(完整)高一上学期期末知识点总结,推荐文档

1、1 高一数学主要知识点清单 必修一第一章集合 1 .集合与元素 (1) 集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. (2) 元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 _或_表示. 集合的表示法：列举法、描述法、图示法、自然语言. (4) 常用数集：自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R. (5) 集合的分类：按集合中元素个数划分 ，集合可以分为有限集、无限集、空集. 2 集合间的基本关系 (1) 子集、真子集及其性质 子集：对任意的 x A,都有 x B,则A B (或B A). 真子集：若 A? B，且在 B中至少有一个元素 x B,但 x?A,

2、性质： ?_A; A? A; A? B, B? C? A? C. 若 A含有 n个元素，则 A的子集有 2n个，A的非空子集有_ 2n 1个. 集合相等 若 A? B且 B? A,则 A=B . 3集合的运算及其性质 (1) 集合的并、交、补运算 并集：AU B= x|x A 或 x B; 交集：AH B= x|x A 且 x B; 补集：CuA = x|x U且 x?A. U为全集，CUA表示 A相对于全集 U的补集. (2) 集合的运算性质 AU B= A? B? A, AH B= A? A B ; AH A= A, A H =_； AU A= A, A UO= A; AH CUA =，A

3、U CUA= U , CU(CUA) = A. (3)研究集合的两个工具：韦恩图和实数轴 4. 函数的基本概念 (1) 函数的定义：设 A、B是非空 数集，如果按照某种确定的对应关系 f,使对与集合 A中的 任意一个 数 x,在集合 B中都有 唯一 确定的数 f(x)和它对应，那么称 f: ATB为从集合 A到集合 B的一个函数， 记作：y = f(x), x A. (2) 函数的定义域、值域 在函数 y= f(x), x A中，x叫自变量，x的取值范围 A叫做 定义域 ，与 x的值对应的 y值叫函数值， 函数值的集合f(x)|x A叫值域.值域是集合 B的子集. (3) 函数的三要素： 定义

4、域 、值域和对应关系. 相等函数：如果两个函数的定义域和 对应关系 完全一致，则这两个函数相等：这是判断两函数 相等的依据. 5. 函数的三种表示方法 (1) 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象 (2) 关于函数的解析式.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时， 一是要求岀它们之间的对应2 法则，二是要求岀函数的定义域 .(3)求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等， 如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法； 已知复合函数 fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围； 当已知表达式较简单时，也可用凑配法； 若已知抽象函数表达式

5、，则常用解方程组消参的方法求出 f(x) (4) 两个特殊的函数形式 分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量 代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一 个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况. 注意： 如： (1) 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； (2) 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 复合函数：如果函数 y=f(u) (u M),u=g(x) (x A),则函数 y=fg(x)=F(x)(定义域为x Ag(x) M) 称为 f、g

6、 的复合函数。 (5) 复合函数的单调性 两个函数复合而成的复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性之间的关系 是：同增异减。 注意： 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ，不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集 . 6. 映射的概念 一般地，设 A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f,使对于 集合 A中的任意一个元 素 x,在集合 B中都有 唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应 f： A - B为从集合 A到集合 B的一个 映射.记作“ f: A-B”. 7函数的单调性 (1)单调函数的概念 设函数 y= f(x)的定义域为 I，

7、如果对于定义域 I内的某个区间 D内的 任意 两个自变量 x1，x2,当 xi x2时，都有_ f(xj f (x2)或f (x1) f (x2)，那么就说 f(x)在区间 D上是增函数(减函数). (2)单调区间的概念 如果函数 f(x)在某个区间 D上是增函数或减函数，就说 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 区间 D 叫 f(x)的单调区间. 8 函数的最值 设函数 y= f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M满足：对于任意的 x I，都有 f(x)M):存在 x0 I，使得 f(x0)= M.那么，称 M是函数 y= f(x)的最大值(或最小值). 9. 偶函数、奇函数的概念

8、 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意 X，都有 f(-x) = f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数偶函数的 图象关于 y 轴对称. 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 X，都有 f( x) = f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数.奇 函数的图象关于原点对称. 10. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称，这是函数具有奇 (偶)性的必要非充分条件. (2) 考查表达式 f( x)是否等于 f(x)或f(x): 若 f( x)= f(x)，则 f(x)为奇函数； 若 f ( x)= f(x)

9、，则 f(x)为偶函数； 3 若 f( x)= f(x)且 f( x) = f(x)，_则 f(x)既是奇函数又是偶函数；4 若 f(- X)工f(x)且 f(-X)半f(x),贝 U f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. 11. 周期性 一般地，对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x取定义域内的每一个值都有 f (x T) f (x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的 最小正周期. 必修一第二章 基本初等函数回顾、总结、升华

10、 1.根式 (1)根式的概念 如果一个数的 n次方等于 a(n 1且，n N*)，那么这个数叫做 a的 n次方根也就是，若 xn a，则 x 叫做 a的 n次方根，其中 n 1且 n N*.式子n.a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a叫做被开方数. 根式的性质 当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数，这时，a的 n次方根用符号n a 表示. 负的 n次方根用符号-n_a表示.正负两个 n次方根可以合写为 当 n为偶数时，nan= |a|= 久* 0 a,a 0 (2)有理数指数幂的性质 3指数函数的图象与性质 指数函数 a 1 0 a 0，b0，r、s Q) 5

11、 当 x0 时，y1; xv 0 时，0vyv 1 当 x 0 时，Ov yv 1； xv 0 时，y 1. 在(3,+ )上是增函数 在(3,+ )上是减函数 4.对数的概念 对数的定义 如果 ax= N(a0且 az 1),那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作X log a N , 其 中 a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 a(a0且 a工 1) logaN 常用对数 底数为 10 lg N 自然对数 底数为 e ln N 5.对数的性质与运算法则 对数的性质 a9a N N :logaaN= N (a0且 a工 1). (2)

12、对数的重要公式 9 b 换底公式：log a b - (a, c 均大于零且不等于 1); 9c a 1 logab = j gba,推广 logab logbc gcd= logad. (3) 对数的运算法则 如果 a0且 a工 1, M 0, N0，那么 |oga(MN)= logaM log a N ； iogaMM= logaM log a N ； logaMn= n log aM ； iogamMn= log aM . m 6对数函数的图象与性质 a 1 0v a v 1 图象 定义域：(0 ,+ ) 值域：R 性质 当 x1 时，y0 当 x 1 时，yv 0 当 0 v xv 1

13、, yv 0 当 0v xv 1 时，y 0 是(0,+3 )上的增函数 是(0,+3 )上的减函数 过点(1,0). 6 y= ax与对数函数 y= logax互为反函数，它们的图象关于直线 y=x对称. 8 幂函数的定义：一般地，形如 y x ( a R)的函数称为幂函数，其中底数 x是自变量，a为常数.7.反函数 指数函数 7 1 9.幂函数的图象：在同一平面直角坐标系下，幂函数 y= x, y= x2, y X , y= X2 , y X 的图象 分别如右图. 幂函数的九种图象 函数 y= x y = x2 y= x3 1 y= x2 1 y = x 1 定义域 R R R 0,) x

14、|x R 且 x工 0 值域 R 0，+ ) R 0，+ ) y|y R 且 y工 0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x 0，+ )，增 x ( a，0，减 增 增 x (0，+a )，减 x ( a， 0)，减 定点 (1,1) 第三章 函数的应用回顾、总结、升华 函数图象的作法 1.描点法作图 描点步骤：确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质：即单调性、 奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势)；描点连线，画岀函数的图象. 2 函数图象的变换法 (1)平移变换 水平平移：y= f(x a)(a 0)的图象，可由 y= f(x)的图象向 左(+ )或向 _

15、 (-)平移a单位而得到. _ 竖直平移：y= f(x) b(b 0)的图象，可由 y= f(x)的图象向 上(+ )或向下 _ (-)平移b单位而得到. (2)对称变换 y = f(-x)与 y = f(x)的图象关于 y轴对称. y= f(x)与 y= f(x)的图象关于 x轴对称. y = f( x)与 y= f(x)的图象关于 原点 对称. (3) 周期变换 如果函数 y= f(x)对定义域内的一切 x值，都满足 8 (4) 翻折变换 作为 y= f(x)的图象，将图象位于 x轴下方的部分以 x轴为对称轴翻折到上方， 其余部分不变得到 y=|f(x)| 的图象； 作为 y= f(x)在

16、 y轴上及 y轴右边的图象部分，并作 y 轴右边的图象关于 y轴对称的图象，即得 y = f(|x|) 的图象. (5) 伸缩变换 y = af(x)(a 0)的图象，可将 y= f(x)图象上每点的纵坐标伸(a 1时)缩(a 0)的图象，可将 y= f(x)的图象上每点的横坐标伸(a 1时)到原来的丄 a 3.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y= f(x)，我们把使f(x) 0的实数 x叫做函数 y= f(x)的零点. 几个等价关系 方程 f(x) = 0有实数根？函数 y= f(x)的图象与 x轴有交点？函数 y= f(x)有零点. 函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数

17、y = f(x)在区间a，b上的图象是 连续 不断的一条曲线，并且有 f(a) f (b) 0，那么， 函数 y= f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c (a，b)，使得 f(c) = 0，这个 c也就是方程 f(x) = 0的根. 5.二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义：对于在区间a,b上连续不断且f(a) f (b) 0的函数 y= f(x)，通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间 一分为二，使区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分 法. (2)给定精确度，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间 a，b，验证 f(a) (b) 0

18、，给 定精确度 :求区间(a，b)的中点 c；计算 f(c); (i )若 f(c)= 0，则 c 就是函数的零点； (ii )若 f(a) (c) 0，则令 b = c(此时零点 x0 (a, c)； (iii )若 f(c) (b) 0，则令 a = c(此时零点 x0 (c, b). 判断是否达到精确度 e .即：若|a b|1) y= logax(a1) y= xn (n 0) 在(0,十 )上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 爆炸性增长 缓慢增长 相对平稳 图象的变化 随 x增大逐渐表现为与 y轴 平行 随 x增大逐渐表现为与 x轴 随 n值变化而不同 平行 7. 三

19、种增长型函数之间增长速度的比较 在(0，+ )上，总会存在一个 x。，使 xx 时有 logax xn 0, b工 1）; （5） 对数函数模型 f（x）= mlogax + n（m、n、a 为常数，m工 0, a0, a工 1）； （6）幂函数模型 f（x） = axn+ b（a、b、n 为常数，az0, n 1）. 必修四第一章三角函数 正角：按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角. k 90o, k 2r l , S -lr 2 2、角的顶点与原点重合，角的始边与 如：第一

20、象限角的集合为 k 360o k 360o 90o, k 终边在x轴上的角的集合为 k 180o,k 终边在坐标轴上的角的集合为 3、 与角 终边相同的角的集合为 k 360o ,k 4、 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度. 5、 半径为r的圆的圆心角 所对弧的长为 l，则角 的弧度数的绝对值是 6、 弧度制与角度制的换算公式： 2 360o, 1o ,1 180 o 180 57.3. 若扇形的圆心角为 为弧度制，半径为r ，弧长为 周长为C，面积为S,则l r 9、 设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 x ,cos 一 , tan r r 三角函数在各象限的符号：第一象限

21、全为正，第二象限正弦为正， r x2 y2 0，贝U sin 第三象限正切为正，第四象限余弦为正. 10、 三角函数线：sin 11. 同角三角函数间的,cos （结合方程思想） ,tan tan sin .2 sin2 cos + cos2 =1 (sin ,cos ,tan 的坐标是x, y ,它与原点的距离是 （切化弦，通常弦化切应用于齐次式，即分子分母同时除以 （平方关系，凡涉及到同角三角函数求值问题要想到这个隐含条知一求二，在实际的计算中往往构造简单的直角三角形来计算, cos !) 注意符号看象限） 11 （2）平方关系结合2sin cos变形有:12 2 2 1 2sin cos

22、 sin cos 1 2sin cos sin cos (sin cos ,sin cos ,sin i cos 即和、差、积知一求二） 12、 函数的诱导公式: 1 sin 2k sin ，cos 2k cos ，tan 2k tan k 2 sin sin ，cos cos ，tan tan 3 sin sin ， cos cos ，tan tan 4 sin sin ，cos cos ，tan tan 5 sin cos ， c sin 6 sin cos 2 2 2 cos sin 2 口诀：函数名称不变，符号看象限口诀：正弦与余弦互换，符号看象限. 13 15、 函数y sin x

23、k 0, 0的性质： 振幅： :周期： 2 1 :频率：f 2 相位： x :初相： 函数y sin x k，当x x1时，取得最小值为 ymin ；当 1 x x2时，取得最大值为ymax， 则- 2 ymax ymin .丄 ，k y max y min ， x2 2 2x-i x X2 - 研究函数 y sin x 的性质方法：把 x 当成整体 借助正余弦函数，或运用 五点法 16. y Asin( x )k,( 0, A 0)的图象： T 2 五点法作图: x 0 2 3 2 2 x X。 T x0 4 T X。- 3T x0 4 X T sin( x ) 0 1 0 -1 0 y k

24、 A+ k k A+k k 快速作图如: 在2k ,2k 2 - 在2k ,2k k 单调性 k 上是增函数； 在 上是增函数； 在k , k 2 2k -,2k 3 在 2k ,2k k k 上是增函数 2 2 上是减函数. k 上是减函数. 对称中心 k ,0 k 对称中心 对称性 对称轴x k 2 k k ,0 2 k 对称中心 丄,0 2 k 对称轴x k k 无对称轴 x的图象上所有点向左 （右） 平移 个单位长度 ,得到函数y 的图象; sin 14、将函数y sin 14 17.解三角方程 18.解三角不等式 19. y Asin( 2 x ) k,( 0，A 0)的性质：T 性

25、质：1 x R, y A K, A K T 2单调性：令 2k 0且a b( 0). r r r r r r 14、 a, b夹角为钝角 a b 0且a b( y2 X2X2rara y2 y1y1 卷 y y % % , 1 X X ra , 1 X X ra ra ra 若 设 rara rara y2y2 卷 r br b rara 2 y 2 y y1 y1 X2 X2 X1X1 设a cos b都是非零向量，a a b %x2 ym xi,yi b X22 是a与b的夹角，贝u A,B,C所对边长分别为a, b,c，则 O为 ABC的外心 O为 ABC的重心 O为 ABC的垂心 UUOA UUUU2OB uu