(完整word)平面向量的概念线性运算基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点与同步练习,推荐文档

1、1 / 7平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积一、向量的概念1. 向量 ：既有大小有方向的量叫做向量 . 只有大小没有方向的量称为数量 .2. 几何表示 : 向量可以用有向线段表示 .uuur uuur uuur长度：向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记做|AB|.向量也可用字母a,b,cL(印刷用黑体a，手写用a)或用表示向量的有向线段的起点uuur uuru和终点表示 . 例如，AB，CD.零向量 ：长度为 0 的向量.记做0.单位向量 : 长度为 1 的向量 .平行向量 : 方向相同或相反的向量 . 记作a/ /b.规定 : 零向量与任一向量平行 .3

2、. 相等向量 : 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 . 记做a= b. 注意 : 向量相等与有向线段的起点无关 .共线向量 : 任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量.二、平面向量的线性运算 (向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 )1. 向量加法的三角形法则uuur uuur uuru已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB a，BC b，则向量AC叫 做a和b的和，记做a+b，即uuur uuura+ b AB BC求两个向量和的运算，叫做 向量的加法 . 这种方法称为向量加法的三角形法则 .2. 向量加法的平行四边形法则以同一个点0为起点的两个已

3、知向量a、b为邻边作YOACB,则以0为起点的对角线uuuruuur uuur uuur0C是a与b的和，即a+b OA OB 0C.此法叫做向量加法的平行四边形法则.规定 ：对零向量与任一向量a，a+0= 0+a=a3. 小结论对任意向量a、b，有|a+b|a|+|b|；当a、b反向是，|a + b|=|a卜|b|(或|b|-|a |)4.向量加法 交换律：a + b = b+ a；向量加法 结合律:(a + b)+ c = a + (b+ c)5与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.规定：零向量的相反向量是零向量6. 向量减法的几何意义：a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a

4、的终点的向量.7. 向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：当a、b同向时,|a+b|=|a|+ |b|；2 / 7(1)| a| |a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相同.8. 数乘的运算律：(1)( a) ( )a; (2)( )a a a; (3)(a b) a b.9. 向量共线充要条件：向量a(a 0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数,使b a.三、平面向量的基本定理及坐标表示1. 平面向量基本定理如果e,、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且

5、只有一个实数1、2，使得a1e12e2把不共线的向量e,、e2叫做这一平面内所有向量的基底.uuur uuur2. 向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作OA a，OB b，贝VAOB (0180o)叫做向量a与b的夹角 .如果a与b的夹角是90o，称a与b垂直，记作a b.当0o时，a 与 b同向；当180时，a 与 b反向.3. 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.4. 向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底 . 对于平面内的一个向量a，由平面基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a xi yj这样，平面内

6、的任一向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序数对(x, y)叫做向量a的坐标，记作a (x, y).其中x,y分别叫做a在x轴上，在y轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示.5. 平面向量的坐标运算(1)若a (X1,yJ,b(X2,y2)，则a b(x1x2, y1y2)；(2)若a (x,y),R, 贝a ( x, y)；uuur(3)若A(X1,yJ,B(X2,y2)，则AB(X2x1,y2y1).6. 平面向量共线的坐标表示3 / 7设a (x1,y1),b (x2,y2)(b 0), 贝向量a、b(b 0)共线的 充要条件 为x1y2x2y10.

7、4 / 77.设R（xi,yi）,P2（x2,y2）若P是RP?的中点，贝VP （学，字）;UJUUJIT（2）若RPPF2，则P （匸2,害）.前三部分总结1. 向量相等（长度和方向）.2. 加法的三角形法则（首尾相连）、四边形法则（起点相同）及其几何意义 注意与平面几何相结合小结论：（i）G为ABC的重心（中线的交点）(i)a(xi, y)b(X2, y2)(b0)a/bUUU UULTA,B,C三点共线AB/AC四、平面向量的数量积:i、向量的夹角概念：T TUUU T UUU T对于两个非零向量a,b，如果以O为起点，作OA a,OB b，那么射线OA,OB的夹角 叫做向量a与向量b的

8、夹角，其中02、向量的数量积概念及其运算:（i）定义：如果两个非零向量a, b的夹角为，那么我们把|a|b|cos叫做向量a与向量bUT U的数量积，记做 aur u即：ag（2）投影：b在a上的投影是一个数量（3 ）坐标计算公式：右向量a (Xi，yJ,&22)，则ag) X1X2y23、向量的夹角公式：COSr radpabX1X2河河22 2 2 2.Xi yi .X2y24、向量的模长:2 2、XiyiUULT uuu uurGA+GB+GC 0(2)G为ABC的外心3.共线(平行)向量.XiX2X3yiG3uuuGAuuuGBGUx2X2yi0；4.平面向量基本定理a e2e

9、2(ei,e2不共线)IT|Ua b cosb cos，它可以为正，可以为负，也可以为5 / 75、平面向量的平行与垂直问题：(1若a (为，),b (x2,y2),a /b，则x2x2y0r rrrr r(2)若a(花畀),b(x2, y2),ab，则adp 0 x1x2yy 0例：一、平面向量的数量积的应用：1 向量数量积定义的应用例 1(1)已知a 1,b 2,向量a,b的夹角为，求(a 242；b)3rrrr rrr r r r(2)已知a( 2,1),b(3, 4),求：(ab)g(a 3b)；若agc1,bgc9，r求c的坐标2、向量的夹角问题1 例 2(1)已知向量a、b都是非零

10、向量，且向量a 3b与向量7a 5 b垂直，向量a 4b与向量7a 2 b垂直，求向量a与b的夹角。(2)若向量a=x,2x，b=3x,2，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围基础练习：一、选择题1.下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A . e1=(0,0), e2=(1, 2) ;B. e1=(-1,2), e2=(5,7);13C. e1=(3,5), e2=(6,10);D. e1=(2,-3) , e2=(,)246 / 7ULUlUUTUU.T2. 已知向量 a、b,且 AB=a+2b , BC = -5a+6b ,CD =7a-2b,则一定共线的三点是7

11、/ 7D. A、C、D3.如果 ei、 e2是平面a内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有1G+ Q2(入吐 R)可以表示平面a内的所有向量；2对于平面a中的任一向量 a,使 a=?ei+Q 的入有无数多对;3若向量 血什|je2与 涂什比 e2共线，则有且只有一个实数4若实数 入使匕i+Q2=0，则启尸 0.A .B .C.5.若向量 a=(1,1),b= (1,-1) ,c=(-2,4),则 c=、填空题7 .作用于原点的两力 F1=(1,1) ,F2=(2,3),为使得它们平衡，需加力 F3=_uuiuu8若 A(2,3), B(x, 4),C(3,y),且 AB=2AC,则 x

12、=_ , y=_；1 mu9.已知 A(2,3),B(1,4)且-AB=(sinacos,a氏(-,-),则a+B=_10 .已知 a=(1,2) , b=(-3,2),若 ka+b 与 a-3b 平行，则实数 k 的值为_11、_若a b 0,则a与b的夹角的取值范围是。12、|a| 10,| b| 36,a b 180,a与b的夹角是 _。13、 已知a (m,2),b ( 3,5),若a与b的夹角为钝角，实数 m 的取值范围为 _14、已知|a| 1,|b |_2,(a b) a，则a与b的夹角是三、解答题15. 已知向量 b 与向量 a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26，求 b

13、umuu16 .如果向量 AB =i-2j , BC =i+mj ,其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定 实数 m 的值使 A、B、C 三点共线。k,使?2ei+ 比 e2=k(乃 ei+(ne2)；D .仅A . -a+3bB . 3a-bC . a-3bD . -3a+b*6 .平面直角坐标系中，iuur uur uun 亠OC = %OA +BOB，其中O 为坐标原点，已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点aR 且a+B=1，则 x, y 所满足的关系式为C(x, y)满足( )A . 3x+2y-11=0B . (x-1)2+(y-2)2=5C . 2x-y=0D . x+2y-5=08 / 7uuu 1 uur uiu 1 UJLT17.已知 A、B、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2) ,AE AC,BF BC,33uuu uiu求证：EF / ABuur uuuuuu18.已知 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若AP ABAC(三象限内？19、已知a (2, 1),b (m,m 1),若a与b的夹角为锐角，求实数m 的取值范围。20、已知a、b都是非零向量，且a 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直,r r求a与b的夹角。