2011年10月全国自考线性代数试题及答案详解(知识点总结)

1、全国2011年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，at表示矩阵的转置矩阵，a*表示矩阵a的伴随矩阵，e表示单位矩阵，表示方阵a的行列式，r(a)表示矩阵a的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设3阶方阵a的行列式为2，则=（b）a. b. c. d.1【解】2.设a为n阶方阵，将a的第1列与第2列交换得到方阵b，若,则必有（c）a. a=0 b. a+b0 c. a0 d. a-b0【解】a的第1列与第2列交换得到方阵b，又，故

2、a03.设，则方程的根的个数为（b）a. 0 b. 1 c. 2 d. 3【解】解得，唯一解.【注】行列式即可以做行变换，也可以做列变换.4.设a为n阶方阵，则下列结论中不正确的是（ c ）a. ata是对称矩阵b. aat是对称矩阵c. e+at是对称矩阵d. a+at是对称矩阵【解】对称矩阵：关于主对角线对称的矩阵，以2阶方阵为例：aatataa+at均为对称矩阵5.设，其中,则矩阵a的秩为（b）a. 0 b. 1 c. 2 d. 3【解】，非零行的个数为1，故秩是1.6.设6阶方阵a的秩为4，则a的伴随矩阵的秩为（a）a. 0 b. 2 c. 3 d. 4【解】，其中是的各元素的代数余子

3、式a是6阶的方阵，则是5阶行列式，又a的秩为4，则=0，不是满秩的方阵行列式均为零。故是零矩阵，规定零矩阵的秩为零。7.设向量=（1，-2，3）与=（2，k，6）正交，则数k为（d）a. -10 b. -4 c. 4 d. 10【解】正交矩阵： （或）正交向量：，即，解得8.设3阶方阵a的特征多项式为，则=（a）a. -18 b. -6 c. 6 d. 18【解】解得特征根.9.已知线性方程组无解，则数a=( d )a. b. 0 c. d. 1【注】定理1 元线性方程组(1)有解的充分必要条件是； 若, 则有唯一解；若, 则有无穷多组解 （2）无解的充分必要条件是【解】，无解的充分必要条件是

4、，只有.10.设二次型正定，则数a的取值应满足（c）a.a9 b. 3a9 c.-3a3 d. a-3【注】形如为二次型定义：则称该二次型为正定二次型；正定二次型判定：为正定二次型的充分必要条件是.【解】 解得，-3a3.二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设行列式，其第3行各元素的代数余子式之和为_0_.【解】则，.12.设则.【解】13设线性无关的向量组，可由向量组线性表示，则r与s的关系为.【注】向量组线性相关性的判定定理1（充要条件） 向量组线性相关的充要条件是其中存在一个向量可由其余向量线性表示。定理2（充要条件

5、）1.向量组线性相关矩阵的秩；2.向量组线性无关矩阵的秩。推论1 维向量组线性相关的充分必要条件是；维向量组线性无关的充分必要条件是推论2 当时, 必有维向量组线性相关定理3 向量组, 向量组 若线性无关, 且可由线性表示, 则判定线性相关性的重要结论：1.向量组线性无关，而向量组，线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一。2.部分组线性相关则整体组线性相关；整体组线性无关则任意部分组线性无关. 3.线性无关的向量组的每个向量都添加m个分量后仍线性无关。4.含零向量的向量组必线性相关5.如果向量组，可由向量组，线性表示，且，则，线性相关.（多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关.）6.

6、向量组线性无关，而向量组，线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一。14.设a是4×3矩阵且，则r(ab)= _2_.【解】做行变换可知，方阵满秩，可逆. 乘上可逆矩阵不影响矩阵的秩，r(ab)=【注】秩的性质：1. 2. 3. 4. 5. 为阶方阵，6.若、可逆，则7.8.15.已知向量组的秩为2，则数t=.【解】向量组秩为2，所以行阶梯形非零行个数应为2，故16.设4元线性方程组ax=b的三个解为1，2 ，3，已知1=(1,2,3,4)t, 2 +3=（3，5，7，9）t，r(a)=3.则方程组的通解是为任意常数.【解】r(a)=3，ax=0的基础解系所含解向量个数是1个。基础解系

7、 通解为为任意常数17. 设方程组有非零解，且数0，则.定理 n元齐次线性方程组 (1)有非零解（无穷多解）的充分必要条件；(2)只有零解的充分必要条件. 【解】有非零解（无穷多解）的充分必要条件；故，又0，所以.18.设矩阵有一个特征值，对应的特征向量为，则数a=_2_.【解】19.设3阶方阵a的秩为2，且,则a的全部特征值为_.【解】a的秩为2，说明特征根有一个为零，解得两个根，3阶说明有一个是重根，所以.20.设实二次型，已知a的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式的值.【解】22.解矩阵方程【解】移项，将原方程化

8、为所以23.设向量,问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.【解】向量组线性相关，秩4，故，此时向量组的秩是3.（或）是向量组的一个极大无关组.【注】定理 1.向量组线性相关矩阵的秩2.向量组线性无关矩阵的秩24.设3元线性方程组，（1）确定当取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）【解】（1）设方程组的系数矩阵为，方程组有惟一解时：当且时， 为满秩时，所以方程组有唯一解；方程组无解时： 时，.方程组有无穷多解时：时，（2）当时， 解得齐次方程的基础解系为，特解为，故通解，其中为任意常数.【注】定理1 元线性方程组（1） 有解的充分必要条件是；若, 有唯一解；若, 有无穷多组解（2）无解的充分必要条件是25.求矩阵的全部特征值及其对应的全部特征向量.【解】的特征值为，（1）当时，由，解得基础解系，故的属于的全部特征向量为.（2）当时，由，解得基础解系，故的属于的全部特征向量为.（3）当时，由，解得基础解系，故的属于的全部特征向量为.26.用配方法化二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换.【解】令 则经线性变换将二次型化为标准型四、证明题（本题6分）27.设a是m×n实矩阵，n