在；就称f x在 x0处可导；并称这个极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载值为 fx在 x0处的导数；记为：f x,0yx

19、x0, df x、 dy dxx xdx即x x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xlimx0f x0xf x0 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载关于导数的几点说明：（1）导数反映因变量关于自变量的变化率,即反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） 令 x0xx,当x0 时xx0等价定义精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fxlimf xf x0 或精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0xx0x

20、x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fxlimf x0hf x0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0h0h（1） 如定义中极限不存在,就称 f x 在 x0 处不行导；在不行导中有一个精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载特殊情形；当limyx0x,就称f x 在 x0处的导数为无穷大；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） 假如函数yf x 在开区间i 内的每一点处都可导,就称函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yf x 在开区间 i 内

21、可导；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） 对于任一个 xi,都对应着f x 的一个确定的导数值, xfx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载；这个函数叫做原先函数f x 的导函数；记作：yfxdy 或dx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载df x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dx即ylimx0f xx xf x或精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xlimf xhf x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载h0h注 ：（ 1）导函数 f x 简称为导数精品学习资料精选学习

22、资料 - - - 欢迎下载（2） f x0 fx x x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0（ 6）单侧导数1. 左导数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx0limf xf x0 limf xxf x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 右导数xx0xx0x0x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x0limf xf x0 limf xxf x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx0xx0x0x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

23、f x0 存在f x0 f x0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 7）假如f x在开区间a 、b 内可导,且 fb及fa 都存在,就说f x 在闭精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载区间 a 、 b上可导；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数 f x 在点x0 处的导数f x0 的几何意义 就为曲线yf x 在对应点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a x0、

24、 y0 处的切线的斜率；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为：曲线yf x 在点ax0、 y0 处的切线方程可写成：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） f x0 存在,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载切线方程：法线方程：yy0f x0 xx0 yy1xx 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载00f x0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）如 f x0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载切线方程：x x0精品学习资

25、料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载法线方程：y y0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理：如f x在 x0 处可导；就f x在 x0 处必连续精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连续但不行导的例子：yx 在 x0 处精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limx0f 0所以连续,但不行导精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0注： 如不连续,就肯定不行导11 函数的微分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义： 设函数yf x 在某区间内有定义,在x

26、 x0 处给自变量以增量x ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如相应的函数的增量y 总能表示 为：y axox,其中 a 与x 无关,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ox 为x 的高阶无穷小；就称函数yf x 在点x0 处可微；并称ax 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x 在点x0 处的微分；记作：dy 或 df x即： dyaxa 称为微分系数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选

27、学习资料 - - - 欢迎下载定理：函数yf x 在x0 处可微函数yf x 在 x0 处可导精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载我们得到函数的可微性与可导性为等价的；（可微可导）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数在x 处的微分dyf xdx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12 函数的不定积分定义 1设函数 f（x）在某区间 i 上可导,且xi 有 fx= f（x）,就称 f（x）为函数 f（x）在区间 i 上的一个 原函数 .定理 1设 f（x）为 f（x）在区间 i 上的一个原函数,就f（x）+c（c 为任意常数 ） 为 f（x）的全体原函数 .定

28、义设函数 f（x）在区间i 上有定义,称f（ x）在区间i 上的原函数的全体为f（ x）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 i 上的不定积分,记作f xdx ,其中记号 “” 称为积分号, f （x）称为被积函数,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 称为积分变量.定理 1设 f（ x） 为 f （x） 在区间 i 上的一个原函数,就f xd x=f （ x）+c,c 为任意常数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载强调：c 不能丢,f x 仅为一个原函数,不定积分为原函数的全体；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载通常,我们把f（ x）在区间i

29、 上的原函数的图形称为f（ x）的 积分曲线 ,不定积分的性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）f xg x dx =f xdx +g xd x ,其中 , 为常数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d（ 2）dxf xdx =f（ x）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）f xdx =f x+ c、 c 为任意常数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13 函数的定积分定义设函数 f（x 在区间 a, b上有界,今取n+1 个分点：a=x

30、0 x1 x2xi1 xi xn 1 xn=b,将 a,b分成 n 个小区间 xi 1 ,xi,其长度记为xi=xixi 1（ i =1, 2, n）,并令= maxxi、1 i n如i xi 1、 xi（ i =1, 2, n）,极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim0nf i xii 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载存在,且该极限值与对区间a, b的分划及i 的取法无关,就称f（ x）在b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a, b上可积,且称该极限值为f（ x）在 a,b上的定积分,记为f xdx ,其中 、a精品学习资料精选学习资料 - -

31、 - 欢迎下载f （x）称为被积函数,x 称为积分变量,a 和 b 分别称为积分下限和上限, a,b称为积精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分区间,nf （ i） xi 称为积分和 .i 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：（ 1）定积分为一个和式的极限,它为一个 数；和式很复杂,区间的分法无穷多 ,点的取法也无穷多；但为,极限与取法.分法无关；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）定积分由被积函数f x 与积分区间a 、 b确定,与积分变量无关；即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bbbf xdxf t dtf udu；aaa精品学习

32、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）曲边梯形的面积baf x dxa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4）当被积函数在积分区间上恒等于1 时,其积分值即为积分区间长度,即bf xdx =ba；a（ 5）可积条件为便利起见,我们用r（ a,b）表示区间a,b上全部可积函数的集合,可以证明：（ 1）如 f（ x） c（ a, b）,就 f（x） r（ a,b）；（ 2）如 f（ x）为 a, b上的单调有界函数, 就 f （ x） r（ a, b）；（ 3）如 f（ x）在 a, b上仅有有限个第一类间断点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 f （ x）

33、r（ a, b）.定积分的几何意义：b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）f x0、f xdxs图a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）f x0、bf xdxs图a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）f x 在a 、b上有正有负图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bf xdxs1s2s3a面积的代数和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载总

34、之,如 f（ x） c（ a, b）,就定积分bf xdx 的几何意义为表示由x 轴.曲线a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y=f（ x）.直线 x=a 与 x=b 所围成的各部分图形面积的代数和,其中位于x 轴上方的图形面积取正号,位于x 轴下方的图形面积取负号.定积分的性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） 当 a=b 时,bf xdx =0；a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 当 a b 时,bf xdx =aaf xdxb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载积分中值定理）设

35、f （ x） c（ a, b）, 就 a, b, 使得bf xdx =f（ ）（ ba） .a设 f（x） c（ a,b）,f（x）为 f（x）在a,b上的一个原函数,就bf xdx =f（ b）f（a）.a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载要把握的详细内容： 如何求极限；如何求导数与微分如何求不定积分与定积分导数和定积分的应用一如何求极限求极限的方法（1） ） 约去零因子法（适用于xx0 时的0 型）0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） ） 无穷小因子分出法（适用于x时的型）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

36、下载当 x时有理分式的极限为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lima0nm b001ma xma xm 1la0nm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xb xnb xn 1lb01nnm（3） ） 有理化（适用于含有根式的极限）（4） ） 通分（适用于型）（5） ） 利用两个重要极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 第一个重要极限limsin x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x这个极限的特点：（ 1） 0 型（2） sin x0xsin u x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推广 ：lim1,其中u x为 x 的该变

37、化过程中的无穷小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载某过程u x2 其次个重要极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim1x几种变形lim1n1 xe x1 nen（ e 为无理数, e2.71828 l）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim 11x xe精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0有如下特点：（1） 1 型（2） 加号上的量与肩膀上的量互为倒数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推广：如limux,就 lim11u xu x e精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精

38、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如limux0, lim 11u x u xe精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 6）等价无穷小替换精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x0 时 , sin x x、 tan x x、ln1x x、ex1 x, arcsin x x,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载arctanx x, n 1x1 1 xn, 1cos x 1 x22, ax1 x ln a,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1x1x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意其

39、引申sin kx kx、 tan kx kx即上面的无穷小可换成其他无穷小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理一：设',',且lim'存在,就'精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载'limlim'强调：乘积时 才用等价无穷小代替,在加减中不能代替,即被替换的无穷小必需处于乘积因子位置精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例： limtan xsin x3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0sin x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载原式lim xx0错在加减中不要替换精品学习资料精选学习资

40、料 - - - 欢迎下载x0x3（ 7）利用无穷小的性质（ 定理二： 有界函数与无穷小的乘积为无穷小）（ 8）利用左右极限与极限的关系（适用于分段函数在分段点处的极限）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 9）连续性的定义（设连续函数yf x 在点x 0 的某一邻域内有定义,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limxx0f xf x0 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 10）洛必达法就0 型,型直接使用法就,000型,将其中的一个倒下来,化成型或型,再使用法就；0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

41、下载型,通分后化成0 型,再使用法就；0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 、 0 0 、0 型,化成以e 为底的指数,或取对数后化成0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以上 10 种方法中,特殊要留意洛必达法就与重要极限,无穷小替换,相结合二 如何求导数（1）基本求导公式求导公式：（ 1） c0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） xx1特例： x1、x 111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载、22xxx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） ） a x ax ln a特例：ex ex精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4） ） log a x1特例：ln x11、lnx 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xln a（5） ） sin xcosxxxcosxsin x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载tan xsec2 xcot xcsc2 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载secxsecxtan xcscxcscxcot x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（6） ） arcs