2022年2022年初一数学奥赛基础知识讲义

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载1七年级奥赛数学基础学问讲义主讲：王三祝第一讲 和肯定值有关的问题一.学问结构框图：数二.肯定值的意义：1几何意义：一般地,数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a的肯定值,记作 |a|；2代数意义：正数的肯定值为它的本身；负数的肯定值为它的相反数；零的肯定值为零；也可以写成：| | 0 a a a a a a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 为正数当 为0当 为负数说明：（） |a| 即0 |a|为一个非负数；（） |a|概念中包蕴分类争论思想；三.典型例题例1（数形结合思想）已知a.b.c 在数轴上位置如图：就代数式| a | + |

2、a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（）a -3ab 2c ac2a2bd b解： | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-a+b+c-a+b-c=-3a分析：解肯定值的问题时,往往需要脱去肯定值符号,化成一般的有理数运算；脱去肯定值的符号时,必需先确定肯定值符号内各个数的正负性,再依据肯定值的代数意义脱去肯定值符号；这道例题运用了数形结合的数学思想,由a.b.c在数轴上的对应位置判定肯定值符号内数的符号,从而去掉肯定值符号,完成化简；例2已知：,且,那么的值（）a为正数b为负数c为零d不能确定符号解：由题意, x.y.z 在数轴上

3、的位置如下列图：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体为数轴；这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观.轻松的找到了x.y.z三个数的大小关系,为我们顺当化简铺平了道路；虽然例题中没有给出数轴,但我们应当有数形结合解决问题的意识；例 3（分类争论的思想）已知甲数的肯定值为乙数肯定值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数；如数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中查找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负；那么到底谁为正数谁为负数,我们应当

4、用分类争论的数学思想解决这一问题；解：设甲数为 x,乙数为 y由题意得：,（ 1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：如x 在原点左侧, y 在原点右侧,即x0,就4y=8,所以 y=2 、x= -6如x 在原点右侧, y 在原点左侧,即x>0,y0, y>0,就 2y=8,所以 y=4、x=12例4（整体的思想）方程的解的个数为（）a 1 个b2 个c3 个d无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决；将看成一个整体,问题即转化为求方程x-2021的0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y x z y z x y x z y z x22021 202118 616 414

5、 21解,利用肯定值的代数意义我们不难得到,负数和零的肯定值等于它的相反数,所精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以零和任意负数都为方程的解,即此题的答案为d；例5（非负性）已知 |ab 2|与|a1|互为相互数,试求下式的值1 1 1 11 1 2 2 2007 2007 ab a b a b a b分析：利用肯定值的非负性,我们可以得到：|ab2|=|a1|=0,解得： a=1、b=2于为1 1 1 11 1 2 2 2007 2007 ab a b a b a b20212021202111202112021精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载141313121212

6、021 202114 313 2121精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在上述分数连加求和的过程中,我们采纳了裂项的方法,奇妙得出了最终的结果同学们可以再深化摸索,假如题目变成求值,你有方法求解吗？有爱好的同学可以在课下连续探究；例6（距离问题）观看以下每对数在数轴上的对应点间的距离4 与,3 与5,与,与3.并回答以下各题：（ 1）你能发觉所得距离与这两个数的差的肯定值有什么关系吗？答： .（ 2）如数轴上的点 a 表示的数为 x,点b 表示的数为 1,就a 与b 两点间的距离可以表示为分析：点 b 表示的数为 1,所以我们可以在数轴上找到点b 所在的位置；那么点a 呢？由于 x

7、可以表示任意有理数,所以点a 可以位于数轴上的任意位置；那么,如何求出a与b 两点间的距离呢？结合数轴,我们发觉应分以下三种情形进行争论；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当x0,距离为 x+1综上,我们得到 a 与b 两点间的距离可以表示为（ 3）结合数轴求得的最小值为,取得最小值时 x的取值范畴为 .分析：即x 与2 的差的肯定值,它可以表示数轴上x 与2 之间的距离；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载之间的距离；即x 与-3 的差的肯定值,它也可以表示数轴上x 与-3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图, x 在数轴上的位置有三种可能：图1图2图3图

8、2 符合题意（ 4）满意的x 的取值范畴为分析：同理表示数轴上 x 与-1 之间的距离,表示数轴上 x 与-4之间的距离；此题即求,当 x 为什么数时 x 与-1 之间的距离加上 x 与-4 之间的距离会大于 3；借助数轴,我们可以得到正确答案： x-1；说明：借助数轴可以使有关肯定值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为肯定值问题；这种相互转化在解决某些问题时可以带来便利；事实上,表示的几何意义就为在数轴上表示数a 与数b的点之间的距离；这为一个很有用的结论,我们正为利用这一结论并结合数轴的学问解决了（3）.（ 4）这两道难题；四.小结1懂得肯定值的代数意义

9、和几何意义以及肯定值的非负性2体会数形结合.分类争论等重要的数学思想在解题中的应用精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载320212007 1200720072007 222 2 32 3a a a a a a a 20212007 120072007 22007 2 1 2007 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2007 222 222 22 3a a a a a a a a a a a a a其次讲：代数式的化简求值问题一.学问链接1“代数式 ”为用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子；它包括整式.分式.二次根式等内容,为中学阶段同学们应当重点把握的内容之一

10、；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2用详细的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值；注：一般来说,代数式的值随着字母的取值的变化而变化3求代数式的值可以让我们从中体会简洁的数学建模的好处,为以后学习方程.函数等学问打下基础；二.典型例题例1如多项式2 2 2的值与 x无关,求2 2的值.分析：多项式的值与 x 无关,即含 x 的项系数均为零由于2 2 2 2yxmxyxxxmx所以m=4将m=4 代人,4 4 5 22 2 2mmmmmm利用“整体思想 ”求代数式的值例2 x=-2 时,代数式 63 5cxbxax的值为 8,求当 x=2时,代数式 6精品学习资料精

11、选学习资料 - - - 欢迎下载3 5cxbxax的值；分析：由于 8 63 5cxbxax当x=-2 时, 8 6 2 2 23 5cba得到862223 5cba, 所以 14 6 8 2 2 23 5cba当x=2 时, 63 5cxbxax=2061462223 5cba例3当代数式 5 32xx的值为 7时、求代数式 2932xx的值.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：观看两个代数式的系数由 7 5 32xx 得232xx,利用方程同解原理,得6932xx整体代人, 4 2 9 32xx代数式的求值问题为中考中的热点问题,它的运算技巧.解决问题的方法需要我们敏捷把握

12、,整体代人的方法就为其中之一；例4已知 0 12aa,求200722 3aa的值.分析：解法一（整体代人）：由0 12aa得02 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aaa所以：解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,仍具有降次的功能； 由 0 12aa,得aa12,所以：解法三（降次.消元）：12aa（消元.减项） 2 0 0 82 0 0 7 12 0 0 72 0 0 7 2 0 0 72 0 0 7 222 22 2 32 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a aa a a a a a a a a例5（实际应用） a 和b两家公司都预备向社会聘

13、请人才,两家公司聘请条件基本相同,只有工资待遇有如下差异： a 公司,年薪一万元,每年加工龄工资200 元； b公司,半年薪五千元,每半年加工龄工资 50 元；从收入的角度考虑,挑选哪家公司有利？ 分析：分别列出第一年.其次年.第n 年的实际收入（元）第一年： a 公司10000；b 公司5000+5050=100504其次年： a 公司10200；b 公司5100+5150=10250第n 年： a 公司10000+200n-1）；b 公司： 5000+100n-1+5000+100n-1+50=10050+200n-1由上可以看出 b 公司的年收入永久比 a 公司多 50 元,如不细心考察

14、很可能选错；例6三个数 a.b.c 的积为负数,和为正数,且bc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bc ac ac ab ab c c b b a a,就12 3cxbxax的值为 ；解：由于 abc0,所以 a.b.c 中只有一个为负数；不妨设 a0, c>0就ab0所以x=-1+1+1-1-1+1=0 将x=0 代入要求的代数式,得到结果为1；同理,当 b0 时,即 x>52,5x-2=3,5x=5,x=1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于x=1 符合大前提 x>52,所以此时方程的解为 x=1当5x-2=0 时,即 x= 52,得到冲突等式

15、0=3,所以此时方程无解当5x-20 时,即 x>1,x-1=-2x+1 ,3x=2,x=32由于x= 32不符合大前提 x>1,所以此时方程无解当x-1=0 时,即 x=1,0=-2+1, 0 =-1,此时方程无解当x-1<0 时,即 x<1, 1-x=-2x+1, x=0由于x=0 符合大前提 x<1,所以此时方程的解为 x=0综上,方程的解为 x=0三.小结1.体会方程思想在实际中的应用2.体会转化的方法,提升数学才能7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第四讲：图形的初步熟悉 一.相关学问链接： 1熟悉立体图形和平面图形我们常见的立体图形有长方体

16、.正方体.球.圆柱.圆锥,此外,棱柱,棱锥也为常见的几何体；我们常见的平面图形有正方形.长方形.三角形.圆2 立体图形和平面图形关系立体图形问题经常转化为平面图形来争论,经常会采纳下面的作法（ 1）画出立体图形的三视图立体图形的的三视图为指正视图（从正面看）.左视图（从左面看）.俯视图（从上面看）得到的三个平面图形；（ 2）立体图形的平面绽开图.常见立体图形的平面绽开图圆柱.圆锥.三棱柱.三棱锥.正方体（共十一种）二.典型问题：（一）正方体的侧面绽开图（共十一种）分类记忆：第一类,中间四连方,两侧各一个,共六种；其次类,中间三连方,两侧各有一.二个,共三种；第三类,中间二连方,两侧各有二个,只

17、有一种； 第四类,两排各三个,只有一种；基本要求：1.在右面的图形中为正方体的绽开图的有（）（ a）3 种（ b）4 种（c）5 种（d）6 种精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2下图中 、为正方体的绽开图为 abcd3如图四个图形都为由 6个大小相同的正方形组成,其中为正方体绽开图的为（）abcd 较高要求：4下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体,每三个带数字的面交于正方体的一个顶点,就相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小为a7b8c9d10 5一个正方体的绽开图如右图所示,每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数之和相等,那么a+b-2c=（） a 40b.38c

18、.36d. 34分析：由题意8+a=b+4=c+25所以b=4+ac=a-17所以a+b-2c=a+4+a-2a-17=4+34=38123645c8 425 b a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载86将如下列图的正方体沿某些棱绽开后,能得到的图形为（） abcd 7下图为某一立方体的侧面绽开图,就该立方体为（）仍原正方体,正确识别正方体的相对面；（二）常见立体图形的平面绽开图8以下图形为四棱锥的绽开图的为（）（ a）（ b）（c）（d） 9下面为四个立体图形的绽开图,就相应的立体图形依次为 a正方体.圆柱.三棱柱.圆锥b.正方体.圆锥.三棱柱.圆柱 c正方体.圆柱.三棱锥.圆锥

19、d.正方体.圆柱.四棱柱.圆锥 10以下几何体中为棱锥的为（）a.b.c.d.11如图为一个长方体的表面绽开图,每个面上都标注了字母,请依据要求回答疑题：（ 1）假如 a 面在长方体的底部,那么哪一个面会在上面？（ 2）如f 面在前面, b 面在左面,就哪一个面会在上面？（字母朝外）（3）如c面在右面, d 面在后面,就哪一个面会在上面？（字母朝外）答案：（ 1） f；（ 2）c,a（三）立体图形的三视图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12如图,从正面看可看到的为c13对右面物体的视图描画错误选项（c）14如图的几何体,左视图为（b）15如图,为由几个相同的小正方体搭成的几何体的

20、三种视图,就搭成这个几何体的小正方体的个数为a 3b4c 5d6（四）新奇题型16.正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字,将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体,那么长方体的下底面数字和为.分析：正面 黄,右面 红,上面 蓝,后面 紫,下面 白,左面 绿所以,从右到左,底面依次为：白.绿.黄.紫数字和为： 4+6+2+5=1717观看以下由棱长为1 的小正方体摆成的图形,查找规律,如图所示共有 1 个小立方体,其中 1 个看得见, 0 个看不见；如图所示：共有 8 个小立方体,其中7 个看得见, 1 个看不见；如图所示：共有27个小立方体,其中19个看得见, 8 个看不见 .（ 1）

21、写出第个图中看不见的小立方体有125个；（ 2）猜想并写出第 n个图形中看不见的小立方体的个数为 n-1 3 个.分析：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11=10=0328=231=13327=338=23464=4327=33nn3n-13d c b a俯视图左视图主视图ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cd c 2 a d b9第五讲：线段和角一.学问结构图 直线线段直线性质射线线段的比较和画法线段的中点线段性质两点间的距离角角的分类角的比较.度量和画法相关角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载角平分线平角直角锐角周角钝角余角和补角定义性质同角（或等

22、角）的补角相等同角（或等角）的余角相等二.典型问题：（一）数线段 数角 数三角形问题1.直线上有 n 个点,可以得到多少条线段？ 分析：点线段2133 =1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5.n1+2+3+.+n-1=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2问题2如图,在 aob 内部从o点引出两条射线 oc.od,就图中小于平角的角共有（）个a 3b 4c 5d 6拓展： 1.在 aob 内部从 o 点引出 n 条射线图中小于平角的角共有多少个？射线角13 =1+226=1+2+3310=1+2+3+4.n1+2+3+.+n+1=2类比：从 o 点引

23、出 n 条射线图中小于平角的角共有多少个？射线角2133 =1+246=1+2+3510=1+2+3+4.n1+2+3+.+n-1=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2类比联想：如图,可以得到多少三角形？（二）与线段中点有关的问题线段的中点定义：文字语言：如一个点把线段分成相等的两部分,那么这个点叫做线段的中点图形语言：m b a几何语言：m 为线段 ab 的中点12,典型例题：1由以下条件肯定能得到“ p为线段 ab 的中点 ”的为（）（ a）ap= 21ab（ b）ab 2pb（c）appb（d）appb= 21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab2如点 b 在直

24、线 ac 上,以下表达式：ac ab21； ab=bc ； ac=2ab ； ab+bc=ac 其中能表示 b 为线段 ac 的中点的有（a） a 1 个b 2 个c3个d4 个3.假如点 c 在线段 ab 上、以下表达式 ac=12ab; ab=2bc; ac=bc; ac+bc=ab中、 能表示 c 为 10r q p mnab 中点的有 a.1 个b.2 个c.3 个d.4 个4已知线段 mn ,p 为mn 的中点, q 为pn 的中点, r 为mq 的中点,那么 mr= mn分析：据题意画出图形设qn=x,就pq=x,mp=2x,mq=3x , 所以, mr=23x,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载83423x xmn mr5如下列图, b.c 为线段 ad 上任意两点, m 为ab 的中点, n 为cd中点,如 mn=a,bc=b,就线段 ad 的长为（）a2（a-b）b2a-bca+bda-b分析：不妨设 cn=nd=x ,am=mb=y由于mn=mb+