52知识讲解_直线与双曲线的位置关系文_提高

1、直线与双曲线的位置关系【学习目标】1能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质371712 、复习】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内，到两个定点Fl、F2的距离之差的绝对值等于常数 2a（ a大于o且2a RF2）的动点P的轨迹叫作双曲线这两个定点Fi、F2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距双曲线的标准方程:焦点在x轴上的双曲线的标准方程22x y2

2、 21(a 0,b 0)a b说明：焦点是 F1（-c, 0）、F2（c, 0），其中 c2=a2-b2焦点在y轴上的双曲线的标准方程2 2占答 1（a 0,b 0）a b说明：焦点是 Fi（o, -c）、F2（0, c）,其中 c2=a2-b2要点诠释：求双曲线的标准方程应从定形” 定式”和定值”三个方面去思考定形”是指对称中心在原曰. 定量点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；定式”根据 形”设双曲线方程的具体形式;是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.要点二、双曲线的几何性质标准方程2 2；2 £ 1(a 0，b 0)2 2；2 I 1(a 0，b 0)图形411

3、19“ L¥r ri0x性质焦占八 '、八、Fi( c,0) , F2(c,0)R(0, c) , F2 (0, c)焦距|F1F21 2c (c Ja2 b2)|F1F21 2c (c Ja2 b2)范围xxa或 xa , y Ry ya或y a, x R对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0)(0, a)轴实轴长=2a，虚轴长=2b离心率e c (e 1)a渐近线方程by xaay- xb要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系2 20）联立成方程组，消元转化为关于将直线的方程y kx m与双曲线的方程 务 占 1 （a 0, b a b或y的一元二次方程

4、，其判别式为.(b22 2 2a k )x2a2mkx若b2若b2厶0baba直线和双曲线相交0,即k0,即k= 0直线和双曲线相切< 0直线和双曲线相离直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点;直线和双曲线相交，有两个交点;直线和双曲线相切，有一个公共点;直线和双曲线相离，无公共点.直线与双曲线的相交弦2x设直线y kx m交双曲线一2a2y1 (a 0,b0)于点R(N,yi)，巳区小),两点，则bIRP21 J(xi X2)2 (yi y2)2同理可得(Xiy2 I (k 0)、rvixX21这里I xi x21, I yi目21，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形:| x

5、i x2 I , (xi X2)2 4xix2I yi y21双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用韦达定理”或点差法”求解.b2x02a y。2 2在双曲线 笃占 i (a 0,b 0)中，以P(x°,y°)为中点的弦所在直线的斜率ka b涉及弦长的中点问题， 常用 点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来相互转化,同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍解题的主要规律可以概括为联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数

6、学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种:(i) 利用定义转化（2）利用双曲线的几何性质（3）转化为函数求最值【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1设Fi、F2是双曲线X2-b2= i（a>0, b>0）的两个焦点，点P在双曲线上，若PFi PF2= 0, 且 |PFi|用 |= 2ac,其中c= a2+ b2,求双曲线的离心率.【解析】由双曲线定义知，|PFi|PF2|= 2a, |PFi2 + |PF2|2 2|PFi| |PF2|= 4a2,

7、 又|PF+ |PF2|2= 4c2,. |PFi| |PF2|= 2b2,又|P?i| |PF2|= 2ac,. 2ac= 2b2, b2= c2 a2= ac,. e2 e i = 0,二 e=i；-5,即双曲线的离心率为节严【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。 举一反三：【变式i】求下列双曲线的标准方程./ V2与椭圆i6 + 25= i共焦点，且过点（2,i0）的双曲线；与双曲线X6 4 = i有公共焦点，且过点（3 2, 2）的双曲线.x2 y2【解析】 椭圆X + £ = i的焦点为（0, ±3）,625y2x2所求双曲

8、线方程设为：V2 i,a 9 a2又点（一2,10）在双曲线上， a- 9?=1，解得 a2=5 或 a2=i8（舍去）.所求双曲线方程为y-=i.542 2双曲线話一4 = i的焦点为（,0）,设所求双曲线方程为：羊-=1，又点（3 .2, 2）在双曲线上,綽1，解得a2= 12或30（舍去）,a20 a所求双曲线方程为琴v8 = 1.【变式2】设双曲线焦点在 x轴上，两条渐近线为 y= ±x,则该双曲线的离心率为()A . 5c亚C. 2【答案】CB. .'5d.5类型二：直线与双曲线的位置关系y【解析】联立方程组xk(x2y1)消去4y,并依x聚项整理得:例1 .已知双

9、曲线x2y2=4,直线I： y=k(x1)，讨论直线与双曲线公共点个数(1 - k2) x2+2k2x k2 4=0(1)当 1 k2=0 即 k= ±1 时,方程可化为共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，(2)当 1 k20时，即 k±,l 此时有 =4 3k2)若 4-3k2>0(k2 1,)52x=5 , x=5，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公2相交但不相切).乙？，1( 1,1)1,3，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点3 3(3)若4 3k2=0(k2z 1)则k=±2，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).(

10、4)若 4 3k2<0 且 k2工1则 k2.342.3"V，方程组无解，故直线与双曲线无交点k=±1或 k=±-3-时，直,1(1,1)彳2-3 ,32.32.3时，直线与双曲线有两个公共点;33综上所述，当233个公共点;,直线与双曲线无公共点【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法一一分类讨论，而且是 双向讨论”，既要讨论首项系数 1 k2是否为0,又要讨论 的三种情况， 为理清讨论的思路，可画 树枝图”如图：不爭于0举一反三:2【变式1】过原点的直线l与双曲线X2y = 一1交于两点，则直线1的

11、斜率取值范围是43A.,B.”32 2，22，C.,D.旦3 2，22，【答案】B 11【变式2】直线y=x+3与曲线一-x|x|+ y2=1的交点个数是x9A.0【答案】DB.1C.2D.32例2过点PC、7,5）与双曲线721有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。25【解析】若直线的斜率不存在时，则x ,7，此时仅有一个交点（、.7,0）,满足条件;若直线的斜率存在时，设直线的方程为k(x 、7)则 y kx 5 k7，(25廉 5 “)21,25x2257k2)x2 7 2kx(5 k .7) (57(kxk、7)25 k、7)27 25，7 250，口 时，方程无解，不满

12、足条件;7竽时，2 5 7x 1075方程有一解，满足条件;当k225 时，令 14k（5 k -7）2 4（25 7k2）（5 k、7）2 165 0，化简得：k无解，所以不满足条件;所以满足条件的直线有两条 x .7和y土7 x 10 。7注意直线的特殊位置和所过的特殊点【总结升华】直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交,举一反三：【高清课堂：双曲线的性质371712例2】2x【变式】双曲线a爲 1的右焦点到直线x-y-1=0的距离为丄?，且2a2b23c.(1)求此双曲线的方程;设直线y=kx+m(m丰0与双曲线交于不同两点C、D，若点A坐标为(0,-b)，且 |AC|=|AD|，

13、求实数 k取值范围。2【答案】(2)(类型三例3. (1)求直线y x 1被双曲线x22y41截得的弦长;(2 )求过定点(0,1)的直线被双曲线X21截得的弦中点轨迹方程2解：由x2y_4X 11 得 4x2 (x 1)2240 得 3x 2x 50 (*)设方程(*)的解为X|, X2，则有 x-ix223X1X2得,| 近届1 X2)2 4X-X2 运加.(2)方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y kX 1，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为 P(x, y)，kx2y41得(4 k2)x2 2kx 51设方程(*)的解为XnX2 ,则4k220(4 k2)0

14、 16k2 80,| k| 、5 ,且X12k4 k1 / k2 4 kGX1X252，4 k21 (y尹y2)扣 X2)42 ，4 k2X4 k244 k2得 4x2 y2 y 0( y 4或 y 0).X2 |1丨 yi y21 ；方法二：设弦的两个端点坐标为 A(x1, y1), B(x2, y2)，弦中点为P(x, y)，则4x,22y1422得:4(X1X2)(XX2) (y1 y2)(w y?),4x2y24y1y24(xX2)即y4xX1X2y1y2Xy 1即4x2y2 y 0 (图象的一部分)【总结升华】(1 )弦长公式| AB |" k2 |x1(2 )注意上例中有

15、关中点弦问题的两种处理方法举一反三:【变式1】垂直于直线x 2y 3 0的直线I被双曲线2 x202丄1截得的弦长为5心，求直线I的方程3【答案】y 2x10【变式2】双曲线x2y21的一弦中点为(2，1)，则此弦所在的直线方程为A. y 2x 1 B.y 2x 2 C.y 2x 3 D. y 2x 3【答案】C类型四：双曲线的综合问题2相交于两个不同的点 A、B，求双曲线C的离心率的例4.设双曲线C： x2-y2= 1(a>0)与直线I: x+ y= 1a取值范围.【解析】由C与I相交于两个不同点，故知方程组£-y2= 1,a有两组不同的实根,1.0<a< . 2

16、且 a 丰 1.x+ y = 1消去y并整理得(1 a2)x2+ 2a2x- 2a2 = 0.1 a2M0,，所以 422解得0<a< 2，且4a4+ 8a2(1 a2)>0 ,-J1 a2双曲线的离心率a所以少中，且er 2.即离心率e的取值范围为2 U ( 2,+s).【总结升华】求离心率的范围应以双曲线几何量的限制为准，构建关于a, b, c的不等关系，从前求出离心率的范围.举一反三：【变式】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2 + bx+ c= 0无实根,则双曲线离心率的取值范围是()A . 1<e< ,5 2B . 1&l

17、t;e<2C. 1<e<3D . 1<e<2 + 5【答案】D例5已知点M( 2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM |PN|=2、一 2 .记动点P的轨迹为 W.(I )求W的方程；uuu uuu(n )若A,B是W上的不同两点O是坐标原点，求OA OB的最小值【解析】(I)根据双曲线的定义可得2 2W的方程为1, (x . 2) 2 2(n )设a,b的坐标分别为(X1, y),( X2, y2)，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y kx m,与W的方程联立，消去y得1 k22kmxm2 20,故x22 kmm22所以uuu uuu OA OB1 k2x/2% 讨2m22k2 1x1x22k2m21 k2m2又因为x1x20,所以k2 1当ABx轴时,x1X2, %m kx22k2 2k2 10,从而OA OBy2,从而 OA OB2(1 k )x1x2 km(x1 x2)x1x222小y1 y2冶 y12m2综上，当AB丄x轴时,uuu uuuOA OB取得最小值2.几何性质及函数表示,转化为图形问题和【总结升华】 双曲线中的有