圆锥曲线背景下的综合问题

1、1/22湖南学海文化传播有限责任公司湖南学海文化传播有限责任公司专题四 解析几何2/22知识梳理高考速递典例精析圆锥曲线背景下的综合问题第十六课时3/222解析几何要求有较强的逻辑推理与运算能力，综合考查数形结合、分类讨论、等价转换等重要数学思想知识梳理1解析几何是代数与几何的综合，以圆锥曲线为载体综合考查函数、方程、不等式、几何、三角函数、数列、向量及导数等知识是近几年高考的基本模式；4/22APB1 1.(2008.(2008浙江卷浙江卷) )如图，如图，AB是平面是平面的斜的斜线段，线段，A为斜足，若点为斜足，若点P在平面在平面内运动，内运动，使得使得ABP的面积为定值，则动点的面积为定

2、值，则动点P的轨的轨迹是迹是( ( ) ) A. A. 圆圆B. B. 椭圆椭圆 C. C. 一条直线一条直线D. D. 两条平行直线两条平行直线B B高考速递5/22B B高考速递2.(20082008 全国卷全国卷)设a1，则双曲线 的离心率e的取值范围是() A. ( ,2) B.( , ) C. (2,5) D.(2, )22221(1)xyaa22256/22C2122mymxABFODxyl)(mf)(mf)(mf例例1 1 如图，已知椭圆 (2m5),过其左焦点F且斜率为1的直线l与椭圆及其准线的交点从左到右依次交于A、B、C、D，设 =|AB|-|CD|.(1)求 的解析式；(

3、2)求 的最值.典例精析7/22 【分析】先确定A、D 的坐标，再确定B、C的坐标，进而得|AB|CD|，然后建立函数关系.解析022)12(22mmmxxm(1)由已知，焦点F(-1,0)，直线l的方程为 ,准线方程为 ,所以1 xymxmxmxDA,mmxxcB212所以将 代入椭圆方程得：1 xy22(),2,521mf mmm即2 ()()2 ()()22012BADCBCADABCDxxxxxxxxmm所以8/22【回顾与反思】本题综合考查圆锥曲线与函数知识，注意利用函数的单调性求值域和利用平面几何知识简化运算.111139, 2,5225mm(2)因为2210242(),1932f

4、mm由函数单调性得即 的最小值为 ,最大值为 .1 029423()fm9/22例例2 2(长沙市一中月考卷长沙市一中月考卷)已知抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点 重合， 是椭圆左焦点.（1)ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线上运动，求ABC的垂心G的轨迹方程；(2)若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且=,=，求coscos的值及的面积.12PFF21:4Cyx2222:1(0)9xyCbb1F2F12PFF21PF F24yx典例精析10/22分析解析(1)利用坐标代入法求解；(2)应用抛物线定义及解三角形知识求解.又A(-4,0),B(0,-3),(1)设重心,.

5、( , )G x y1,1()C x y由垂心公式有.113433xxyy又因为点C在抛物线上，得2(33)4(34)yx整理得即为ABC的重心G为轨迹方程.244(1)()33yx11/22【回顾与反思】本题考查直线与圆锥曲线之间的关系，同时综合了函数与三角形的知识.(2)抛物线焦点(1,0),所以=9-1=8,2b2F由 ，得交点P(,).2221984xyyx326tan=,tan=-,63122 6563122 6所以cos=,cos=,5715coscos=,171212662PF FS12/22典例精析(2008山东卷山东卷)如图，设抛物线方程为(p0)，M是直线上任意一点，过点M

6、引抛物线的切线，切点分别为A、B.(1)求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；(2)令(O为原点)，是否存在点M使得点C关于直线AB的对称点D在已知抛物线上？若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.22xpy2yp OCOAOB ByA-2pxMO(1)借助导数确定切线斜率，求切线方程；(2)先求对称点D的坐标，再假设点M存在，解方程求点M的坐标.分析13/22(1)设 ,0(, 2 )M xp由，得 ,22xypxyp设221212(,),(,)22xxA xB xpp解析ByA-2pxMO所以2111022AMxpxpkxxp即22011122x xpx同理，有220

7、22122x xpx两式相减,得22012121()()2xxxxx因为,所以12xx0122xxx即A、M、B三点的横坐标成等差数列.14/22(2) 设,1,122120(),(,),2A x yB xyxxx所以01212121212(,),2ABxyyxxC xxyykxxpp设，33(,)D xy直线AB的方程为011()xyyxxp因为CD的中点在直线AB上,所以123012311()22yyyxxxxyxp0213213()xyyyxxxp即 (*)又因为点也在直线AB上，1212(,)22xxyy所以,0121211()22xyyxxyxpByA-2pxMO15/2202121

8、()xyyxxp即 ， 代入(*)式得033xyxp若在抛物线上，所以,33(,)D xy2330322xpyx x解得=0或=,即 或.3x3x02x(0,0)D2002(2 ,)xD xp当 =0时，点适合题意；0 x(0, 2 )Mp(0,0)D当时，00 x 2002(2,)xDxp因为，22120(2,)2xxCxp所以CDy轴,而,00ABxkpByA-2pxMO所以AB与CD不垂直，与C、D关于直线AB对称矛盾，故此时不存在符合条件的M点.综上所述，仅存在一点M(0, -2p)适合题意.【回顾与反思【回顾与反思】此题综合考查直线与抛物线的位置关系，对称性、存在性问题在高考题中常以

9、压轴题的形式出现.16/22 例3 (2007四川卷四川卷)如图，设、分别是椭圆的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角(O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.1F2F2214xy12PF PF 2F1F典例精析分析(1)将表示成关于点P(x, y)的函数，再求最值；12PF PF (2)将表示成斜率的函数，再解不等式.OA OB 17/22(1)设P(x, y)为椭圆上任意一点，2214xy22222(3)(3)()()3134324xxyyxyxxx 12PFPF 解析12(3,0),( 3,0)FF焦点而,所以的最大值为1，最小值为-2，204x12PF PF 1F2F18/22(2)设直线l的方程为2ykx代入椭圆方程得221()4304kxkx设交点1122( ,), (,)A x yB xy所以22211612()4304kkk 解得或32k 32k 1212221612,4141kxxx xkk 1F2F19/22又AOB为锐角，所以0OA OB 即12121212(2)(2)x xy yx xkxkx212122