2022年2022年高三数列解题方法

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载一.基础学问：数列解题方法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数列的定义项数列的有关概念项数数列数列的通项通项数列与函数的关系精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前 n 项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前 n 项和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数列：1 数列.项的概念 ：按肯定次序排列的一列数,叫做数列,其中的每一个数叫做数列的 项 2 数列的项的性质：有序性；确定性；可重复性3 数列的表示 ：通常用字母加右下角标表示数列的项,其中右

2、下角标表示项的位置序号,因此数列的一般形式可以写成 a1, a2 ,a3, , an,（ ）,简记作 an 其中 an 为该数列的第 n 项,列表法. 图象法. 符号法. 列举法. 解析法. 公式法 （通项公式.递推公式.求和公式）都为表示数列的方法4 数列的一般性质：单调性；周期性5 数列的分类 ：按项的数量分： 有穷数列 . 无穷数列 ；按相邻项的大小关系分：递增数列 .递减数列 .常数列.摇摆数列 .其他；按项的变化规律分：等差数列.等比数列.其他；按项的变化范畴分：有界数列.无界数列6 数列的通项公式 ：假如数列 an 的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的函数关系可以用一个公式

3、a n =f （ n）（ n n+或其有限子集 1 , 2, 3, , n ） 来表示,那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 数列的项为指数列中一个确定的数, 为函数值, 而序号为指数列中项的位置, 为自变量的值 由通项公式可知数列的图象为散点图,点的横坐标为项的序号值,纵坐标为各项的值不为全部的数列都有通项公式,数列的通项公式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在形式上未必唯独7 数列的递推公式：假如已知数列 an 的第一项（或前几项） ,且任一项an 与它的前一项an-1（或前几项an-1,an -2,）间关系可以用一个公式an=f（ a n 1 ）（ n=2,3,） （或精品学

4、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载an=f（ a n公式1 、a n2 ） n= 3, 4,5, ,）来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8 数列的求和公式：设 sn 表示数列 an 和前 n 项和,即sn=nai =a1+a2+an,假如 sni 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式sn= f（ n）（ n=1, 2, 3,） 来表示,那么这个公式叫做这个数列的求和公式9 通项公式与求和公式的关系：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

5、载通项公式an 与求和公式sn 的关系可表示为：ans1 n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等差数列与等比数列：snsn 1 n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等差数列等比数列文精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一般地,假如一个数列从其次项起,每一项与字它的前一项的差为同一个常数,那么这个数列定就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差；义符一般地,假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的比为同一个常数,那么这个数列就叫等比数列,这个常数叫等比数列的公比；a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载号an 1and定义n 1qq0 an精品学习资

6、料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载递增数列：a10,q1或a10,0q1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载递增数列：d0分递减数列：d0类常数数列：d0递减数列：a1摇摆数列：q0,q01或a10,0q1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载常数数列：q1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ana1 n通1dpnqamnmdaa qn 1aqnmq0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载项其中 pd、 qa1dn1m（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

7、载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s前na1nn2an na1n n1d2pn 2qna1 1sn1q n q1q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载项其中 p和dd、 qa122na1q1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中a、b、c成等差的充要条件 : 2bac项a、 b、 c成等比的必要不充分条件：b2ac精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等和性： 等差数列an等积性： 等比数列an精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 mnpq 就 aman主apaq如 mnpq 就 amanapaq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

8、载要推论：如mn2 p 就 aa2a推论：如mn2 p 就 aaa2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性质aamnp2amnp2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n kn knankank an 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1ana2an 1a3an 2a1ana2an 1a3an 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即：首尾颠倒相加,就和相等1 .等差数列中连续m 项的和,组成的新数列为等差数列；即：即：首尾颠倒相乘,就积相等精品学习资料精选学习

9、资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sm 、 s2msm 、 s3ms2 m 、等差,公差为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其m2 d 就有s3m3s2msm 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.从等差数列中抽取等距离的项组成的数列为一个等差数列；1.等比数列中连续项的和,组成的新数列为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如： a1 、a4 、 a7 、 a10 、m（下标成等差数列）等比数列； 即：sm 、 s2msm、 s3

10、ms2 m、等比,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 .an、 bn等 差 , 就a2n,a2 n 1,公比为 q；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载kanb ,panqbn也等差；2.从等比数列中抽取等距离的项组成的数列为一个等比数列；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载它4.等差数列an的通项公式为n 的一次函数,如： a1 、 a4 、 a7 、 a10 、（下标成等差数列）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即： andnc d0 3. an、 bn等比,就a2n, a2n 1, kan精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载也等比；

11、其中k0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等差数列an的前 n 项和公式为一个没有常4.等比数列的通项公式类似于n 的指数函数,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数项的 n 的二次函数,即： acqn ,其中 ca1nq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n即： san2性bn d0 等比数列的前n 项和公式为一个平移加振精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.项数为奇数2n1 的等差数列有：幅的 n 的指数函数,即：scqncq1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1n中s奇nssaa奇偶5.等比数列中连续相同项数的积组成的新数精品学习

12、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s偶n列为等比数列；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s2n12n1) an精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载项数为偶数2n 的等差数列有：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s奇质s偶anan 1, s偶s奇nd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s2nnanan 1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6. anm、 amn就 am n0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料

13、- - - 欢迎下载snsm 就 sm n0nm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载snm、 smn 就 sm nmn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明一个数列为等差数列的方法：证证明一个数列为等比数列的方法：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载明1.定义法：aad 常数1.定义法：an 1q常数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法2.中项法：n 1an 1nan 12an n2an2.中项法：aa（a ）2 n2、a0精品学习资料精选学习资料 - -

14、- 欢迎下载n 1n 1nn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设三数等差：元ad 、 a、 ad三数等比：a2、 a、 aq或a、 aq、aqq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载技四数等差：a巧3d 、 ad 、 ad 、 a3d四数等比：23a、 aq、 aq 、 aq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.如数列an为等差数列, 就数列c an为等比数列, 公比为c d ,其中 c 为常数, d 为a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n的公差；联系2.如

15、数列an为等比数列,且an0 ,就数列log a an为等差数列,公差为log a q ,其中 a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为常数且 a0、 a1 , q 为an的公比；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数列的项an 与前 n 项和sn 的关系： ans1snsn 1n1n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数列求和的常用方法：1.拆项分组法：即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.错项相减法

16、：适用于差比数列（假如an等差,bn等比,那么anbn叫做差比精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数列）即把每一项都乘以bn的公比 q ,向后错一项,再对应同次项相减,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载转化为等比数列求和；3.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载适用于数列1和anan 11anan 1（其中an等差）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可裂项为：11 11 ,11 aa 精

17、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载anan 1danan 1n 1ndanan 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等差数列前 n 项和的最值问题：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.如等差数列an的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和sn 有最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）如已知通项an ,就sn 最大an0；an 10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n（）如已知spn2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 ps

18、n 最大；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.如等差数列an的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和sn 有最小值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）如已知通项an ,就sn 最小an0；2an 10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）如已知snpnqn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 psn 最小；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式

19、；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知s （即 aaaf n ）求a , 用作差法 ： as1 、 n1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n12nnnf 1、n1snsn 1、 n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知 a1 a2anfn 求 an , 用作商法：anf n、 n2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知条件中既有sn 仍有an ,有时先求sn ,再求an ；有时也可直接求an ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 an a1 n1an2) ；f n 求

20、an 用累加法 ： ananan 1 an 1an 2 a2a1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知an 1f n 求 a,用累乘法 ： aanan 1a2a n2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nnanan 11an 2a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知递推关系求an ,用构造法 （构造等差.等比数列）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载特殊地 ,（ 1）形如akab . akabn（k 、b 为常数）的递推数列都可精品学习资料精选学习

21、资料 - - - 欢迎下载nn 1nn 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列 后,再求a ； 形如akak n 的递精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推数列都可以除以k n 得到一个等差数列后,再求nan ；nn 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）形如 anan 1的递推数列都可以用倒数法求通项；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载kan 1b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）形如aa的递推数列都可以用对数法求通项；精品学习资料精选学

22、习资料 - - - 欢迎下载kn 1n（ 7）（理科） 数学归纳法 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 8）当遇到an 1an 1d或 an 1an 1q 时, 分奇数项偶数项争论,结果可能为分段精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载形式 ；数列求和的常用方法：（ 1）公式法 ：等差数列求和公式；等比数列求和公式；（ 2） 分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和；（ 3） 倒序相加法 ：如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也为等差数

23、列前n 和公式的推导方法）.（ 4） 错位相减法 ：假如数列的通项为由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法（这也为等比数列前n 和公式的推导方法）.（ 5）裂项相消法 ：假如数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载111； 11 11 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n n1nn1nnk knnk精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 111 11 , 1111111 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k2k 212k

24、1k1kk1k1kk 2k1kk1k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11 11；n11；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n n1n22n n1 n1n2n1.n.n1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2n1n 2122nn1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn1二.解题方法：nnn1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求数列通项公式的常用方法：1.公式法2. 由sn 求an精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（n1时, a1s1,n2时, ansnsn 1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.求差（商）

25、法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如：a满意 1 a1 a、1 a2 n51精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： nn212 221时, 1 a215, a2 nn14精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载211精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n2 时, 1 a1 a、1 a2 n152精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载212 222 n 1n 112得：1 a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载an2n 12 nn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载an14n12n 1 n2精品学习资料精选学习资料 - -

26、- 欢迎下载练习数列a n满意 sns n 15an 1 , a134,求 a n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（留意到ass代入得：s n 14精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 1n 1nsn又s4 , s为等比数列,s4 n1nn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n2时, ansnsn 1、3· 4 n 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.叠乘法a n 1n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例如：数列a n中, a13,求 a n精品学习资料精选学习资料 - -

27、- 欢迎下载解： a2 · a 3 、a1a 2a na n 13an1 · 2 、23n1n1 , a n1na1n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又a13, a nn5.等差型递推公式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由anan 1f n, a1a0 ,求an ,用迭加法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n2 时, a 2a1a 3a2f 2f 3两边相加,得：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a na n 1f n精品学习资料

28、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ana1f 2f 3、f n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ana0f 2f 3、f n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练习数列（ a na n, a1 1 3 n21, a n1 ）3n 1an 1n2 ,求 a n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.等比型递推公式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a nca n 1dc. d为常数, c0, c1, d0精品学习资料精

29、选学习资料 - - - 欢迎下载可转化为等比数列,设a nxc an 1xancan 1c1 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令cd1xd, xc1dd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a n为首项为 a1c1, c为公比的等比数列c1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d a nc1dn 1a1· cc1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a ndn 1dac1c1c1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练习精品学习资料精选学习资料

30、 - - - 欢迎下载数列a n满意 a19 , 3a n 1a n4 ,求 a n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ann 1841）3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7.倒数法例如： a11, a n 12a na n2,求 a n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由已知得：1an 1a n22an112a n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载111a n 1a n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1为等差数列,an11,公差为 1a

31、12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11n a n1 · 121n12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 a nn1数列前 n 项和的常用方法：1.公式法：等差.等比前n 项和公式2.裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和,使之显现成对互为相反数的项；n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如： a n为公差为 d的等差数列,求k 1 ak ak 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 由11111d0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ak ·ak 1akakddakak 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1n111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k 1 ak ak 1k 1 dakak 1精品学习资料精选学习资料 - - -