lingo练习题目的答案（精编版）

1、2线性规划习题答案1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。线性规划数学模型特征：（ 1）用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量；（ 2）存在一定数量m的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线性等式或者不等式来加以表示；（ 3）有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。2、一家餐厅24 小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为：2： 006： 003 人6： 0010： 009 人10： 0014： 0012 人14： 0018： 005 人18： 0022： 001

2、8 人22： 00 2： 004 人设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。2解：用决策变量x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 分别表示2： 006： 00， 6： 0010： 00 ， 10： 0014：00 ， 14： 0018： 00， 18： 0022： 00， 22： 00 2： 00 时间段的服务员人数。其数学模型可以表述为：min zx1x2x3x4x5x6x1x63x1x29x2x312x3x45x4x518x5x64x1, x2 , x3 , x4 , x5 ,

3、 x603、现要截取2.9 米、 2.1 米和 1.5 米的元钢各100 根，已知原材料的长度是7.4 米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。方法一解：圆钢的截取有不同的方案，用表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示：2.92.11.51'1110.92'2000.13'1200.34'10305'0130.86'0041.47'0220.28'0301.1目标函数为求所剩余的材料最少，即min z0.9 x10.1x20.3x30 x40.8 x51.4x60.2x71.1x8x12x2x3

4、x4100x12x3x52 x73 x8100x1x23x43x54x62x7100规格2.9 米120102.1 米002211.5 米31203合计米7.47.37.27.16.6<6.6料头米00.10.20.30.8>0.8x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6, x7 , x80方法二解：由题意，因为所有套裁方案有21 种，全部写出需考虑因素太多，故需先做简化。原材料合理利用简化图表方案下料数不必考虑的其他16种方案又由于目标是使所用原材料最少，所以，仅需考虑最省的五个方案即可。设 xi是第i 种套裁方案所用的原材料根数，建立数学模型如下：料头最省minz=

5、 0 x1 +0.1 x2 +0.2 x3x1 +2x2+ x42x3+2x4 3x1 +x2 + 2x3+x5+3x5+0.3x 4 +0.8 x5100100100xj0(j=1,2,5)五种套裁方案实施后，可得的2.9 米钢筋的根数。五种套裁方案实施后，可得的2.1 米钢筋的根数。五种套裁方案实施后，可得的1.5 米钢筋的根数。x1=30,x2=10,x3=0,x 4=50,x5 =0只需 90 根原材料，目标函数值最小为90 即可。4、某糖果厂用原料a、b、c 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中a、b、c 三种原料的含量要求、各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用

6、量、三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1 所示。问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，才能使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划模型。表 1甲乙丙原料成本限制用量a60%以上15%以上2.002000b1.502500c加工费20%以下0.5060%以下0.4050%以下0.301.001200售价3.402.852.25方法一解：设x 1， x 2， x3 分别为甲糖果中a,b,c的成分； x 4， x 5， x 6 分别为乙糖果中a,b,c的成分；x 7， x 8， x9 分别为丙糖果中a,b,c的成分。由题意，有max z(3.400.50)( x1x2x3 )(2.850.40)(

7、 x4x5x6 )(2.250.30)( x7x8x9 )2.00( x1x4x7 )1.50(x2x5x8 )1.00( x3x1x1x2x3x3x1x2x3x4x4x5x6x6x4x5x6x9x6x9 )0.60.20.150.6x7x8x9x1x4x72000x2x5x82500x3x6x912000.5x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 , x6, x7 ,x8 , x90对上式进行整理得到所求问题的线性规划模型：max z0.9 x11.4x21.9 x30.45 x40.95x51.45 x60.05 x70.45 x80.95 x90.4 x10.2 x10.6x20.2 x2

8、0.6 x300.8x300.85x40.15 x50.15 x600.6 x40.5 x70.6 x50.5x80.4 x600.5x90x1x4x2x5x3x6x72000x82500x912003x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6, x7 , x8 , x90方法二解：以甲a 表示甲产品中的a 成分，甲b 表示甲产品中的b 成分，甲c 表示甲产品中的c7成分，依此类推。据表2-16，有：甲3甲 ， 甲1， 乙3 乙 ， 乙3 乙 ， 丙1 丙 5a5c甲a20c5a2其中：甲a +甲b甲c甲 ， 乙a +乙b乙c乙 ， 丙a +丙b丙c丙 把逐个代入并整理得：217甲a

9、 +甲b甲c30 ，甲a - 甲b4甲c0 ， -乙a +乙b乙c03- 乙 - 乙2 乙0 ， - 丙 - 丙丙0aabcbc3原材料的限制，有以下不等式成立：甲a +乙a丙a2000 ， 甲b +乙b丙b2500 ， 甲c +乙c丙c1200在约束条件中共有9 个变量，为方便计算，分别用x1, x2 x9 表示，即令x1 =甲a ，x2 =甲b ，x3 =甲c ， x4 = 乙a ，x5 = 乙b ，x6 =乙c ，x7 = 丙a， x8 = 丙b ，x9 = 丙c由此约束条件可以表示为：2-x13-x1-x 2x2x 304x 30456- 17 xxx034536-x 7 -x8x 9

10、0x1 +x 4x 72000x 2 +x5x82500x3 +x6x 91200-x -x2 x0x1 , x 2 , x 3, x 4 , x5 , x 6 , x 7 , x8 , x90我们的目的是使利润最大，即产品售价减加工费再减去原材料的价格为最大。目标函数为maxz0.9 x11.4 x21.9x30.45 x40.95 x51.45 x60.05 x70.45 x80.95 x95、某厂在今后 4 个月内需租用仓库存放物资，已知各个月所需的仓库面积如表 2 所示。租金与租借合同的长短有关，租用的时间越长，享受的优惠越大，具体数字见表 3。租借仓库的合同每月初都可办理， 每份合同

11、具体规定租用面积数和期限。 因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同， 且每次办理时， 可签一份， 也可同时签假设干份租用面积和租借期限不同的合同， 总的目标是使所付的租借费用最小。试根据上述要求，建立一个线性规划的数学模型。表 2月份1234所需面积100m 215102012合同租借期限1 个月2 个月3 个月4 个月单位 100m 2租金元2800450060007300表 3解：设xiji 1,2,3,4;j=1,2 4-i+1 为第 i 个月初签订的租借期限为j 个月的合同租借面i积单位： 100 m2 ； r 表示第 i 个月所需的面积j 表示每 100 m2 仓库面积租借期为

12、j 个月的租借费；则线性规划模型为：min z2800(x11x21x31x41 )4500(x12x22x32 )6000(x13x23 )7300x14x11x12 x12x13 x13 x13x14 x14 x14x21x22x22x23x23x311510x3220xij0, i , jx141,2,3, 4, ijx235x32 +x4112即44 i 1minzc j x iji 1j 1k4 i 1x ijrk ( k1,2,3, 4)i 1 j k i 1x ij0(i1,2,3, 4; j1,2.4i1)6、某农场有100 公顷土地及25 万元资金可用于发展生产。农场劳动力情

13、况为秋冬季4500人日， 春夏季 6000 人日， 如劳动力本身过剩可外出打工，春夏季收入为20 元人日，秋冬季 12 元人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米和小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资8000 元，每只鸡投资2 元。养奶牛时每头需拨出1.5 公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为100 人日，春夏季为50 人日，年净收入3000 元每头奶牛。养鸡不占土地，需人工为每只鸡秋冬季 0.3 人日，春夏季 0.1 人日，年净收入为每只 8 元。农场现有鸡舍允许最多养 5000 只鸡， 牛栏允许最多养 50 头奶牛， 三种作物每年需要的人工及收入情况如表 4 所示

14、。试决定该农场的经营方案，使年净收入最大。表 4每公顷秋冬季所需人日数大豆20玉米35麦子10每公顷春夏季所需人日数507540年净收入元 / 公顷11001500900解：设x1 , x2 , x3 分别代表大豆、玉米、麦子的种植数公顷；x4 , x5 分别代表奶牛和鸡的饲养数；x6 , x7 分别代表秋冬季和春夏季多余的劳动力人日数则有maxz1100 x11500 x2900 x33000 x48 x512 x620x7x1x21.5x4100(土地限制 )8000x42x5250000(资金限制）20x150x135x275x210x340x3100x450x40.3x5x60.1x5

15、x74500(劳动力限制）4500(劳动力限制）x450(牛栏限制）x5500（0 鸡栏限制）x1 , x2 , x 3 , x 4, x 5, x6 , x 707、用图解法求解以下线性规划问题 1max z2 x1x22 max z3 x12 x24 x13 x212x12 x242 x1x283x12 x2144 x1x28x1x23x1 , x20x1 , x20 3max z2 x13 x24 max zx1x2x1x22x1x203 x1x243x1x23x1 , x20x1 , x20解：128844*9q (,1)4234此 题 有 唯 一 最 有 解 ，234此题有无穷多最有

16、解， 其*9t*tx(,1)4中一个是x(4,1)344324此题为无界解24找不到可行域， 此题为无可行解8、考虑线性规划：max z2x1x2x3x4x1+x2+x3+x4=5x1 +x2+x5=22 x1+x2+x3+x6=6x1 , x60（ 1）通过观察写出初始的基可行解并构造初始单纯形表；（ 2）在保持x2 和x3 为零的情况下，给出非基变量x1 增加一个单位时的可行解，并指出目标函数的净增量是多少?（ 3）在模型约束条件的限制下，x1 的最大增量是多少？（ 4）在x1 有其最大增量时，给出一个新的基可行解。解：1 因存在初始可行基x4 , x5 , x6t，故可令x1 ,x2 ,

17、 x3 全为0, 则可得初始可行解为(0,0,0,5, 2,6) t ， z 5。cjcbxb2x1-1x21x31x40x50x6b(2) 非基变量x2 , x3 仍然取零，x1 由 0 变为 1,即 x1 1,x2 0, x3 =0,代入约束条件得一个可行解 x= (1,0,0,6,1, 4)t 。其目标函数值为z 8因此，随着x1 增加 1 个单位目标函数值的净增量为z 8-5=3.3因为决策变量全非负所以由约束条件知x1 增加可以引起x2 , x3 , x4 增加， 即条件对x1 无约束； 由约束条件知x1 增加可引起x2 , x5 减少， 由非负约束知x1 最大增量为2；同理可得约束

18、条件的x1 最大增量为3，综合得x1的最大增量为2。4 x 2，非基变量1x =0, x 0,代入约束条件得基可行解23x= (2,0,0,7,2, 2)t ，目标函数值为 z 11。9、将线性规划模型转化为标准形式max z2 x1x23 x3x4x1x22 x3x4102 x13x25 x3x48x1x26 x34 x4128初始单纯行表为：1x4-11110050x511001020x62110016j3-20000z=0x1 , x2 , x30 ， x4 无约束13解：1令x4 x5 x6 并代入模型，这里x5 >=0,x6 >=0；2第二个约束条件方程两侧同乘“-1”；

19、3第一个约束条件引入松弛变量x7 ，第三个约束条件引入x8 作为松弛变量。4目标函数同乘“-1”，即可实现最少化。min z2 x1x23x3x5x6x1x22 x3x53x25x3x6x6x78102 x1x1x26 x34 x54 x6x1, x2, x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8x812010、用单纯形法求解下述线性规划问题1 min w3x1x2x3x42 max z4 x15 x2x32 x12 x2x343x1+ 2 x2+x313 x1x2x462x1+x2x1 , x2 , x3 , x40x1 +x2x3x1 , x2 , x301解：构造初始单纯行表

20、，并进行初等变换，得：845cj3111bcbxbx1x2x3x41x3-221041x431016j2-200w=101x2-111/2021x440-1/214j0010w=6最优解x *(0, 2,0, 4)t ，由非基变量x1 的检验数为0,知此问题有无穷多最有解，所以该解为无穷多最优解中的一个，最优值为w 6。2解：此问题用大m 法求解，先把问题标准化为：min z4 x15 x2x3mx6mx73 x1 2 x1 x12x2x3x4x618x2x54x2x3x75x1 , x2 , x3, x4 , x5 , x6 , x70构造初始单纯行表，并进行初等变换，得：cj-4-5-10

21、0mmbcbxbx1x2x3x4x5x6x7mx60x5mx7321-101018(2)100100411-100015j-4-4m-5-3m-1m000mx6-4x1mx701/21-1-2/310121(1/2 )001/200201/2-10-1/2013j0-5-1m2m+200mx6-5x2mx7-10(1)-1-2101021001004-10-10-1011j2m-40-1m3m+500-1x3-5x2mx7-101-1-2101021001004-200-1-31111j2m+500m-13m+310因为所有检验数均为非负，但人工变量x7 仍为基变量，故此问题无解。11、求解线

22、性规划问题并给出其中三个最优解：min w3x1x2x3x42 x12 x2x343x1x2x46x1 , x2 , x3 , x40解：构造初始单纯行表，并进行初等变换，得：cj3111cbxbx1x2x3x41x3-221041x431016j2-200w=101x2-111/2021x4(4 )0-1/214j0010w=61x2013/81/433x110-1/81/41b*1*2j0010w=6从单纯形表可以找到两个顶点，x(0, 2,0, 4)t ， x(1,3,0,0) t。可以找到变量之间存在以下关系：x2 x1 2； x4 4 x1 4；x30*令 x1 1/2 则有 x 3

23、(1/ 2,5 / 2,0, 2)t ，从而找到了lp 问题的三个最优解。12、1如为唯一最优解则要求非基变量的检验数全少于零，从而有1 <0，2 <0。并且要令表中的解为最优解，则要求原问题可行，这只要满足0 即可。2要令表中解为无穷多最优解中的一个，则有以下关系成立：1 <=0，2 <=0，且12 =0假设2 =0，则10 。3要使表中的解为退化的基可行解，则必有0 ；当2 >1 且2 >0 时，10 。4假设为无界解， 则满足能找到入基变量，但找不到出基变量的条件。即满足：0 ；2 >1，且2 >0；10 。5以 x1 代替x6 ，即x1 入基，x6 出基， 则有以下关系成立：1 >2 ，且1 >0；30 ；0 ，且 03