δ势垒贯穿问题研究毕业设计

1、湖南文理学院毕业论文论文题目：6势垒贯穿问题研究 系 别：物理与电了科学系 专 业：物理学学 号：5099104姓 名：王辉霞指导老师：姚春梅提交日期：2003年5月30日6势垒贯穿问题研究 摘 要 介绍了 5势垒及5势垒贯穿问题的研究现状，在对8势垒贯 穿问题研究的基本方法进行分析、总结的基础上，处理了几个更为复朵 的§势垒贯穿问题，如：两个强度不等的双§势垒贯穿问题和一个§势 垒与其它势垒相结合的势垒贯穿问题。得到了在不同情形下波函数的解 以及在势垒贯穿问题中所要研究的反射系数和透射系数的值，并就这些 值分析了影响反射系数和透射系数的因素和入射波产生共振透射的

2、条 件。最后将§势垒贯穿问题推广到多个势垒相结合的情形，讨论了它的 求解方法和计算手段。关键词 §势垒；双召势垒；势垒贯穿；薛定谴方程the study of 5 barrier penetration in quantum mechanicsabstractthe research present situation of 8 potentialbarrier and 8 potential barrier penetration problem are introduced in this paper. several more complicated s potent

3、ial barrier penetration problem are studied on the basis of summarizing 8 potential barrier penetration problem，s research method , such as a double unequal strengths and one s potential barrier combined with one square potential barrier 5 potential barrier penetration problem. the wave functions an

4、d the coefficients of reflection and transmission in different situations are obtained. the factors of affecting these coefficients and the resonance condition are analyzed in the end, the above method is generalized to one 5 potential barrier combined with other potential barriers.key words5 potent

5、ial barrier; double 5 potential barriers; potential barrier penetration; schrodinger equation.1.引言势垒贯穿又称隧道效应，它是一种微观效应，指的是当一束微 观粒子在能量e小于势垒高度u。时，仍能贯穿势垒的现彖。在量子 力学教学屮，它不仅作为准确求解薛定谴方程和运用近似方法的十 分简洁的例子，而且是帮助初学者摆脱经典概念束缚，理解量子力 学新思想的有力工具；在应用方面，势垒贯穿效应不仅可以解释一 些经典理论所不能解禅的现象，如q衰变，金属冷发射等，而且它 已被用来制成固体器件如半导体隧道二极管、超导隧

6、道结。5势垒是一种不规则的势垒，微观粒子穿越这种势垒时会产生与 穿过规则势垒时所不同的现象。冃前，对于§势垒贯穿问题的研究 方而，人们利用定态薛定锣方程，波函数及边条件，对粒子穿过单 5势垒及等强度的双5势垒等较为简单的悄形得出了较为详细的结 论。但是对于§势垒与其它势垒相结合的情形，譬如当双§势垒中 的两个势垒的高度不相等和一个5势垒与其它势垒相结合时的悄形 都还没有作较为系统的研究。结合前人的研究工作，并在计算过程中借助数学中的行列式來处 理计算的结果，对一般的§势垒进行了详细的计算和系统的讨论， 得到了当微观粒子穿过两个强度不和等的5势垒及8势垒与

7、方势垒 相结合时的解。最后，把§势垒贯穿问题推广到多个势垒相结合的 情形，讨论了这类问题的计算方法，并定性的分析了影响结果的原 因。2.§势垒贯穿问题研究概述2. 1 5势垒及5势垒贯穿通常根据势垒的形状可以把势垒分为规则势垒如方势垒和不规则 势垒如§势垒。而§势垒是一个很有趣的势垒，它的有趣性主要是由 6函数引起的，根据6函数的特点：它的函数值只有在某个特殊的点 才有值，而在其它各点的函数值均为零。势垒贯穿是指一束前进的微观粒子，在传播方向上遇到一个具有 一定能量的势垒时，有一部分粒子被反射凹来，而剩下的粒子则会穿 过这个势垒继续向前传播。所以在研究5

8、势垒贯穿问题时关键在于抓住5函数的性质，重点 分析在§函数值变化时的那一点薛定谡方程和波函数的变化情况，然 后再根据边条件，便可以很容易的解出粒子在势垒两边的波函数，从 而得出入射系数、反射系数和透射系数之间的关系，达到要求解的h 的。2.2势垒贯穿的应用关于微观粒子势垒贯穿的现象有许多有趣的实例。在r常生活 中，有一个很常见但并不是被人们普遍认识的例子，是家庭中的铝线 接头。电工把两条导线接在一起时常用的办法，是把它们拧在一起。 这时，在两根铝线之间常常有一层铝的氧化物，这种氧化物是一种非 常有效的绝缘体。好在这层氧化物总是极薄的，因此，在导线中流动 的电子能够靠势垒贯穿效应穿过这

9、层绝缘体。在量子力学历史上，粒子穿透势垒理论的第一次应用是用它来解 释放射性原子核衰变时«粒子穿过它们在原子核近旁所碰到的势垒而 从原子核发射出的现象。对丁当时而言，这是经典理论所无法解禅的 难题。因为当时已经知道，对t u238放射性衰变时所发射的a粒子的 动能等于4. 2兆电子伏。由于这个动能是在离原子核很远的地方测得 的，这时v (r)=0,因而动能就等于总能量e。严衰变所发射的a粒子 的这种恒定的总能量，从经典力学的观点看来，这种状况是极其荒谬 的。是因为一个总能量为e的a粒子最初处在伙厂的区域内，这个区 域被势垒同其它空间区域隔开，且这个势垒的高度起码比e人一倍， 但是，人

10、们去仍然观察到a粒子有时会穿过势垒，运动到人于r的地 方去。根据经典力学理论，如果粒子要逸出势垒，它的总能量就必须 大于势垒的最大值。因此，在1928年，盖莫夫，康登和格尼把a粒子发射当作量子力 学的势垒贯穿问题來处理，他们利用势垒贯穿理论中的透射系数，及 一系列的近似处理，得到了原子核每秒通过发射a粒子发生衰变的几 率，即所谓衰变率。虽然，屮间过程他们采取了并不很精确的估计， 但他们得出的结论与实验测得的结杲非常相符。由于薛定谭的量子力学在解决a粒子发射这个难题上的成功应 用，为势垒贯穿理论提供了一个最早的，也是最令人信服的证明。随着科学技术的不断发展，最近电子贯穿势垒的事例已用于隧道 二极

11、管，这种二极管象晶体二极管一样，也是一种半导体器件，这种 器件能够极其迅速地利用可控制的势垒穿透来开关电路，它有很高的 频率响应，比任何晶体管都好得多。所以它日前用于高速电子光学电 路中，它还可以用来制造工作频率高于10nllz的振荡器。2.3 §势垒贯穿的典型问题势垒贯穿的典型问题按照势垒的情形可以大体上分为单§势垒贯 穿，强度相等的双§势垒贯穿，强度不相等的双§势垒贯穿以及6势 垒与其它势垒相结合时的势垒贯穿四大类。前面的两大类是比较常见 的，也是研究得比较多的。到h前为止，人们对单§势垒贯穿和等强 度的双s势垒贯穿问题都有了很完善的求解过

12、程和较为完美的结论。2. 3.1单§势垒贯穿的情形若有质量为m的粒子(能量e>0)从左入射,遇到一个5势垒如图1,v(x)- / 6 (x)(常数”0)(1)定态薛定谱方程为2 2-=炖（兀）» （2）2m dxx=0是方程的奇点，在该点0"不存在表现为x=0点，0不连续，对方程（2）积分，可得：（/） 0（t） = r 以 0）（3）n所以在x=0点0（兀）一般是连续的（除非0（0）二0）。（3）式称为8势中/的跃变条件。在兀工0处，方程（2）化为：以（兀屮2讥兀）=o , k = 2me/（4）它的两个线性独立的解的形式为，忍，考虑到从左入射的假定，与方

13、势垒的穿透相似，在这里的解仍可表为w做+ re-磁%<0i/（x） = <（5）s 严x>0但边条件有所不同，根据x二0点连续以及/跃变条件（3）,有消去r,得:imy2m ysih2k(6)(7)(8)可见:透射系数=反射系数二7i加厂、 2h2e(10)(11)这是粒子数守恒的具体表现。2. 3. 2等强度的双5势垒贯穿的情形设有粒子以动能e入射，受到双§势垒作用，在§势垒等高的情况卜,v (x)=v0 6 (x) + 8 (x-a)如图 2 所示令,c(1)能暈本征方程可以写成0a图2屮"屮§x)-sx-a)i/ -=0(2)ci

14、在x=0附近积分，可得跃变条件(0+)-(0-) = -(0)(3)a类似地，x=a处0跃变条件为y/a + 0) - 0(。-0) = y/(a)(4)a讥x)则应该是全空间的连续函数，除了 x二0, a两个奇点外，式(2)化为：肖"+ 疋0 = 0(5)特解为:水成：屮=严,如取入射波为严，则总波函数可以表g做+ re-洽x<0i/(x) = < aeih: + beikxq<x<a(6)d严兀>d其屮r项为反射波，d项为透射波。冈$即反射概率，|d即透射概率。为了求tbr和d,可以利用肖的连续条件和以跃变条件。由0(0)连 续以及式(3),得出关系

15、：1+ r 二 a + b仏(a-b-1 + /?) = £(a + b)(7)a由0(d)连续以及式(4),得出关系aeika + be'ika = deikaik(d a)eika + ikeika = - d 严(8)a式(7)和(8)共4个方程，恰好可以解出r、d、a、b由式(7)得出(9)b = (i0_v)a_io其中/?=一(1 + 怡)(10)(11)注意： c和。均为无量纲参数。由式(8)得到d = a = i0be2iak(12)0 + i将式(9)代入(12),即可解出a, b, d,再利用式(10)即可求出r 结果如下：少+汩(& +沪+严 (

16、& +沪+严(13)1 怡(1 +泊)才脉(0 +沪+严显然容易验证：|/?|2+|d|2二1,这是概率守恒的具体体现，完全透射条件为20, 即:2iak '一i0 _c-2iak +io c + 2iak 这时透射波振幅d可以表示成：e-iovi讨论:1、如保持vo不变,(14)(15)即两个5势垒合而为一,卩(兀)_2%5(兀)，这时透射概率为(16)1 _ 12i2 4m2v 2 1 + -1 +答孕e h4k2这正是粒子对于单§势垒的透射概率。2、如果粒子的入射能量很小，ak«,这时完全透射条件(14)的解为 c = -2 (即 0 = -ak )(

17、17)只有双§势阱()散射才可能出现这种情况。3、如果|c|很小，而冏1 ,这时完全透射条件(14)的解为5+拚+需(18)如果|c|» 211兀,而| «1,这时式(14)的解为(19)n = 12 亦2q (1一一) ac相应的能量为以上两种情况是6势垒贯穿问题屮比较常见的简单情形，在这两种 情形中的计算都是从薛泄锻方程、波函数和边条件得出的结论。但是这 两种情形并不能代表5势垒贯穿的具它情况，如在双8势金贯穿问题中 两个势垒的高度不相等和一个5势垒与其他势垒相结合的势垒贯穿时 的情形。接下来将对后面的两类5势垒贯穿问题进行具体的计算。3 不同势垒相结合的贯穿

18、问题当粒子穿过势函数为v(x) = v(x) + v2j(x-«)时，如图3所示，则相应的 定态薛定谴方程为：0a一牛 + %/(兀)肖+岭5(兀一d)0二e肖图 彳(1)令：" 52%=匕则由式(1)得到：j 2-_ "q(兀)肖-u28 (x - a)屮= -k2i/(2)clx"在§势垒区域外，方程(2)记为(3)方程(3)的解为：屮5严*百啦入射粒子在区域i和区域ii中均有入射波与反射波，在区域iii中仅有透 射波，如图3所示，因此波函数在此3个区域中可分别表示为：r 屮i=严+ a訂恋(x<0)wii=beikx + c 严(0

19、<x<a.)(4)砂hi二(1 + f)严(x>a)式(4)屮a、b、c、(1+f)分别表示各区域屮入射波与反射波的振 幅，f表示透射波的振幅与完全透射情况(振幅为1)的偏差。根据§ 势垒的性质，在5势垒处波函数连续，而波函数的一阶导数会产生跃变, 即在x=0和x=a处的边条件为：屮 (x=0)=屮 n (x=0) r屮 ii (x=a) = y/ in (x=a)(5)屮'ii (x=0)-屮 i (x=0) =ui 屮 i (x=0)i/ in (x=a) - i/ ii (x=a) =u2 屮 ni (x二a)将式(4)代入式(5)屮，并令&2

20、=%2 贝u 由式(5)得出线性方程组(6)a-b-c = -b +严c-f = 1g 2)a + iqb_i%c = 2 + 冯 io2b -i02e'2ikac + (2- 70)f =一 2(6)求式(6)的系数行列式得:1-1-1001e2,ka-1iq_200严2-io=4严(1一讷)(1一怡2)-4-1-1-10八=11严-1a2十®id,iq0逖一2io2严2-退式(6)小系数a的代数余子式为=4(沼2_1)严+4(1 + 讷)式(6)屮系数b的代数余子式为-1-101严-12 +迢0逖_2一选严2-i0.100(7)(8)(9)(10)系数c的代数余子式为:1

21、-1-10011-1i%_2i%2 + /000io2逖_22-i0c4iq系数f的代数余子式为：1-1-1-1f =01严1i%_22 + iq0逖-io2e2ika逖_2=4 + 4严竹©+%)_1所以求得各系数为:(12)(13)a二人二（沼2 _ 1）+（1 +沼j护n （1 10）（1 泊2） 护问eb =昭(逖_1)_ a _(i_iq)(i_ig)_护闷c4ai0e2ika(14)一（1-超）（1-逖）-宀“f4 心+0)-1 +严(15)a一（1迢）（1逖）戶加.l + f &02(16)e2(1 <0)(1 逖)所以透射波的概率密度d二!碉2(17)（

22、1-讷）（1-沼2）-严“反射波的概率密度 r= |廿=_r （18）|（1一20）（1逖）一严八显然d+r=l 满足粒子概率守恒。根据结果有：1、如果v严v2=v° ,则此时有0 9 2= 0 ,再代入式（12）式（16） 可得出与2、3、2中式（13）的一样的结论，即此时便是等强 度的双§势垒的结果。2、由式（12）和（16） （18）知，反射波与透射波的振幅a,（1+f）,以及反射波和透射波的概率流密度r, d不仅依赖于,而但还依赖于肋,两个6势垒的特征长度l和l2,而月还依赖于ka = 2%,即 与两个6势垒的间距及入射粒子的波长兄之比也有关系。3、若高能粒子入射&

23、#171;1,&21,则反射系数rto ,而透射系数dti，即4、高能粒子将完全透射过双5势樂，与一个8势樂的情形类似。 共振透射条件：所谓共振态是指：鸭在垒间区域的值远大于垒外区域的值,而与此相应的能量就称为共振态能级。对于等强度的双8势垒其共振态的能级为：n = 1,2,3, n取奇数时偶宇+退)(19)设严“ _（1-说）/収£-%1+词）那么2脑=/(心 +号)“ =(1-/+昭)（77 =0,12）的平面波也称态，取偶数时为奇宇称态。对于强度不相等的双§势垒，在共振透射的悄况厂 反射波的 振幅a为零，而透射波的振幅d为1,故由式（12）可以确定 共振透射的

24、条件为：严将完全透射。3.2一个8势垒与一个方势垒相结合的势垒贯穿匕设有粒子穿过势函数为v（x）= v20-() < x < 6/)(% = 26/)的势垒(x <0,a < x < 2a,x > 2a)时，如图4所示，则相应的定态薛定谒方程为:2 。- + vli/ + v23(x-2a)i/ = ei/2 dx"令=k=k；,=u 则出式（1）得到2-u3(x-2a)i/ = _k；屮dx(3)而在势垒区域之外，方程（2）记为 嶼 = _k?屮 dx方程（3）的解为：屮cdjc严 入射粒子在区域i,区域ii和区域iii中均有入射波与反射波，在区

25、域iv中仅有透射波如图4所示, 因此波函数在4个区域屮可分别表示为：(4)j心二（1 +尸）严(兀 > 2a )式（4）中a、13、c、d、e、（1+f）分别表示各区域中入射波与反射波的 振幅，f表示透射波的振幅与完全透射情况（振幅为1）的偏羞。根据 5势垒的性质，在5势垒外波函数连续而波函数的一阶导数会产生跃 变，但方势垒的波函数连续，冃波函数的一阶导数也连续。故在x=o,x=a 及x=2a处的边条件为：肖 i (兀=0) = % 11 (x = 0)(5)0n(x = a)=肖 ni(兀=a)m(x = 2tz) = /(x = 2a)i/f (x = 0) = i/ ii (x =

26、 0)0 ii (x = a) =0 ni (x = a)i/r iv(x = 2a) 一y/w(x = 2a) =u 八(x = 2a)将式（4）代入式（5）屮 令& =得线性方程组为a-b-c = -(6)严 b + 严 c 一 eik2(,d + 严 q e = 0 k严 b - k严 c - k2eikd + k2ead +严“e-f = oi&d-i 财叫 e + (2- f 2求式（6）的系数行列式得:11a=°000-1%000ie-严0-4心_加心0000-12-id=2伙z）血-1）（心+伍）严2+s +伙厂匕）严"叫+ k2一2 伙2 _

27、/)(_ 沼)伙 2 _«)/内一选)“ + 伙2(7)-1-1-1001k2k200kx 二0严°-严一严“0匕严a-人严-k严k2ea0001io-200io式（6）中系数a的代数余子式为0000-12-i0=4灯（i0一2）一 $伙2 + &）（沼_ 1）仏 +仇）陋+宀+（&_£”隸2+3 k22（為_冲（_泊）伙2 _«”*-3灼）“ + 伙2 +/）/«%） 系数b的代数余子式为:1-1-100011*2000s =00严“-严-严“000- k、e 叫-k严00001严“-10i0-20 ide*2-i0=4（1

28、_沼）伙2 + kjek3k2+k°a -4伙2 ）“ _2（2_沼）（焉一血）（9）系数c的代数余子式为：1-11-10001j t1000c =0ea0-严-严2"00k/w0-k2eik2ilk严00001严3-100i&_2id ide*2-io= 4（1 ,0）伙2m 4伙2 _心疋"）“ +2（20）伙2 +心）（10）系数d的代数余子式为：1-1-1-1001k2 kk2k、100d =0严“0-严"00k严-w如0k2ea00000严z-1000io-2-ioe'a2-io=8/(1 ,&)严心 +(2_仏)&am

29、p;心心%+"(11)系数e的代数余子式为：11-1-1200-1100&&e =0e吟,-严000k/w-k严-k2ea0000010-1000ioio-22-id=8何 + 壬也（他 +/）/2小 +（© -（12）系数f的代数余子式为:00011 ide*-11000id-2=4伸&（灯+严滋）+（2-沏）（1-如）（热-仏0h - （人+灯”3叫+心（13）（2 -10）（1 + 如）瓯 + 褊）严冲灼）“ 一（心-k2k 2由 a=, b = - , c = m , d = - , e = & , f =丄 可以 aaaaaa求得各

30、系数的值，并由1+f得出透射系数。所以 由|1 + f|2和可以分别求出透射波和反射波的概率流密度。根据这种势垒贯穿情形的求解过程可以得出:1、根据势垒的形状首先把势垒分为四个区域，再由薛定锣方程、波函 数和边条件（即各个区域的分界处）得到一个一元六次方程组然后 解出各个区域内波函数的反射系数和透射系数。2、在求解这个六元一次方程组时，可以借助数学中的行列式来简化计 算，这样往往可以使得复杂的计算变得简单。3.3多个势垒相结合的情形多个势垒相结合的情形包拾两个以上不同的5势垒贯穿和两个以 上的其他势垒和5势垒相结合的势垒贯穿。1、若是有n（n>2）个§势垒贯穿的情形，则n个&#

31、167;势垒把空间分成n+1 个区域。先根据薛定铐方程、波函数和这n个点处的边条件可以得到一 个2n+l元一次方程组，然后再利用行列式来求方程组的解。因为在这 里行列式的阶数要大于六阶，所以很难用人工直接计算的办法把行列式 求解出來。不过随着计算机软件的飞速发展，对于阶数较高的复杂行列 式可以借助matlable软件或mapal软件通过计算机来处理，从而能够很白勺出需要的结果o2、若是其他势垒和§势垒相结合的情形，这时情况就会更复朵，因为 其他势垒如方势垒在势垒内部同样耍考虑波函数的变化情况。方程组的 元数也要视具体的情况而定，在这时方程的元数不仅与方势垒的数h高 度有关而且与5势垒

32、的数h和高度有关。不过求解的方法还是和前面的 求解方法一样，只是在这里要考虑的边条件比前面的多。3、多个势垒相结合的势垒贯穿问题屮，势垒数日越多粒子流的透射系 数也就会越小。如果是在有多个方势垒相结合下的势垒贯穿那么粒子流 的透射系数就会趋于零。因为透射系数不仅与粒子的质量、势垒的高度 有关，还与势垒的宽度有关，即势垒的宽度越人透射系数就越小。所以 当方势垒的数目增加时就相当于增加了方势垒的宽度。4结论势垒贯穿的问题是一个很有趣的问题，它包含了很多种不同势垒和 结合的势垒贯穿情形。从比较简单的单8势垒贯穿和等强度的双5势垒 贯穿问题推广到强度不等的双§势垒贯穿和一个6势垒与其他势垒相 结合的贯穿问题，并对各种不同情况下的势垒贯穿问题进行了具体的计 算，得出了在这些具体情况下的透射系数和反射系数的值，而且就这些 具体的值进行了理论上的分析，通过分析得出了影响这些系数的原因。 最后对§势