2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

1、过程比答案更重要，思路比题目更重要，相信自己！ 官网：西安数学优培网 since 2009格物致知 趣在数学 数海漫步 无量遐思 2011 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试第一试 一、选择题： （本题满分一、选择题： （本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1已知2=+ba，4

2、)1 ()1 (22=+abba，则ab的值为 （ ） a1. b1. c21. d21. 【答】b. 由4)1 ()1 (22=+abba可得abbbaa4)1 ()1 (22=+， 即04)(2)(3322=+abbababa， 即222222()2()40abaabbab+=，即2240abab+=，所以1=ab 2 已知abc的两条高线的长分别为 5 和 20,若第三条高线的长也是整数， 则第三条高线长的最大值为 （ ） a5. b6. c7. d8. 【答】b. 设abc的面积为 s，所求的第三条高线的长为 h，则三边长分别为hsss2,202,52显然20252ss，于是由三边关系

3、，得 +,252202,522202hsssshss 解得3204 h 所以h的最大整数值为 6,即第三条高线的长的最大值为 6. 3方程)2)(324(|1|2+=xx的解的个数为 （ ） a1 个 b2 个 c3 个 d4 个 【答】c. 当1|x时，方程为)2)(324(12+=xx，即0349)324(2=+xx，解得13x =，243 3x =，均满足1|x 过程比答案更重要，思路比题目更重要，相信自己！ 官网：西安数学优培网 since 2009格物致知 趣在数学 数海漫步 无量遐思 当1|x时，方程为)2)(324(12+=xx，即0347)324(2=+xx，解得332x =，

4、满足1| cb，所以242= cb 又oboc =，即242cbbc+=，得2422=+cbcb 3能使2562 +n是完全平方数的正整数 n 的值为 【答】【答】 11. 当8n时，) 12(2256288+=+nn，若它是完全平方数，则128+n为一奇数的平方。 设28) 12(12+=+kn（k 为自然数） ，则) 1(210+=kkn由于k和1+k一奇一偶，所以1=k，于是2210=n，故11=n 4 4如图，已知 ab 是o 的直径，弦 cd 与 ab 交于点 e，过点 a 作圆的切线与 cd 的延长线交于点 f，如果cede43=，58=ac，d 为 ef 的中点，则 ab 【答】

5、【答】 24. 设yaexce=,4，则xefxdedf6,3= 连 ad，bc因为 ab 为o 的直径，af 为o 的切线，所以2011 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 3 页（共 8 页） dfboace过程比答案更重要，思路比题目更重要，相信自己！ 官网：西安数学优培网 since 2009格物致知 趣在数学 数海漫步 无量遐思 dafacdeaf=,90 又因为 d 为 rtaef 的斜边 ef 的中点， dfdeda=， afddaf=， afdacd=， 58= acaf 在 rtaef 中，由勾股定理得 222afaeef+=，即 3203622+= yx 设z

6、be =，由相交弦定理得 beaedece=，即21234xxxyz=， yzy33202=+ 又 dead =， aeddae= 又becaedbcedae=,， becbce=，从而zbebc= 在 rtacb 中，由勾股定理得 222bcacab+=，即22320)(zzy+=+， 32022=+yzy 联立，解得16, 8=zy 所以24=+=beaeab 第二试第二试 （a） 一、 （本题满分一、 （本题满分 20 分）分）已知三个不同的实数cba,满足3=+cba，方程012=+ axx和02=+cbxx有一个相同的实根，方程2x +0 xa+=和02=+bcxx也有一个相同的实根

7、求cba,的值 解解 依次将题设中所给的四个方程编号为， 设1x是方程和方程的一个相同的实根，则=+=+, 0, 01121121cbxxaxx 两式相减，可解得bacx=11 5 分 设2x是方程和方程的一个相同的实根，则=+=+, 0, 0222222bcxxaxx两式相减，可解得12=cbax。 所以 2011 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 4 页（共 8 页） 过程比答案更重要，思路比题目更重要，相信自己！ 官网：西安数学优培网 since 2009格物致知 趣在数学 数海漫步 无量遐思 121=xx 10 分 又方程的两根之积等于 1，于是2x也是方程的根，则01

8、222=+ axx。 又 0222=+axx， 两式相减， 得 1) 1(2=axa 15 分 若1=a，则方程无实根，所以1a，故12=x 于是 1, 2=+=cba 又3=+cba， 解得 3,2bc= = 20 分 二 （本题满分二 （本题满分 25 分）分）如图，在四边形 abcd 中，已知60bad=，90abc=，120bcd=，对角线bdac,交于点s，且sbds2=，p为ac的中点求证： （1）=30pbd； （2）dcad = 证明证明 （1）由已知得 90adc=，从而dcba,四点共圆，ac为直径，p为该圆的圆心 5 分 作bdpm 于点m， 知m为bd的中点， 所以bp

9、m12bpd60a=，从而=30pbm 10 分 （2）作bpsn 于点n，则12snsb= 又bdmbdmsbds21,2=， snsbsbsbdmdsms=21232， 15分 rtpmsrtpns， =30npsmps， 又pbpa =，所以1152pabnps=，故dcadac=45，所以dcad = 25 分 三（本题满分三（本题满分 25 分）分） 已知pnm,为正整数，nm +=pp，解得31p。 又p为正整数，故1=p或2=p 15 分 当1=p时，方程为0142=+ xx，没有整数解 当2=p时，方程为0452=+ xx，两根为4, 1=nm 综合知：2, 4, 1=pnm

10、20 分 设图象经过cba,三点的二次函数的解析式为)4)(1(+=xxky，将点)2 , 0(c的坐标代入得 )4(12= k，解得21=k 所以，图象经过cba,三点的二次函数的解析式为22321)4)(1(212+=+=xxxxy 2011 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 5 页（共 8 页） 过程比答案更重要，思路比题目更重要，相信自己！ 官网：西安数学优培网 since 2009格物致知 趣在数学 数海漫步 无量遐思 25 分 第二试第二试 （b） 一 （本题满分一 （本题满分 20 分）题目和解答与（分）题目和解答与（a）卷第一题相同）卷第一题相同. 二 （本题满

11、分二 （本题满分 25 分）分）如图，在四边形 abcd 中，已知60bad=，90abc=，120bcd=， 对角线bdac,交于点s， 且ds =2sb 求证：dcad = 证明证明 由已知得 90adc=， 从而dcba,四点共圆，ac为直径 设p为 ac 的中点，则p为四边形 abcd 的外接圆的圆心 5 分 作bdpm 于点m，则 m 为 bd 的中点,所以bpm12bpd60a=，从而=30pbm 10 分 作bpsn 于点n，则12snsb= 又bdmbdmsbds21,2=， snsbsbsbdmdsms=21232， 15 分 rtpmsrtpns，=30npsmps， 又p

12、bpa =，所以1152pabnps=，所以dcadac=45，所以dcad = 25 分 三（本题满分三（本题满分 25 分）分） 已知pnm,为正整数，nm +=pp，解得31p。 又p为正整数，故1=p或2=p 15 分 当1=p时，方程为0142=+ xx，没有整数解 当2=p时，方程为0452=+ xx，两根为4, 1=nm 综合知：2, 4, 1=pnm 20分 设图象经过cba,三点的二次函数的解析式为)4)(1(+=xxky，将点)2 , 0(c的坐标代入得 )4(12= k，解得21=k 所以，图象经过cba,三点的二次函数的解析式为22321)4)(1(212+=+=xxx

13、xy 25 分 第二试第二试 （c） 一 （本题满分一 （本题满分 20 分）题目和解答与（分）题目和解答与（a）卷第一题相同）卷第一题相同. 二 （本题满分（本题满分 25 分）分）如图，已知p为锐角abc内一点，过p分别作abacbc,的垂线，垂足分别为fed,，bm为abc的平分线，mp的延长线交ab于点n如果pfpepd+=，求证：cn是acb的平分线 过程比答案更重要，思路比题目更重要，相信自己！ 官网：西安数学优培网 since 2009格物致知 趣在数学 数海漫步 无量遐思 证明证明 如图 1， 作bcmm 1于点1m，abmm2于点2m，bcnn 1于点1n，acnn 2于点2n 设nmnp=， 11/mmpdnn， 111mndn= 5 分 若11mmnn ，同理可证11)1 (nnmmpd+= 15 分 2/ nnpe， =12nmpmnnpe，2)1 (nnpe= 2/mmpf，=nmnpmmpf2，2mmpf= 20 分 又pfpepd+=， 2211)1 ()1 (nnmmnnmm+=+ n2n1m1m2defnmcbaph1hn1m1dnmp2011 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 7 页（共 8 页） 过程比答案更重要，思路比题目更