2022年2022年高中数学常见不等式典型例题解析

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一不等式的性质：概念.方法.题型.易误点及应试技巧总结不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：如 ab 、cd ,就 acbd （如ab、 cd ,就 acbd ）,但异向不等式不行以相加；同向不等式不行以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除；异向不等式可以相除,但精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载不能相乘：如ab0、 cd0 ,就 acbd （如 ab0、0cd ,就 ab ）；cd精品学习资料精选学习资料 -

2、- - 欢迎下载3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：如 ab110 ,就 an11bn 或 n an b ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4如 ab0 , ab ,就；如 abab0 , ab ,就；如ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） 对于实数a、b、 c 中,给出以下命题：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 如ab、就ac 2bc 2 ； 如ac 2 22bc 2 、 就ab ；11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 如ab0、就ababb； 如aab0、就；ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 如ab0、

3、就 a； 如abb0、就 ab ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 如ca b0、就acab； 如ab、 11 ,就 a cbab0、b0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中正确的命题为 （答：） ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 已知1xy1 , 1xy3 ,就 3 xy 的取值范畴为 （答： 13xy7 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3） 已知 ab c ,且 abc0、 就c 的取值范畴为 a（答：12、）2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式.

4、配方等手段判定差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7查找中间量或放缩法；8图象法；其中比较法（作差.作商）为最基本的方法；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） 设 a0且a1、 t0 ,比较1 loga2t和log at1 的大小 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 答 ： 当 a1 时 , 1 logtlogt1 （ t1 时 取 等 号 ）； 当 0a1 时 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 logtlogt1 （ taa221时取等号）；精品学习资料精选

5、学习资料 - - - 欢迎下载aa22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 设 a2 , pa1, qa22 a24a 2,试比较p、 q的大小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答： pq ）；（ 3） 比较 1+ log x 3 与 2 logx 2 x0且 x1) 的大小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答：当0x1 或 x4时, 1+ log3x 3 2log x 2 ；当 1x4时, 1+ log x 3 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2log x 2 ；当 x

6、4 时, 1+ log3x 3 2log x 2 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三利用重要不等式求函数最值时,你为否留意到： “ 一正二定三相等,和定积最大,积定和最小 ”这 17 字方针； 如（1） 以下命题中正确选项1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. yxxx2b . y的最小值为23的最小值为2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c . yd . yx22x0 的最大值为243 x0 的最小值为24323 x4x23x4x（答： c）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） 如 x2 y1 ,就 2x4y 的最小值为 （答： 2

7、2 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） 正数x、 y 满意 x2 y1,就 1x1的最小值为 y（答： 322 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 常用不等式 有：（1）a 2b22abab 22依据目标不等式左右的运算11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载结构选用 ；（ 2） a .b.cr, a 2b2c2ababbcca （当且仅当abc 时,取等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载号）；（ 3）如 ab0、 mbbm0 ,就（糖水的浓度问题） ；如aam精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如正数 a . b 满

8、意 abab3 ,就 ab 的取值范畴为 （答：9、）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载五证明不等式的方法：比较法.分析法.综合法和放缩法比较法的步骤为：作差（商）后通过分解因式.配方.通分等手段变形判定符号或与1 的大小,然后作出结论；.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载常用的放缩技巧有：1111111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn1n n1n 2nn1n1n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k1k111kk1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k1k2kk1k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如（ 1） 已知 a

9、bc ,求证：a 2bb 2cc 2 aab 2bc 2ca2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2已知a、b、 cr ,求证：a 2 b 2b 2c 2c2 a 2abcabc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3） 已知a、b、 x、 yr,且 11 、 xy ,求证：xy；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abxaybabbcca精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 如 a.b.c 为不全相等的正数, 求证：lglglglg a222lg blg c ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 5） 已知a、b、 cr ,求证

10、：a 2b 2b2 c2c2a 2abcabc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6 如nn *,求证：n121n1n21n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载7 已知 | a | | b | ,求证： | a | b | a | b | ；| ab | ab |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 8） 求证： 11112 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2232n2六简洁的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤为： （ 1）分解成如干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的

11、系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上,从最精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载大根的右上方依次通过每一点画曲线；并留意奇穿过偶弹回 ；（ 3）依据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集；如f x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） 解不等式 x1 x2 20 ；（答： x | x1 或 x2 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 不等式 x2) x22x30 的解集为 （答： x | x3 或 x1 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3） 设函数f x .g x的定义

12、域都为r,且f x0的解集为 x |1x2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g x0 的解集为,就不等式f xg x0 的解集为 （答： 、12、 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4） 要使满意关于x 的不等式2 x 29xa0 （解集非空）的每一个x 的值至少满精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载足不等式 x 24 x30和x 26x80 中的一个,就实数a 的取值范畴为 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答： 7、 81 ）8七分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路为先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式, 并使每一

13、个因式中最高次项的系数为正,最终用标根法求解；解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）解不等式5xx22 x31（答： 1、12、3 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载axb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）关于 x 的不等式 axb0 的解集为1、 ,就关于 x 的不等式0的解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载集为 八肯定值不等式的解法：x2（答： 、12、 ） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1分段争论法（最终结果应取各段的并集）：如解不等式 |

14、23 x |2| x1 |42精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）利用肯定值的定义；（3）数形结合；如解不等式 | x | x（4）两边平方：如1|3（答： xr ）；（答： 、12、 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如不等式 | 3x2 | | 2 xa |对 xr恒成立,就实数a 的取值范畴为 ；（答： 4 ）3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载九含参不等式的解法：求解的通法为“定义域为前提,函数增减性为基础,分类争论为关键”留意解完之后要写上：“综上,原不等式的解集为”；留意 ：按参数争论,最终应按参数取值分别说明其解集；但如按未知数争论,最终

15、应求并集.如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（ 1） 如 log a31,就 a 的取值范畴为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答： a1 或 02a）；3ax2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 解不等式ax1xar精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答： a或 x0 ）0 时, x | x0 ；a0 时, x | x1 或 x0 ； aa0 时, x | 1ax0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载提示：（ 1）解不等式为求不等式的解集,最终务必有集合的形

16、式表示；（ 2）不等式解集的端点值往往为不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值；如关于 x 的不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载axb0 的解集为 、1 ,就不等式x2axb0 的解集为 （答：（ 1、2）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载十一含肯定值不等式的性质：a.b 同号或有 0| ab | | a | b |a.b 异号或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab |；|a | b | | ab | .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如设 f xx2x13 ,实数 a 满意 | xa |1 ,求证： |f xf a

17、 |2|a |1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载十二不等式的恒成立、 能成立 、 恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常 应用函数方程思想和“分别变量法” 转化为最值问题,也可抓住宅给不等式的结构特点,利用数形结合法）1). 恒成立问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如不等式fx如不等式fxa 在区间 d 上恒成立 、 就等价于在区间d 上 fxb 在区间 d 上恒成立 、 就等价于在区间d 上 fxminamaxb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如（ 1） 设实数x、 y 满意 x2 y121 ,当xyc0 时, c 的取值范畴为 （答：

18、21、）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 不等式x4x3a 对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范畴 （答： a1 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）如不等式 2x1mx21 对满意 m2 的全部 m 都成立,就 x 的取值范畴 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1n 17131（答：（、） ；22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4）如不等式 1 n a2对于任意正整数n 恒成立, 就实数 a 的取值范畴为n（答： 2、 3 ）；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 5）如不等式围.x22mx2 m10 对 0x1的全部实数x 都成立,求 m 的取值范精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2). 能成立问题如 在 区 间 d 上 存 在 实 数 x 使 不 等 式fx（答： m1 ）2a 成 立 、 就 等 价 于 在 区 间 d 上精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx maxa ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 在 区 间 d 上 存 在